CHAPITRE V

Projections d'une courbe quelconque. — Projection? d'un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan vertical. — Projections d'un cercle situé dans un plan quelconque.

08. On appelle projection d'une courbe AH sur un plan le lieu des projections de tous les points de la courbe. Si des différents points de la courbe on abaisse des perpendiculaires sur le plan de projection LM, on formera un cylindre projetant dont Fi g . 78. la trace ab (fig. 78) sur le plan de pro-

jection sera la projection de la courbe proposée.

Pour déterminer complètement la courbe dans l'espace, il faut donner ses projections ab, a'b', sur deux plans LM, LN. Si par la projection horizontale ab on élève un cylindre perpendiculaire au plan horizontal de projection, et si par la projection verticale a'b' on mène un cylindre perpendiculaire au plan vertical, l'intersection de ces deux cylindres donnera la courbe A3 dans l'espace.

Soit ab la projection d'une courbe AB (fig. 79), la projection mt de la tangente MT en un point quelconque H de la ligne ABest tangente à la courbe ab. En effet, par le point M et un point voisin M' faisons passer une sécante MS, la projection de 'cette sécante est une droite ms passant par les deux points m et m', projections de M et M'; si l'on l'ait tourner la sécante MS autour du point M de manière que le point M' s'approche indéfiniment du point M, la

Fig. 79.

sécante tend vers une position limite MT,qui est la tangente à la courbe AB au point M; en même temps le point m* s'approche indéfiniment du point m, et la sécante ms, projection de MS, tend vers une position limite mt, qui est la tangente à la courbe ab au point m ; on en conclut que la tangente mt est la projection de la tangente MT.

Nous appliquerons au cercle ce mode de représentation des lignes.

Problème I.

G9. Construire les projections d'un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan vertical.

Lorsque le plan du cercle est parallèle au plan horizontal, il est clair que le cercle se projette sur le plan horizontal suivant un cercle égal, et sur le plan verlical suivant une droite parallèle à la ligne de terre, droite qui est la trace du plan du cercle.

Supposons maintenant le cercle situé dans un plan PQR, oblique à l'horizon, mais perpendiculaire au plan verlical de projection (fig. 1, pl. 1). Le plan du cercle étant perpendiculaire au plan vertical, le cylindre qui projette le cercle sur le plan vertical, se réduit au plan même du cercle; la projection verticale du cercle se réduit donc dans ce cas à une ligne droite c'df, égale au diamètre, et située sur la trace verticale du plan. Soient o, o' les projections du centre. Par le point o' menons une droite perpendiculaire au plan verlical de projection ; cette droite, passant par le centre , sera un diamètre AB du cercle. Imaginons que le plan du cercle tourne autour de ce diamètre, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal, alors le cercle se projettera sur le plan horizontal suivant un cercle ad x bc iy décrit du point o comme centre avec le rayon donné, et sur le plan vertical suivant la droite c\d\ } parallèle à la ligne de terre et égale à un diamètre. Traçons ce cercle. Supposons maintenant que le plan du cercle tourne de nouveau autour du diamètre AB, mais en sens inverse, pour revenir à sa position primitive. Dans ce mouvement, un point quelconque m, du cercle

décrira un arc de cercle ayant son centre sur Taxe de rotation AB et son plan perpendiculaire à cet axe.

Cet arc se projette en vraie grandeur sur le plan vertical, suivant un arc de cercle m\m' décrit du point o' comme centre, et sur le plan horizontal suivant une droite w,m parallèle à la ligne de terre; la projection verticale du point vient en m' sur la trace verticale du plan, et une perpendiculaire m'm à la ligne de terre détermine la projection horizontale m. En répétant la même construction pour ditTérents points du cercle et faisant passer à la main un trait continu par tous les points ainsi obtenus, on aura la courbe adbc, suivant laquelle le cercle donné se projette sur le plan horizontal.

Remarques.

70. Cette courbe est arrondie et a la forme ovale. On lui a donné le nom d'ellipse. Voici quelques-unes de ses propriétés.

Remarquons d'abord que les deux extrémités a et b du diamètre ab, étant situées sur Taxe de rotation, restent immobiles, et par conséquent appartiennent à l'ellipse. On voit sur la figure que ce diamètre ab est un axe de l'ellipse, c'est-à-dire partage la courbe en deux parties symétriques. Car, si l'on prend dans le cercle une corde wi,n, perpendiculaire à ab, cette corde, d'abord horizontale, tournant autour de son milieu i, deviendra parallèle à QR, et se projettera suivant mn; le point i, milieu de la corde m x n ly restera encore le milieu de la projection mn. Ainsi, tous les points de l'ellipse sont deux à deux symétriques par rapport à la ligne ab qui est le grand axe de l'ellipse.

Considérons dans le cercle le diamètre c^/, perpendiculaire à ab. Ce diamètre, tournant autour du point o, se projette suivant la ligne cd qui est un second axe de l'ellipse. Car, si dans le cercle on prend une corde Hs â mi parallèle à ab, cette corde reste parallèle à ab dans le mouvement de rotation ; elle décrit un cylindre et se projette en vraie grandeur suivant km ; les deux

points k t et tn t sont symétriques par rapport au diamètre r,rfj, et il en est de môme des deux points k et m. Ainsi la courbe est divisée en deux parties symétriques par le diamètre cd qui est le petit axe de l'ellipse.

Le centre du cercle est aussi centre de l'ellipse. Car, un diamètre quelconque du cercle étant divisé par le centre en deux parties égales, sa projection sera aussi divisée en deux parties égales par la projection o du centre. Ainsi, dans l'ellipse, toutes les droites menées par le point o sont divisées en ce point en deux parties égales ; c'est pourquoi le point o est dit centre de l'ellipse.

71. On conclut de ce qui précède que la projection d'un cercle sur un plan quelconque est une ellipse. Car on peut toujours imaginer que les deux plans de projection rectangulaires soient, l'un le plan sur lequel on projette le cercle, l'autre un plan perpendiculaire au premier et au plan du cercle. La disposition des choses sera exactement celle de la figure précédente, et même, pour ne pas changer le discours, rien n'empêche que l'on continue d'appeler plan horizontal le premier plan, et plan vertical le second. Le grand axe de l'ellipse est la projection en vraie grandeur du diamètre parallèle au plan de projection, le petit axe la projection du diamètre perpendiculaire au premier.

72. La perpendiculaire mi abaissée d'un point quelconque m de l'ellipse sur le grand axe ab s'appelle une ordonnée de l'ellipse. L'ordonnée mi de l'ellipse est la projection de l'ordonnée correspondante m { i du cercle. On démontre aisément que le rapport de ces deux ordonnées est constant. En effet, l'ordonnée im de l'ellipse est égale à o a; l'ordonnée im i du cercle à o'm\ et par suite à o'm'; de même l'ordonnée od est égale à o'p et od { k o'd\ ou à o'd'. Mais les deux triangles rectangles semblables o'm' a, o'd'$ donnent les rapports égaux

ou, en remplaçant ces longueurs par des longueurs égales,

im od cd iwi, oiU ~" ab'

Ainsi, le rapport d'une ordonnée quelconque de l'ellipse à l'ordonnée correspondante du cercle est égale au rapport du petit axe au grand axe. Cette propriété est caractéristique : elle définit complètement l'ellipse. Il en résulte que l'on peut considérer l'ellipse comme provenant de la déformation d'un cercle dont on réduit toutes les ordonnées dans un même rapport.

75. On peut aussi construire la projection de la tangente en un point quelconque (m, m'). Menons la tangente m t e au cercle au point m u et prolongeons celte tangente jusqu'à sa rencontre en / avec le prolongement de l'axe ab. Dans le mouvement de rotation autour de l'axe, la droite m t t décrit un cône ayant pour sommet le point f, qui reste immobile; le point w, venant en wi, la tangente se projettera suivant la droite ml; cette droite est évidemment tangente à l'ellipse.

Problème II.

74. Construire les projections d'un cercle situé dans un plan quelconque.

Supposons maintenant le cercle situé dans un plan quelconque PQR (fig. 2, pl. I). Faisons tourner ce plan autour de sa trace horizontale PQ pour le rabattre sur le plan horizontal; la trace verticale QR se rabat sur la droite OR,. Dans le plan ainsi rabattu, traçons le cercle donné 0, puis imaginons qu'on relève ce plan, en le fajsant tourner autour de la ligne PQ, pour le ramener à sa position primitive, et proposons-nous de construire les projections du cercle.

A cet effet, prenons un point quelconque M du cercle, et cherchons les projections m, m' de ce point quand le plan est relevé, en employant l'horizontale MK •comme nous l'avons expliqué (n° 86).

On obtiendra ainsi les projections d'autant de points du cercle que l'on voudra ; faisant ensuite passer un trait continu par ces différents points, on décrira les deux ellipses acbd, a'c'b'd', projections du cercle sur les deux plans de projections.

Remarques.

7o. Considérons d'abord l'ellipse horizontale. Traçons dans le cercle deux diamètres, l'un AB parallèle à PQ, l'autre CD perpendiculaire, et construisons les projections de leurs extrémités. D'après ce qui a été dit dans le problème précédent (n° 70), la projection ab du diamètre horizontal AB est le grand axe de l'ellipse, li projection cd du diamètre perpendiculaire CD est le petit axe. Il est d'ailleurs très-aisé de le voir directement sur l'épure; une corde perpendiculaire à AB ou à PQ donne dans l'ellipse une corde aussi perpendiculaire à PQ, ou à ab ; mais la première est divisée par le diamètre AB en deux parties égales; sa projection est de même divisée par lé diamètre ab en deux parties égales; la ligne ab divise donc l'ellipse en deux parties symétriques, c'est le grand axe. Une corde horizontale ou parallèle à PQ dans le cercle, donne dans l'ellipse une corde qui est aussi parallèle à PQ, et par conséquent perpendiculaire à cd ; mais la première est divisée en deux parties égales par le diamètre perpendiculaire CD; sa projection est de môme divisée en deux parties égales par le diamètre cd, qui est le petit axe de l'ellipse.

76. Ces deux diamètres rectangulaires AB et CD du cercle , qui donnent les deux axes de l'ellipse horizontale, donnent, non pas les deux axes de l'ellipse verticale, mais un système de deux diamètres conjugués a'b' et c'd! ' . On appelle ainsi deux diamètres tels que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Dans le cercle, deux diamètres reclangulaires, tels que AB et CD, forment évidemment un système de diamètres conjugués; car AB divise en deux parties égales les cordes parallèles à CD et. réciproquement. En projection, les

GÉOM. DESC. 5

cordes parallèles à c'd sont toujours divisées en deux parties égales par le diamètre a'b', et de même les cordes parallèles à a'b' par le diamètre c'd'; dans l'ellipse, les deux diamètres a'b' et c'd' forment donc un système de diamètres conjugués. Quand deux diamètres conjugués sont rectangulaires, il est clair que chacun d'eux divise la courbe en deux parties symétriques ; ce sont les deux axes de l'ellipse. C'est ce qui a lieu en projection horizontale; les deux diamètres conjugués a b et cd t étant rectangulaires, sont les axes de l'ellipse horizontale.

Si l'on voulait avoir les axes de l'ellipse verticale, il faudrait tracer dans le cercle deux diamètres rectangulaires EF et GH , l'un parallèle à QR t , l'autre perpendiculaire. Dans le mouve- • ment autour de PQ , le diamètre EF, restant parallèle à QR, , devient parallèle à QR et, par conséquent, parallèle au plan vertical; sa projection verticale e'f est parallèle à QR, et sa projection horizontale ef parallèle à la ligne de terre; la droite e'f est le grand axe de l'ellipse. Le diamètre perpendiculaire GH donne le petit axe g'h'.

La tangente M/ au cercle a pour projections les tangentes mt, m't' aux ellipses ; le point f, qui est sur l'axe de rotation PQ, reste immobile.