Nous avons expliqué comment on construit les nou
velles projections d'une figure, quand on la fait tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal; les constructions sont exactement les mômes quand on la fait tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical.
Une seule rotation suffit pour rendre une droite donnée parallèle, ou un plan donné perpendiculaire, à l'un des plans de projection. Mais il faudrait deux rotations pour rendre une droite perpendiculaire, ou un plan parallèle, à ce plan de projection. Par exemple, si l'on veut rendre une droite de la figure perpendiculaire au plan horizontal, on la fera tourner d'abord autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal , jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical; ensuite on la fera tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, jusqu'à ce qu'elle détienne perpendiculaire au plan horizontal. De môme, si l'on veut rendre un plan parallèle au plan horizontal , on le fera tourner d'abord autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal, jusqu'à ce qu'il devienne perpendiculaire au plan vertical; puis autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal.
Changement des plans de projection.
64. Nous avons dit que la simplicité d'une épure dépend de Fig . 7% . la position de la figure par rap-
port aux plans de projection; au lieu de faire tourner la figure autour d'un axe, ou successivement autour de deux axes, comme nous l'avons expliqué, pour l'amener dans une position convenable, on peut, au conir^ traire, laisser la figure immo-
bile, et changer la position des plans de projection.
Supposons d'abord que, laissant invariable le plan horizontal, on change la position du plan verlical. Soit L, T, la nou-
velle ligne de terre (fig. 74), c'est-à-dire la trace du nouveau plan vertical sur le plan horizontal ; il est évident que la projection de la figure sur le plan horizontal ne change pas; pour construire la projection sur le nouveau plan vertical, on prendra pour plan de l'épure le plan horizontal, et ou imaginera que le plan vertical a été rabattu sur le plan horizontal.
Pour trouver la nouvelle projection verticale a\ d'un point A, on mènera de la projection horizontale a une perpendiculaire a«, à la ligne de terre, et on portera sur celte perpendiculaire, à partir de la ligne de terre et du côté convenable (n° 8) , une longueur a^', égale à la hauteur m' du point A au-dessus du plan horizontal.
Pour obtenir la nouvelle projection verticale b\a\ d'une droite AB, on construira les nouvelles projections verticales de deux de ces points; on emploiera de préférence la trace horizontale b.
Giî. Pour déterminer la nouvelle trace verticale d'un plan Fi 8- 7 C 5 - * BAC (fig. 75), on rcmar-
1 S» quera d'abord que le point
a 'J S\ A, , où la trace horizontale
D\ | rencontre la nouvelle ligne
Jk ' f \ j déterre, appartient à cette
/>h ! \ ! trace verticale. On obser-
/ / |\j \! ^^- "t, vera ensuite que la droite L / ^^A^" 0, î d'intersection aa' des deux
^^^*^\ plans verticaux rencontre
-f^^ A le plan donné en un point
\ i dont les anciennes projec-
tions sont a et a' ; en élevant au point a une perpendiculaire à la nouvelle ligne de terre, et prenant sur celte perpendiculaire une longueur aa\ égale à aa\ on aura la nouvelle projection verticale de ce point, et par suite un point de la nouvelle trace verticale du plan.
Si le point d'intersection a des deux ligues de terre était trop éloigné, on mènerait dans le plan une horizontale {bc, b'c'), et
on chercherait le point (c, c') où elle rencontre le nouveau plan vertical; la nouvelle projection verticale c\ de ce point apparue- ? 6 - tient à la nouvelle trace verticale A 1 G 1 du plan.
66. Proposons-nous, par exemple, de déterminer l'angle d'un plan BAC avec le plan horizontal. On sait que, si ce plan est perpendiculaire au plan vertical (n° 47), l'angle cherché est mesuré par l'angle que fait la trace verticale du plan avec la ligne de terre. On prendra une nouvelle ligne de terre L,T, perpendiculaire à la trace horizontale AB (fig. 76), et on déterminera la nouvelle trace verticale AjCj ; l'angle CiA^ est l'angle demandé.
67. Nous avons laissé le plan horizontal fixe, et nous avons changé la position du plan vertical; on pourrait, au contraire,
laisser fixe le plan vertical et changer la direction de l'autre plan de projection. Dans ce cas, on prendrait pour plan de l'épure le plan vertical , sur lequel on rahatlrait le nouveau plan de projection.
Ce nouveau plan cesse en général d'être horizontal; cependant, pour la commodité du discours, on l'appelle encore plan horizontal.
En laissant fixe l'un des plans de projection, on peut rendre l'autre parallèle à une droite donnée, ou perpendiculaire à un plan donné.Mais si lion voulait rendre l'un des plans de projection perpendiculaire à une
droite donnée, ou parallèle à un plan donné, il faudrait changer la position des deux plans de projection. Par exemple, pour rendre l'un des plans de projection perpendiculaire à la droite AB (fig. 77), on laissera d'abord fixe le plan horizontal, et on prendra pour nouvelle ligne de terre une droite LiT t parallèle à la projection horizontale ab; on construira la nouvelle projection verticale a\b\ de la droite. Laissant ensuite ce nouveau plan vertical fixe , on prendra pour nouvelle ligne de terre une droite L 2 T S perpendiculaire à la nouvelle projection verticale a\b\ de la droite; en prenant la longueur oa, égale à aa\ t on aura la nouvelle projection horizontale a* de la droite; cette projection se réduit à un point. On pourrait, par ce moyen, ramener la recherche de la perpendiculaire commune à deux droites au cas particulier où l'une des droites est perpendiculaire au plan horizontal.
Lorsque la simplification de l'épure exige deux opérations , soit deux rotations, soit deux changements de plans de projection , il est souvent avantageux, pour la clarté de l'épure, d'employer deux opérations différentes : une rotation et un changement de plan de projection.
