CHAPITRE PREMIER

Insuffisance du dessin ordinaire. — Représentation d'un point par ses projections. — Traces d'un plan. — Projections d'une droite. — Traces d'une droite. — Reconnaître si une droite est située dans un plan. — Reconnaître si un point est situé dans un plan. — Distance de deux points.

Insuffisance du dessin ordinaire.

1. Par le dessin linéaire, on représente les figures planes au moyen de liguïes exactement semblables, avec un rapport de similitude donné. Si, sur le dessin, à l'aide de l'échelle convenue, on mesure avec un compas la distance de deux points quelconques, on obtient cette longueur telle qu'elle est dans la figure que le dessin a pour but de représenter. De môme, si l'on mesure avec un rapporteur l'angle de deux droites, on obtient la vraie valeur de cet angle. Le dessin linéaire ne laisse donc rien à désirer quant aux figures planes.

Mais il n'en est plus de môme pour les figures à trois dimensions. Si l'on voulait représenter une figure à trois dimensions par une figure exactement semblable, il faudrait construire un modèle en bois, en métal, ou en plâtre, ce qui serait extrêmement long et très-dispendieux. Le dessin ordinaire, qui est basé

GÉOM DESCH. 1

sur les principes de la perspective, a pour but de produire sur L'œil la même impression que les objets réels. Mais la similitude n'est pas conservée dans le dessin lui-même: des longueurs égales ne sont pas représentées sur le dessin par des longueurs égales ; elles sont plus ou moins réduites, suivant l'inclinaison sous laquelle on les voit ; les angles sont aussi altérés. La figure 1 représente le dessin d'un lavoir; la base du lavoir, qui

est un carré, est représentée sur le dessin par un quadrilatère irrégulier; les angles, qui sont droits, par des angles aigus ou obtus; la longueur et la largeur, qui sont égales, sont figurées par des longueurs très-différentes. Le côté qui est vu en raccourci est beaucoup plus petit que l'autre. Ainsi, le dessin ordinaire, bien qu'atteignant parfaitement son but, qui est, comme nous l'avons dit, de produire dans l'œil l'image des objets, est tout à fuit insuffisant quand il s'agit d'une macbine ou d'un bâlimcnt dont on veut représenter -exactement les diverses

parties. Un dessin ordinaire donnera bien l'idée générale du bâliment ou de la machine; en cela il est excellent. Mais ce que l'architecte et l'ingénieur se proposent avant tout, c'est de faire un dessin sur lequel on puisse, avec un compas, prendre la mesure exacte de toutes les parties, et à l'aide duquel on puisse par conséquent construire la machine ou le bâtiment avec toute la précision possible. On a recours pour cela à la méthode des projections.

Représentation d'un point par ses projections.

2. On sait que l'on appelle projection d'un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.

Ainsi la projection du point A sur un point horizontal LM est le pied a de la perpendiculaire Aa, abaissée du point A sur ce plan (tig. 2).

Mais la projection a sur le plan horizontal ne suffit pas pour déterminer complètement la position du point A dans l'espace ; elle apprend seulement que le point A est situé sur la perpendiculaire indéfinie élevée au point a.

Pour déterminer complètement la position du point A, on fait usage de deux plans de projection, que l'on choisit ordinairement perpendiculaires entre eux, l'un horizontal LM, l'autre vertical LN. On se représentera très-bien les deux plans de projection, en supposant que l'un, le plan horizontal, soit le sol ou le plancher de la chambre dans laquelle on est placé, l'autre un mur vertical. L'intersection LT des deux plans de projection, ou la trace du mur vertical sur le sol, porte le nom de ligne de terre. Si l'on projette le point A sur ces deux plans, au moyen des perpendiculaires Aa et Aa', les deux projections a et a' détermineront complètement la position du point A dans l'espace ; car ce point, devant se trouver à la fois sur la perpendiculaire élevée par le point a au plan horizontal et sur la per-

Fig 3.

pendiculaire menée par le point a! au plan vertical, sera à l'intersection de ces deux droites, et par conséquent sera parfaitement déterminé.

Il en est de môme d'un corps quelconque. Considérons, par exemple, une pyramide triangulaire, dont la base bed repose sur

le plan horizontal (fig. 3) ; le sommet A se projette en o et a.

La base bed, située dans le plan horizontal et les deux projections a et a' du sommet A déterminent complètement la pyramide. Les trois arêtes latérales A6, Ac, kd de la pyramide ont pour projections, sur le plan horizontal les droites ab, ac, ad, sur le plan vertical les droites a'b' ac', a'd'.

Pïg. 4.

5. En général, un corps quelconque sera représenté par deux figures planes tracées sur les deux plans de projection.

Afin de pouvoir tracer ces deux figures sur une môme feuille dc'papier, on suppose que la feuille de papier coïncide avec le plan horizontal LM; puis on imagine que le plan vertical LN tourne autour de la ligne de terre LT pour se rabattre sur le plan horizontal en LM' (fig. 4) de l'autre côté de la ligne de terre. Dans ce mouvement du plan vertical, le point a', projection verticale du point A de l'espace, décrit un quart de cercle et vient se placer en a' dans le plan horizontal ; les deux projections a et a' du point A de l'espace sont alors marquées sur la môme feuille de papier, comme le * montre la figure 5. De même, les deux projections de la pyramide triangulaire, étant amenées dans le môme plan, pour-

ront être placées sur la môme feuille de papier (fîg. 6), et constitueront Y épure du corps que l'on veut représenter.

4. Il est à remarquer qu'après le rabattement du plan vertical rig. s. de projection sur le plan horizon-

to' tal, les deux projections a et a'

d'un point quelconque A de l'espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

Reportons-nous en effet à la figure 4.

Du point A de l'espace on a abaissé des perpendiculaires Aa, Aa' sur les deux plans de projection; considérons le plan de ces deux perpendiculaires: ce plan, passant par deux droites respectivement perpendiculaires aux deux plans LM et LN, est perpendiculaire à chacun de ces deux plans, et par conséquent perpendiculaire à leur intersection LT (Théorie, liv. V, th. 24). Soit a le point où le plan dont U s'agit rencontre la ligne de terre LT; ce plan coupe les deux plans de projection suivant deux droites aa, aa', qui sont toutes deux perpendiculaires à la ligne LT, puisque cette ligne est perpendiculaire au plan Aa, qui contient ces deux droites. Quand on fait tourner le plan vertical LN autour de la ligne de terre LT pour le rabattre sur le plan horizontal, la droite aa' reste perpendiculaire à LT, et se place dans le plan horizontal suivant le prolongement de la perpendiculaire aa. Ainsi, dans l'épure, les deux projections a et a' d'un même point de l'espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de leire (fîg. 5).

Une autre remarque non moins importante, c'est que la longueur a'a sur l'épure indique à quelle hauteur le point A est situé au-dessus du plan horizontal, et lu longueur a* à quelle dis-

tance en avant du plan vertical. En effet, la ligure Aaaa' (fig. 4) est un rectangle ; la perpendiculaire Aa, qui est égale à a'a, mesure l'élévation du point A au-dessus du plan horizontal LM ; la perpendiculaire Aa', qui est égale à aa, mesure de même la distance du point A en avant du plan vertical.

5. Réciproquement, deux points a et a' de l'épure, situés sur une môme perpendiculaire a*a' (Gg. 5) à la ligne de terre, peuvent être considérés comme étant les deux projections d'un même point de l'espace. Imaginons, en effet, que l'on relève le plan vertical en le faisant tourner autour de la ligne de terre, pour le ramener dans sa position primitive LN ((ig. 4). Dans ce mouvement, la droite m reste perpendiculaire à la ligne de terre ; les deux droites aa, aa', toutes deux perpendiculaires à la ligne de terre au point a, déterminent un plan perpendiculaire à cette ligne LT, et par conséquent perpendiculaire à chacun des deux plans de projection. Si par le point a on élève une perpendiculaire au plan LM, et par le point a' une perpendiculaire au plan LN, ces deux perpendiculaires seront contenues toutes deux dans le plan aaa' (Théorie, liv. V, th. 23); elles se rencontreront donc, et détermineront par leur interscelion un point A de l'espace; ce point A admet pour projections les deux points donnés a et a'.

ri * ' 0. Mais, si l'on prend deux points

!*' a et 6' (fig. 7) non situés sur une

même perpendiculaire à la ligne de

* ' terre, ces deux points ne peuvent pas

convenir pour représenter un point j de l'espace. Supposons en effet les

deux points a et b' situés sur deux perpendiculaires différentes a*, b'$ à la ligne de terre. Imaginons, comme précédemment, le plan vertical relevé et ramené à sa position primitive LN (fig. 8); les plans aaa\ b$b\ menés par les points a et p, perpendiculairement à la ligne de terre LT, seront parallèles. Si par le point a

on élève une perpendiculaire au plan horizontal LM, et par le poinl V une perpendiculaire au plan vertical LN, la première sera

contenue dans le plan aaa', la seconde dans le plan b$b' ; les deux perpendiculaires, étant situées dans des plans parallèles, ne peuvent se rencontrer. Ainsi, les deux points a et b' ne sont pas les projections d'un même point de l'espace.

Il résulte de ce qui précède que deux points marqués au hasard dans les deux plans de projection ne représentent pas, en général, un point de l'espace. Il faut pour cela que sur l'épure ces deux points soient sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Il importe de bien se rappeler celte condition : elle est très-utile ; elle abrège beaucoup les opérations graphiques et sert de vérification.