Jusqu'ici, nous n'avons

Fif. 9.

l'espace. Afin de dislinguer

considéré que les points situés dans l'angle dièdre formé par le pian horizontal LM et le plan vertical LN ; il est facile de comprendre comment le même mode de représentation peut être étendu à tous les points de l'espace. Imaginons les deux plans de projection prolongés indéfiniment (fig. 9), le plan horizontal suivant LM' derrière la ligne de terre, le plan vertical suivant LN' audessous : ces deux plans formeront alors quatre angles dièdres droits comprenant tout ces quatre angles dièdres , on

donne au premier d'enlre eux, celui qui est formé par la partie antérieure LM du plan horizontal et la pnrtie supérieure LN du plan vertical, la qualification d'antérieur-superieur; le point A, situé dans ce premier angle, se projette en a et a'. Le second angle, celui qui est formé par la partie postérieure LM' du plan horizontal et la partie supérieure LN du plan vertical, s'appelle postérieur-supérieur; le point B, situé dans cet angle, a pour projections b et V. Le troisième, celui qui est formé par la partie postérieure LM' du plan horizontal et la partie inférieure LN' du plan vertical, s'appelle postérieur-inférieur ; le point C, situé dans cet angle, se projette en c et c'. Enfin, le quatrième, qui est formé par la partie antérieure LM du plan horizontal et la partie inférieure LN' du plan vertical, s'appelle antérieur-inférieur; le point D, situé dans ce dernier angle, a pour projections d et d'.

8. Quand on fait tourner le plan vertical autour de la ligne de terre, pour rabattre la partie supérieure LN de ce plan sur la partie postérieure LM' du plan horizontal, comme nous l'avons expliqué précédemment, la partie inférieure LN' du plan vertical vient en môme temps s'appliquer sur la partie antérieure LM du plan horizontal. De cette manière, chaque portion de la feuille de papier, sur laquelle on construit l'épure, a une double signification ; la ligne de terre LT divise ordinairement celte feuille en deux parties égales ; la moitié qui est en avant représente la partie antérieure LM du plan horizontal et aussi la partie inférieure LN' du plan vertical ; l'autre moitié représente de même la partie postérieure LM' du plan horizontal et aussi la moitié supérieure LN du plan vertical. Afin d'éviter toute confusion , on est convenu de désigner par une même lettre les deux projections d'un point, en mettant la lettre simple à la projection horizontale et la même lettre accentuée à la pro- ■ jection verticale.

La figure 10 représente les projections d'un point dans ces diverses positions. Les points a et a' sont les deux projections d'un point situé dans l'angle antérieur- supérieur, à l n, ,50

Fig. 10.

•te

en avant du plan vertical et à 1™, 65 au-dessus du plan horizontal (a est la projection horizontale , a' la projection verticale*).

Les points 6 et b' sont les projections d'un point situé dans l'angle postérieur-supérieur, à l ,H ,i° en arrière du plan verti- cal et à l n \40 au-dessus du plan horizontal (b est la projection horizontale, b' la projection verticale.)

Les points c etc' sont les projections d'un point situé dans l'angle postérieur-inférieur, à l m , 37 en arrrière du plan vertical et à l m ,63 au-dessous du plan horizontal (c est la projection horizontale, c' la projection verticale).

Enfin, d et d' sont les projections d'un point situé dans l'angle antérieur-inférieur, à l m ,48 en avant du plan vertical et à l m ,05 au-dessous du plan horizontal (d est la projection horizontale, d' la projection verticale).

On voit par là que le point dans l'espace est situé au-dessus ou au-dessous du plan horizontal, suivant que sa projection Fig. if. verticale est au-dessus ou au-dessous de

la ligne de terre , et qu'il est en avant ou en arrière du plan vertical, suivant que sa projection horizontale est en avant ou en arrière de la ligne de terre.

7 0. Remarquons encore le cas particulier où le point donné est situé dans l'un des plans de projection. Soit ë (fig. il)

un point situé dans le plan vertical de projection LN : il est évident que ce point ë est à lui-même sa projection verticale. Si de

• Celte figure et les suivantes ont été construites à l'échelle 0,01.

ce point on abaisse une perpendiculaire e'e sur le plan horizontal LM, cette perpendiculaire, étant contenue tout entière dans le plan vertical LN, tombera en e sur la ligne de terre LT; le point e' situé dans le plan vertical, a donc sa projection horizontale en e, sur la ligne de terre. Considérons de même un point f situé dans le plan horizontal LM ; ce point est à luimême sa projection horizontale ; si de ce point f on abaisse une perpendiculaire ff sur le plan vertical LN, cette perpendiculaire, étant contenue dans le plan horizontal, tombera en f sur la ligne de terre; le point f, situé dans le plan horizontal, a donc sa projection verticale en f sur la ligne de terre.

Sur l'épure, ces deux points sont représentés comme l'indique la figure 12. Le point dont les projections sont e et e' est Fi g . i2. situé dans le plan vertical à l m ,50

t r au-dessus du plan horizontal; ce t * point coïncide avec sa projection

verticale e'. Le point dont les profi jeelions sont f et f est situé dans

*ï~ h- f ? « t~ le plan horizontal à l m ,34 en avant

du plan vertical ; ce point coïncide avec sa projection horizontale. On a marqué encore deux autres points sur l'épure : le point (g, g'), situé dans le plan vertical à l m ,60 au-dessous du plan horizontal, elle point (/*, h') situé dans le plan horizontal à l ra ,10 en arrière du plan vertical.

Il importe, avant d'aller plus loin, de bien se familiariser avec la représentation d'un point dans toutes les positions. Un point quelconque étant désigné sur l'épure par ses deux projections, il faut que l'esprit conçoive immédiatement la position du point dans l'espace, c'est-à-dire dans quel angle il est situé et à quelles distances des deux plans de projection. C'est là le principe de la géométrie descriptive.

Fig. 13.

Traces d'un plan. .