Construire les projections d'un octaèdre régulier

L'oclaèdre régulier est formé avec huit triangles équilatéraux, assemblés quatre à quatre autour de chaque sommet. L'octaèdre a huit faces et six sommets.

L'octaèdre régulier, représenté par la ligure 18, planche IV, a Tune de ses diagonales a'V verticale. On peut concevoir ce solide comme formé de la réunion de deux pyramides régulières égales, ayant pour base commune le carré horizontal cdef, et pour sommel, l'une le point a', l'autre le point b'. On a mesuré la longueur de l'arête ; on construira donc avec ce côté, sur le plan horizontal , le carré cdef, projection du carré horizontal dont nous venons de parler. Les diagonales étant égales entre elles et ce étant une d'elles, on prendra ab' égale à ce, et l'on aura ainsi la projection de la diagonale verticale. Si, par le milieu de a'V, on mène une parallèle de à la ligne de terre, on aura la projection verticale du carré cdef, et par suite, les quatre autres sommets de l'octaèdre.

Tout plan mené par deux arêtes opposées coupe le solide suivant un carré ; tel est le plan horizontal c'e'. Les deux plans

verticaux menés par ce et df déterminent aussi des carrés, qui se projettent sur le plan vertical suivant les losanges a'c'b'ë, a'd'b'f.

La figure 19 représente le développement de la surface de l'octaèdre régulier. La surface a été fendue suivant a'd'b' et cdef y puis développée sur le plan horizontal.

Problème XVII.