On représente ordinairement un plan par ses traces sur
les deux plans de projection, c'està-dire par les droites suivant lesquelles il coupe les deux plans de projection.
Ainsi le plan BAC (fig. 13) sera représenté par sa trace horizontale AB et sa trace Verticale AG.
On comprend en effet que ces deux droites déterminent complètement la position du plan.
Fig- u. Après le rabattement du plan
vertical LN sur le plan horizontal, les deux traces du plan proposé occupent sur l'épure la position indiquée par la figure 14.
On se rendra très-bien compte de la position du plan en imaginant le plan vertical de projection relevé et concevant le plan qui passe par les deux traces AB cl AG.
Fi e- l5 - il. Examinons quelques cas
particuliers. Quand un plan est perpendiculaire au plan horizontal, sa trace verticale AG (fig. 15) est perpendiculaire à la ligne de terre : car cette trace, intersection de deux plans perpendiculaires au plan horizontal, savoir, le plan vertical de projection et le plan proposé, est perpendiculaire à ce même plan et par conséquent perpendiculaire à la ligne de terre LT. L'angle plan BAL mesure l'angle dièdre que forme le plan proposé avec le plan vertical de projection, angle dont l'arête est AC. De même , quand un plan est perpendiculaire au plan ver-
tical de projection, sa trace horizontale AB (fig. 16) est perpendiculaire à la ligne de terre : car cette trace, intersection Fi «- 16 - de deux plans perpendiculaires au
plan vertical, savoir, le plan horizontal et le plan propose , est perpendiculaire à ce même plan et ~* ' par conséquent perpendiculaire à la
ligne de terre LT. L'angle plan CAT mesure l'inclinaison du plan proposé sur le plan horizontal. Quand un b plan est' perpendiculaire à la fois
aux deux plans de projection, et par suite à la ligne de terre, ses deux traces sont perpendiculaires à la ligne de terre.
F 'K- ,7 - Si le plan proposé devient paral-
~ ; ~ lèle à la ligne de terre, le point où
il coupe la ligne de terre s'éloigne à
L r l'infini, et ses traces AB, CD' (fig. 1 7)
deviennent toutes deux parallèles à la A * ligne de terre.
Si le plan devient parallèle au plan horizontal, sa trace hori-
Fig. 18. zontale, s'éloignant à l'infini, dispa-
■c — i? ratt; il n'y a plus qu'une trace, la
trace verticale CD' (fig. 18), qui est L * parallèle à la ligne de terre, et dont
la distance à cette ligne mesure la distance du plan proposé au
plan horizontal.
Fi e- i9 - De même, lorsque le plan devient
1 " T parallèle au plan vertical de projec-
tion, sa trace verticale, s'éloignant à ~x~ i-, l'infini, disparaît i il n'y a plus qu'une
trace, la trace horizontale AB (fig. 19), qui est parallèle à la ligne de terre, et dont la distance à cette ligne mesure la distance du plan proposé au plan vertical.
Il est un cas où les traces d'un plan ne le déterminent pas complètement, c'est lorsque le plan passe par la ligne de terre. Alors les deux traces coïncident avec la ligne de terre, et le plan peut
tourner à volonlé autour de cette ligne. Pour achever la délermination du plan on pourra se donner un point de ce plan par ses projections.
Projections d'une droite.
12. On appelle en général projection d'une ligne sur un plan le lieu des projections des différents points de cette ligne. Lorsque la ligne est droite, il est aisé de voir que sa projection est Fig. 20. droite: car, si des différents points d'une
droite AB (tig. 20) on abaisse des perpendiculaires sur un plan MN, toutes ces perpendiculaires sont situées dans un môme plan perpendiculaire au plan MN (Théorie, liv. V,th. 23); la projection de la /m u " ï/n droite AJ3 est la trace ab de ce plan per-
pendiculaire, ou plan projetant, sur le plan MN ; c'est donc une ligne droite.
En géométrie descriptive, on représente une droite par ses deux projections ab, a'b' sur les deux plans fixes (fig. 21 et 22).
Fig. 21.
Fig. 22.
Si par la projection horizontale ab on mène un plan perpendiculaire au plan horizontal LM, et par la projection verticale a'b' un plan perpendiculaire au plan vertical LN, l'intersection de ces deux plans projetants donnera la droite dans l'espace.
Traces d'une droite.
15. On appelle trace d'une droite sur l'un des plans de projection le point où elle perce ce plan. Quand on connaît les projections d'une droite sur les deux plans, il est facile de trouver ses traces.
Soient ab, a'b' (fig. 22) les deux projections de la droite. Si par la projection horizontale afron élève un plan perpendiculaire au plan horizontal de projection, ce plan aura pour trace horizontale la droite ab, et pour trace verticale la droite bb', perpendiculaire à la ligne de terre, puisqu'il est perpendiculaire au plan horizontal. De môme, si par la projection verticale a'b' on mène un plan perpendiculaire au plan vertical de projection, ce plan aura pour trace verticale la droite a'b', et pour trace horizontale la droite a'a perpendiculaire à la ligne de terre. L'intersection des deux plans projetants abb\ aa'b' donne la droite proposée. Or, les traces horizontales ba, a'a de ces deux plans se coupent au point a; ce point appartient à la droite d'intersection; il est situé dans le plan horizontal; c'est donc la trace horizontale de la droite, c'est-à-dire le point où elle perce le plan horizontal. De môme les traces verticales bb', a'b' des deux plans projetants se coupent au point b' ; ce point, appartenant à la droite d'intersection et étant situé dans le plan vertical, est la trace verticale de la droite, c'est-à-dire le point où elle perce le plan vertical de projection.
Ainsi, pour avoir la trace horizontale d'une, droite, prolonges la projection verticale jusqu'à sa rencontre en a' avec la ligne de terre ; en ce point élevés une perpendiculaire a'a à la ligne de terre; le point a, où cette perpendiculaire rencontre la projection horizontale, est la trace horizontale de la droite. De même, pour avoir la trace verticale, prolonges la projection horizontale jusqu'à sa rencontre en h avec la ligne de terre; en ce point, élevés une perpendiculaire bïY à la ligne de terre; le point h', où cette perpendiculaire rencontre la projection verticale, est la trace verticale de la droite.
Réciproquement, quand on connaît les deux traces d'une
droite, on obtient facilement ses projections. La trace horizontale a se projette en a\ la trace verticale b' en 6, sur la ligne de terre. On connaît ainsi deux points de la droite par leurs projections; il suffit de mener les droiles ab, a'b\
il. Dans l'exemple précédent, la portion ab' de la droite comprise entre les deux traces est située dans l'angle antérieur-supérieur. Pour un observateur placé dans ce premier angle, cette partie est visible, on l'a marquée' en ligne pleine; le prolongement au-dessous du plan horizontal, ou en arrière du plan vertical, étant invisible, est marqué en ligne ponctuée. Dans la figure 23, la portion de la droite comprise entre la yvj. <23 trace horizontale a et la trace ver-
\f licale b', est située dans l'angle
antérieur-inférieur; cette partie, \ étant invisible, a été ponctuée,
V b tandis que la partie indéfinie ac,
«V, située dans l'angle antérieursupérieur, est visible et marquée en ligne pleine.
c 1#. Lorsqu'une droite est paral-
lèle au plan borizontal, le plan qui la projette sur le plan vertical étant parallèle au plan horizontal, sa projection verticale Fig- n 'b' (fig. 24) est parallèle à la ligne
de terre. La trace horizontale de la droite s'est éloignée à l'infini.
Quant à la trace verticale a', on l'obtient, comme à l'ordinaire, en prolongeant la projection hori- > zontale ab jusqu'à la ligne de
terre et élevant au point a une perpendiculaire à la ligne de terre. On se représentera la droite en imaginant le plan vertical relevé et concevant par le point o' une parallèle à la projection horizontale ab.
Quand la droite est parallèle à la ligne de terre, ses deux pro-
jeclions sont parallèles à la ligne de terre, et ses deux traces se sont éloignées à l'infini.
16. Il est un cas où la droite n'est pas complètement définie par ses deux projections : c'est lorsqu'elle est située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre. Alors les deux projections ab, a'b' sont perpendiculaires à la ligne de terre et sur le prolongement l'une de l'autre (fig. 25) ; les deux plans proje-
Fig. r,. l ig. -16
tants coïncident, et il y a indétermination. Dans ce cas, on pourra définir la droite en se donnant deux de ses points (a, a'), (6, b') par leurs projections. Proposons-nous de trouver les traces de la droite. Cette droite est située dans un plan cad' perpendiculaire à la ligne de terre ; faisons tourner ce plan autour de sa trace horizontale oc pour le rabattre sur le plan horizontal (voyez la figure 26, qui aidera à comprendre le raisonnement); le point A est situé sur une verticale aX élevée au point a et à une hauteur au-dessus du plan horizontal égale à «a'; dans le mouvement du plan, cette droite ak reste perpendiculaire à «c et se rabat suivant une droite aA,, perpendiculaire à <xc; sur cette droite, on prendra une longueur aA t égale à «a', et l'on aura le rabattement A t du point A de la droite proposée. De même, le point-B est situé sur une verticale M3, élevée en b et à une hauteur égale à «&' ; cette droite 6B se rabat suivant uno
droite 6B1, perpendiculaire à oc et égale à «6'; on a ainsi le rabattement Bi d'un second point B de la droite. Si Ton joint les deux points Ai et Bt, on aura le rabattement de la droite proposée.
Prolongeons la droite AiB t rabattue jusqu'à sa rencontre, d'une part en c avec la projection horizontale ac, d'autre part en d\ avec la ligne de terre LT. Concevons maintenant qu'on relève le plan projetant en le faisant tourner autour de ac, pour ramener la droite à sa vraie position dans l'espace. Dans ce mouvement, le point c, qui est sur l'axe de rotation, reste immobile, et la droite décrit un cône dont le point c est le sommet; la droite j>erce donc le plan horizontal au point c; ce point est la trace horizontale. D'autre part, le point d\ décrit dans le plan vertical un quart de cercle d\d' ayant a pour centre, et vient se placer en d'\ la droite perce donc le plan vertical au point d'; ce point est la trace verticale.
Reconnaître si une droite est située dans un plan donné.
Fi s 17. Lorsqu'une droite est située
dans un plan donné, il est clair que la trace de la droite sur l'un quelconque des plans de projection appartient à la trace du plan. Réciproquement, lorsque les traces d'une Y droite sur les deux plans de projection appartiennent respectivement aux traces d'un plan, la droite, ayant deux points dans le plan, est située tout entière dans ce plan. Ainsi, la droite (aô, a'b') est située dans le plan ABC (fig. 27), puisque les traces a et b' de la droite appartiennent respectivement aux traces du plan.
Droites situées dans un plan donné et parallèles à l'un des plans
de projection.
18. Parmi les droites situées dans un même plan, il est bon de remarquer celles qui sont parallèles à l'un des plans de projection. Considérons d'abord une droite parallèle au plan horizon-
GÉOM. DESCR. 2
Di
tel. On sait (n° 18) que la projection verticale a'b' de la droite pi 8« 2| - est parallèle à la ligne de terre
(fig. 28); la projection horizontale ab est parallèle à la trace horizontale BÀ du plan donné ; car les deux droites ab et BA, intersections du plan horizontal par deux plans menés par la droite donnée, sont parallèles à cette droite, et par conséquent parallèles entre elles (Théorie, liv. V, th. 12). Réciproquement, lorsqu'une droite horizontale a sa trace verticale a' sur la trace verticale d'un plan ABC, et sa projection horizontale ab parallèle à la trace horizontale BA du plan, elle est contenue dans ce plan ; car elle a un point a! dans le plan et elle est parallèle à la droite ab et par suite à la droite BA située dans le plan.
De même, une droite parallèle au plan vertical et qui a par conséquent sa projection horizontale cd parallèle à la ligne de terre, est contenue dans le plan ABC, lorsqu'elle a sa trace horizontale c située sur la trace horizontale du plan et sa projection verticale c'd' parallèle à la trace verticale BG du plan.
Ligne de plus grande pente.
Fig. 29.
19. Parmi les droites qu'on peut mener par un point dans un plan, celle qui fait avec le plan horizontal l'angle le plus grand s'appelle ligne de plus grande pente.
Soit M le plan horizontal, N un plan quelconque coupant le premier suivant la droite CD (fig. 29). Du point A, pris dans le plan N, abaissons une perpendiculaire AP sur le plan M, et du pied P menons dans le plan M une droite PB perpendiculaire
PRINCIPES. t<)
à CD; on sait que la droite AB est aussi perpendiculaire à CD. L'angle ABP qu'elle fait avec sa projection mesure l'inclinaison de cette droite sur le plan horizontal (Théorie, liv. V, th. 26). Je dis que la droite AB est la ligne de plus grande pente. En effet, menons par le point A dans le plan N une droite quelconque AE, l'inclinaison de cette droite sur le plan horizontal est mesurée par l'angle AEP. Si l'on fait tourner le triangle rectangle APE autour de la droite AP pour l'amener sur le plan APB, l'oblique PE étant plus grande que la perpendiculaire PB, le point E se place en F sur le prolongement de PB, et la droite AE vient en AF. L'angle ABP, extérieur au triangle ABF, est égal à la somme des deux angles AFP et BAF ; il est donc plus grand que l'angle AFP. Ainsi la droite AB, qui est perpendiculaire à l'horizontale CD du plan , ou à sa parallèle GH menée par le point A, est la ligne de plus grande pente.
On peut remarquer que deux droites AE, AE', situées dans le plan N et également inclinées sur la ligne de plus grande pente, font des angles égaux avec le plan horizontal. Si l'on imagine que la droite AE tourne autour du point A, dans le plan N, en s'écartant de plus en plus de la ligne de plus grande pente, l'angle qu'elle fait avec le plan horizontal va en diminuant d'une manière continue ; lorsque celte droite coïncide avec l'horizontale GH, l'angle est nul.
Reconnaître si un point est situé dans un plan donné.
Soit ABC (fig. 30) le plan donné, m la projection horizonlale du point M de l'espace. Par le point M j'imagine une droite quelconque située dans le plan donné et ayant pour projection horizontale une droite ab passant par le point m; cette droite a pour trace horizontale l'intersection a de sa projection horizontale et de la trace horizontale du plan; elle a pour trace verlicale l'intersection V de la trace verticale du plan et de la perpendiculaire à la ligne de terre au point b où cette ligne est coupée par la projection horizontale de la droite; la projection
verticale de cette droite est donc a'b'; elle doit passer par le point m', projection verticale du point M.
Au lieu de mener par le point M, dans le plan ABC, une droite Fig. 30. quelconque , il est plus simple de
mener une droite parallèle à l'un des plans de projection. La droite menée par le point M, dans le plan ABC, parallèlement au plan horizontal, a pour projection horizontale la parallèle cd menée par le point m à la trace horizontale BA du plan ; sa trace verticale c' est à l'intersection de la trace verticale du plan et de la perpendiculaire à la ligne de terre au point c où cette ligne est rencontrée par la droite cd; la projection verticale de la droite est la parallèle c'd' à la ligne de terre menée par le point c'; elle doit passer par le point m'. On emploierait de môme la parallèle (fg, fg') au plan vertical.
Nous avons dit que, pour reconnaître qu'une droite est située dans un plan, on s'assure que les traces de la droite appartiennent respectivement aux traces du plan. Mais cette vérification est impossible lorsque les traces de la droite, ou l'une d'elles seulement, sont en dehors des limites de l'épure. Dans ce cas, on prendra deux points quelconques de la droite, et on s'assurera que ces points sont situés dans le plan, en menant par chacun d'eux une parallèle à Tune des traces du plan.
