Trouver l'intersection de deux plans

Soient ABC, DEP (fi g. 40) les deux plans donnés, a le point

d'intersection de leurs traces horizontales, V le point d'intersection de leurs traces verticales. Le point a, appartenante la fois aux deux plans, est la trace horizontale de la droite d'intersection; de même le point V en est la trace verticale. Ces traces se projettent sur la ligne de terre, la première en a', la seconde en

6; pour avoir les projections de la droite d'intersection, il suffit de mener les droites ab, a'b\

Cas particuliers.

30. Supposons que les deux plans donnés ABC, DEF (fig. 41) aient leurs traces horizontales parallèles. Le point V, où se

coupent les traces verticales, appartient à la droite d'interèection des deux plans. Si par le point V on mène une droite parallèle aux droites B A, ED, cette ' droite sera contenue dans chacun des deux plans donnés, et par conséquent coïncidera avec leur intersection ; on en conclut que la droite d'intersection des deux plans donnés est parallèle à leurs traces horizontales ; c'est donc une droite horizontale, dont la projection verticale b'a' est parallèle à la ligne de terre, et la projection horizontale ba parallèle aux traces horizontales des plans.

DROITE ET PLAN

Ceci résulte d'ailleurs de la construction générale ; car, si Ton se reporte à la figure 40, et que Ton fasse tourner la trace horizontale ED de l'un des plans autour du point E, jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle à la trace BA de l'autre plan, le point a s'éloigne indéfiniment sur BA, et la projection horizontale de l'intersection devient parallèle à BA; en même temps, la projection verticale a! du point a s'éloigne indéfiniment sur la ligne de terre, et la projection verticale b'a' de l'intersection devient parallèle à la ligne de terre.

51. Supposons maintenant les deux plans donnés parallèles à la ligne de terre. Soient AB, CD' les traces du premier plan, EF, G' H' celles du second (fig. 42). Les plans étant tous deux

parallèles à la ligne de terre, leur intersection est parallèle à cette même ligne (Théorie, liv. V, th. 13)- t il suffit donc, pour déterminer la droite d'intersection , de trouver un de ses points. Prenons un plan auxiliaire quelconque MNP; ce plan coupe les deux plans donnés : le premier suivant la droite (a&, a'& ; ), le second suivant la droite (cd, c'd') ; ces deux droites, étant situées dans le même plan MNP, se coupent en un point (o, o'), qui, appartenant à la fois aux deux plans donnés , est un point de leur intersection; si par les points o et o 1 on mène des parallèles mn, m'ri à la ligne de terre, on aura les projections de la droite cherchée.

52. Nous examinerons enfin le cas où l'un des plans passe par la ligne de terre et un point donné (m, m'), l'autre étant un plan quelconque ABC (fig. 43). Le point B, où ce second plan coupe la ligne de terre, appartient évidemment à la droite d'intersection des deux plans ; il reste à trouver un second point de

cette droite. Par le point Cm, m') menons un plan DE parallèle

au plan horizontal; ce plan coupe le pian ABC suivant une horizontale (np, n'p') 9 et le plan**nené par la ligne de terre et le point (m, m r ) suivant une parallèle à la ligne de terre (mp, m f p r ). Le point de rencontre (p, p f ) de ces deux lignes appartient aux deux plans donnés. La droite d'intersection demandée passant par les deux points B et P, a pour projections Bp, Bp'.

53. Remarque. La méthode générale, pour trouver Tintersection de deux plans, consiste à chercher deux points de la droite d'intersection. Dans le cas général, lorsque les traces des plans se coupent respectivement dans les limites de Tépure, on a de suite les traces de la droite cherchée. Si les traces des plans ne se rencontraient pas dans les limites de Tépure, on couperait les deux plans par un plan auxiliaire convenablement choisi ; le point commun aux deux droites d'intersection serait un point de la ligne cherchée. Un second plan auxiliaire donnerait un autre point de cette même ligne.

Problème VIII.

54. Trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan.

Pour résoudre ce problème, par la droite donnée on fait passer un plan quelconque, on cherche la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan donné; cette droite et la droite donnée, étant situées toutes deux dans le plan auxiliaire, se rencontrent, et leur point d'intersection, appartenant à la fois à la droite donnée et au plan donné, est le point où cette droite perce le plan.

DROITE ET PLAN

Fig. 44.

Soient ABC le plan donné, (ab, a' V) la droite donnée (fig. 44). Considérons le plan qui projette la droite donnée sur le plan

horizontal; ce plan a pour trace horizontale a b, et pour trace verticale la perpendiculaire dd' à la ligne de terre au point où la droite ab rencontre cette ligne ; il coupe le plan donné suivant la droite (cd, c'd'). Les deux droites (ab, a'V), (cd, c'd') y situées dans le même plan vertical cdd\ se coupent en un point, qui a pour projection verticale le point de rencontre m' des projections verticales des deux lignes, et pour projection horizontale le point d'intersection m de la projection horizontale commune cd des deux lignes et de la perpendiculaire à la ligne de terre menée par le point m'. On a ainsi le point (m, m') où la droite donnée

perce le plan donné.