Remarque. Lorsque le plan donné est perpendiculaire
à Fun des plans de projection, on obtient immédiatement le point cherché. Supposons par exemple le plan ABC (fig. 45), perpendiculaire au plan horizontal ; tout point de ce plan se projetant horizontalement sur la trace a b y il est clair que la projection horizontale m du point d'intersection de la droite et du plan est à F intersection de la projection horizontale ab de la
Fig. 4S.
droite et. de la trace AB du plan.
Cas particuliers.
56. Considérons en particulier le cas où le plan donné Fig. 46. passe par la ligne de terre et
le point (m, m'), la droite donnée étant une droite quelconque (ab 9 a'V).
Le plan qui projette la droite sur le plan horizontal coupe le plan donné suivant la droite (an, an')\ cette droite rencontre la droite donnée au point (p, p') qui est le point cherché.
37. Examinons encore le cas où le plan donné passe par la ligne de terre et le point (m, m'), et où la droite donnée
Fi «- 47 - est située dans un plan per-
pendiculaire à la ligne de terre et passe par les deux points (a, a'), (b, b') (fig. 47). Le plan mené par la droite donnée, perpendiculairement à la ligne de terre, a pour traces «a, a a'.
Cherchons d'abord l'intersection de ce plan et du plan donné. Le point a appartient aux deux plans ; la droite menée par le point (m, m'), parallèlement à la ligne de terre, et qui est contenue dans le plan donné, perce le plan axa' en un point (n, n') qui appartient aussi' aux deux plans; leur intersection est donc la droite «N. Cette droite et la droite donnée, étant situées toutes deux dans le même plan a*a\ se coupent en un point qui est évidemment le point cherché. Pour trouver le point d'intersection de ces deux droites, je fais tourner le plan axa' autour
DROITE ET PLAN
de sa trace horizontale a oc, pour le rabattre sur le plan horizontal; la droite qui passe par les points (a, a'), (b, V) se rabat suivant AiB,; la droite <%N se rabat suivant «Ni ; les droites rabattues se coupent au point Pi , qui, lorsque le plan rabattu est ramené à sa première position, se projette en (p, p') ; le point (p, p') est le point cherché.
Problème IX.
58. Trouver le point d'intersection d'une droite et d f un plan défini par deux droites qui se coupent.
Soient (ab f a'V) (Qg. 48) les projections de la droite donnée (oc, oV), (od, o'd!) les projections de deux droites qui se
Fig. 48. coupent au point
(o, o r ), et déterminent ainsi un plan P. On pourrait d'abord chercher les traces du plan P et opérer comme précédemment; mais on peut se dispenser de construire ces traces.
On considère le plan qui projette la droite sur l'un des plans de projection, par exemple sur le plan horizontal; ce plan coupe les droites (oc, oV), (od, o'd'), aux points (e,e'), (f y f)\ et, par conséquent, il coupe le plan P suivant la droite (ef, e'f). Le point (m, m') où cette droite rencontre la droite donnée est le point cherché.
Problème X.
39. Trouver ^intersection de deux plans définis chacun par deux droites qui se coupent.
Appelons P le plan défini par les deux droites (oa, oV),
(ob, o'V) qui se coupent au point (0, 0') (fig. 49), et Q le plan défini par les deux droites (ic, i'c') t (id, Vd 9 ) qui se coupent
au point (i 9 V). La méthode employée dans le problème précédent permet d'obtenir l'intersection de ces deux plans sans construire leurs traces. On cherche les points (m, m'), (n, n'), où le plan P coupe les droites {ic, iV), (id> i'd'); la droite (mn,m'n') est la droite d'intersection des deux plans.
Dans l'épure, pour obtenir le point (m, m') nous nous sommes servi du plan qui projette la droite (ic, iV) sur le plan horizontal, et pour obtenir le point (n,n') du plan qui projette la droite (id i'd 1 ) sur le plan vertical.
Cette méthode peut être appliquée aussi quand les plans sont définis par leurs traces, et que ces traces se coupent en dehors des limites de l'épure. On prend alors dans chaque plan deux droites quelconques, et on choisit de préférence des droites horizontales, ou des droites parallèles au plan vertical.
Droite perpendiculaire à un plan.
