Nous démontrerons d'abord que, lorsqu'une droite est
DROITE ET PLAN
perpendiculaire à wn plan, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces du plan.
% Supposons que la droite (ab, a'b') soit perpendiculaire au
Fig. 50.
JL
plan BAC (fig. 50). Le plan DEF, qui projette la droite sur le plan horizontal, passant par une droite perpendiculaire au plan BAC, est lui-même perpendiculaire à ce plan (Théorie, liv.V,th.21); il est d'ailleurs perpendiculaire au plan horizontal de projection; ce plan projetant, étant perpendiculaire à la fois au plan horizontal et au plan BAC, est perpendiculaire à la ligne d'intersection ÀB de ces deux plans (Théorie, liv. V, th. 24) ; la projection horizontale ab, qui est située dans ce plan projetant, est donc perpendiculaire à la ligne AB.
On démontrera de la même manière que la projection verticale a'b' est perpendiculaire à la trace verticale AC du plan. Le plan GHI, qui projette la droite sur le plan vertical, étant i la fois perpendiculaire au plan vertical et au plan proposé, est perpendiculaire à la ligne d'intersection AC de ces deux plans, et la droite a'b\ qui est située dans ce plan, est ellemême perpendiculaire à AC.
41. Réciproquement, lorsque les deux projections d'une droite sont respectivement perpendiculaires aux traces d'un plan, la droite est perpendiculaire au plan.
Nous supposons la projection horizontale a b de la droite perpendiculaire à la trace horizontale AB du plan, et la projec-
tion verticale a' V perpendiculaire à la trace verticale A G. Le plan projetant DE F est perpendiculaire au plan horizontal ; la droite AB, qui, située dans le plan horizontal, est perpendiculaire à la ligne d'intersection a b des deux plans, est perpendi-' culaire au plan DEP (Théorie, liv- V, th. 22); le plan BAC, passant par la droite AB, est lui-même perpendiculaire au plan DEP. Par la même raison, le plan BAC est perpendiculaire au second plan projetant G HI. Ainsi, les deux plans projetants DEP, GHI sont tous deux perpendiculaires au plan BAC; la droite proposée, qui est l'intersection de ces deux plans projetants, est elle-même perpendiculaire au plan B*AG. Il y a cependant un cas où la réciproque n'est pas vraie , c'est lorsque le plan est parallèle à la ligne de terre; dans ce cas la droite n'est pas définie par ses deux projections.
Problème XL
42. Par un point mener une droite perpendiculaire à un plan donné, et trouver la distance du point au plan.
Fi «- 5I - Pour avoir les projections de
la perpendiculaire abaissée du point (m, m') sur le plan ABC (fig. 51), il suffit de mener, par les projections du point, des droites mn, m'n' respectivement perpendiculaires aux traces du plan. On déterminera ensuite le point (p, p') où cette perpendiculaire perce le plan, par la méthode expliquée au n° 54, et enfin on cherchera la
distance des deux points (m, m'), (p, p*), comme nous l'avons
expliqué au n°2f .
Problème XII.
45. Par un point mener un plan perpendiculaire à u/ne droite donnée^ et trouver la distance du point à la droite.
DROITE ET PLAN
Fig. 52.
Soient (m, m') le point donné, (a b, a'b') la droite donnée (fig. 52). Le plan mené par le point (m, m') perpendiculairement à la droite donnée a ses traces respectivement perpendiculaires aux projections ab y a'b' de la droite. Concevons dans ce plan une horizontale menée par le point (m, m') ; elle a pour projection verticale une bT parallèle à la ligne de terre menée par le point m' , et pour projection horizontale une parallèle à la trace horizontale du plan, ou, ce qui revient au même, une perpendiculaire menée par le point m à la projection horizontale a b de la droite donnée. Cherchons la trace verticale ti de cette ligne; c'est un point de la trace verticale du plan. Nous obtiendrons cette trace en menant par le point c' une droite B C perpendiculaire à cl V ; nous aurons ensuite la trace horizontale en menant par le point B, où la trace verticale coupe la ligne de terre, une droite BA perpendiculaire à ab.
Déterminons maintenant le point (n, n') où le plan ABC coupe la droite donnée (n° 34); joignons ce point au point donné; la droite (mn, m , n r ) ainsi obtenue sera la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite donnée. La longueur Mi Ni de cette perpendiculaire est la distance du point à la droite.
Fig. 53.
Cas particuliers.
