Remarque. En général, la projection d'un angle droit

n'est pas un angle droit ; cependant, quand l'un des côtés de

l'angle droit est parallèle au plan de projection, la projection

est aussi un angle droit. C'est ce qu'on voit sur la figure pré-

*■»«• 54 - cédente; mais il est bon de le

démontrer directement. Soit ABC un angle, dont un côté AB est parallèle au plan de projection (fig. 54); comme les projections d'une figure sur des plans parallèles sont égales, on peut supposer que le plan de projection P passe par la droite AB. Par le point B menons un plan perpendiculaire à la droite AB; ce plan sera perpendiculaire au plan P et le coupera suivant une droite BD perpendiculaire à BA ; donc l'angle ABD, projection de A B G , est droit.

DROITE ET PLAN

Problème Xm.

46. Trouver la distance d'un point donné à un plan passant par trois points donnés.

Soient (m, m') le point donné, et (a, al), (&, V), (c, c') les trois points qui définissent un plan (fig. 55). Pour résoudre le problème, oh pourrait chercher les traces du plan et employer la méthode indiquée au n° 42; mais il est préférable d'opérer comme il suit : imaginons que par le point (b, V) on mène une horizontale du plan; cette droite a sa projection verticale b'd' parallèle à la ligne de terre; elle coupe la droite {ac, a'c') au point (d, d'), et par conséquent sa projection horizontale est bd. Imaginons de même que par le point (c, c') on mène une droite située dans le plan et parallèle au plan vertical; cette droite a sa projection horizontale ce parallèle à la ligne de terre, elle coupe la droite (afc, a'V) au point (0, e'), et sa projection verticale est de'. Les traces du plan P sont respectivement parallèles à bd et à de' (18). On aura donc les projections de la perpendiculaire abaissée du point (m, m') sur ce plan, en menant par le point m une perpendiculaire à bd, et par le point m' une perpendiculaire à de'.

Pour trouver le pied (n,n') de la perpendiculaire, on emploiera le procédé du n° 58. Il ne reste plus qu'à déterminer la longueur de cette perpendiculaire.

Le rabattement du trapèze MNmn sur le plan horizontal de

projection, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, donnerait ici une figure trop grande, mais on peut la simplifier en menant par le point M un plan horizontal m' h'; ce plan coupe la verticale Nn en un point K, et on a, dans l'espace, un triangle rectangle MNK, dont les côtés de l'angle droit sont égaux , l'un à row, l'autre àn'lt'; en construisant ce triangle, on a la distance cherchée mNi.