ET LE PLAN

Angles d'une droite avec les plans de projection. — Angle de deux droites. — Angle d'une droite et d'un plan. — Angle d'un plan avec les plans de projection. — Angle de deux plans. — Plus courte distance de deux droites.

Problème XIV.

47. Trouver les angles d'une droite avec Us plans de projection.

On appelle angle d'une droite avec un plan l'angle que fait Fig. sa. la droite avec sa projection sur le plan

(Théorie, liv. V, th. 26).

Lorsque la droite (ab y a'V) est parallèle au plan vertical de projection (fig. 56), elle fait avec sa projection horizontale a b un angle situé dans un a * plan parallèle au plan vertical, et qui

par conséquent se projette sur ce plan en vraie grandeur suivant 6'a'T; tel est l'angle de la droite avec le plan horizontal. Quant à l'angle avec le plan vertical, il est évidemment nul. De même, quand la droite est parallèle au plan horizontal de Fi s- m- projection (fig. 57), l'angle qu'elle fait

avec sa projection verticale a' V , étant situé dans un plan horizontal, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal suivant baT\ tel est l'angle de la droite avec le plan vertical.

L'angle avec le plan horizontal est nul.

Considérons maintenant une droite quelconque (fig. 58). L'angle de la droite avec sa projection horizontale ab est situé

dans le plan projetant a b &'; rabattons ce plan sur le plan vertical en le faisant tourner autour de sa trace verticale b b' ; la droite ba perpendiculaire à bb' se rabat sur la ligne de terre, suivant une ligne égale, ba^ et la droite donnée s'ap-

pi g . 58. plique sur b' a 4 ; l'angle de la

ï droite avec le plan horizon-

\ tal est l'angle 6'a 4 6.

\ De même l'angle de la

> \ droite avec sa projection

X b ' 1 * verticale b' a' est situé dans l'autre plan projetant b' a' a\ si Ton fait tourner ce plan autour de sa trace horizon- « taie aa\ la droite a'V per-

pendiculaire à a a' se rabat sur la ligne de terre, suivant une ligne égale a'b' u et la droite donnée s'applique sur ab\\ l'angle de la droite avec le plan vertical est l'angle a b\ a*.

Problème XV.

48. Par un point donné mener une droite qui fasse avec les plans de projection des angles donnés.

Proposons-nous d'abord de mener par un point (6, b') (fig. 59), situé dans le plan vertical de projection, une droite qui fasse avec les plans de projection des angles donnés a et p. Supposons le problème résolu, et soit (ab, a'b') la droite cherchée; la droite dans l'espace est l'hypoténuse de deux triangles rectangles abb\ et aa!b\ dans lesquels les angles bab\ a' Va sont les angles donnés a et p. Rabattons le premier triangle suivant b'btti sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de bb'; nous construirons ensuite, sur le plan vertical, un triangle b'a i a\ égal au second triangle, a 4 6' étant l'hypoténuse, b'a\ égal à b'a', et a^^ égal à aa\ On déduit de là la solution du problème.On construira d'abord letriangle rectangle &'ôa 4 ,dans lequel on connaît le côté de l'angle droit bb' et l'angle opposé a; on construira ensuite letriangle rectangle a 4 Va\, dans lequel

DROITE ET PLAN

on connaît l'hypoténuse a { b\ et l'angle adjacent a* b'a\ égal à p. Un arc de cercle décrit du point V comme centre, avec b'a\ pour rayon, déterminera le point a' sur la ligne de terre; une perpendiculaire à la ligne de terre au point a' coupera le cercle décrit du point b comme centre avec ba t pour rayon, au point a, et on aura ainsi les projections ab, a'b' de la droite cherchée.

Si le point donné est situé d'une manière quelconque dans l'espace , par un point pris dans le plan vertical on mènera une droite faisant avec les plans de projection des angles égaux aux angles donnés, et ensuite on mènera par le point donné une parallèle à cette droite.

49. Remarque. On peut toujours construire les deux triangles rectangles b'ba lt Va L af^ mais, pour que le problème soit

possible, il faut que la circonférence décrite du point b' comme centre, avec b'a\ pour rayon, coupe la ligne de terre entre les points b et a l7 et pour cela, il faut que Va\ soit moindre que b'a t et plus grand que b' b. La première condition est toujours remplie, le côté Va\ de l'angle droit d'un triangle rectangle étant plus petit que l'hypoténuse &'a â . Quant à la seconde, elle exige que la somme des deux angles donnés a et p, que l'on peut toujours supposer aigus, soit moindre qu'un angle droit. En effet, le quadrilatère b'a'i a 4 6, dans lequel les angles a\ et b sont droits, est inscriptible dans un cercle; si le côté b'a\ est plus grand que b'b, l'angle Va t a\ est plus grand que l'angle Va L b: or, le premier angle est égal à 90°— p, le second est égal à « ; on a donc

90°— p>«, ou « + p<90°.

Réciproquement, si l'on a «+p<9û\ ou 90° — p>a, le côté

b'a\ sera plus grand que V b. Ainsi, pour que le problème soit possible, il faut et il suffît que la somme des angles aigus donnés a et p soit plus petite que 90°.

Quand cette condition est remplie, la circonférence décrite du point b' comme centre, avec Va\ pour rayon, coupant la ligne de terre en deux points, et les perpendiculaires à la ligne de terre en ces deux points coupant chacune la seconde circonférence en deux points, le problème admet quatre solutions. Il est bon de remarquer que les quatre droites ainsi obtenues sont symétriques deux à deux par rapport au plan vertical de projection, et par rapport à un plan perpendiculaire à la ligne de terre mené par le point &'.

Problème XVI.

$0. Trouver Fangle de deux droites.

Si les deux droites sont parallèles à l'un des plans de projection, les angles de ces deux droites se projettent en vraie

Fig. eo. grandeur sur ce plan. Con-

sidérons deux droites quelconques (am, a' m'), (6 m, b' m'), qui se coupent au point (m 9 m') (fig. 60); ces droites ont pour traces horizontales les points a et 6, et le plan de ces deux droites a pour trace horizontale a 6. Rabattons ce plan sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace a b. Les traces horizontales des deux droites, étant situées sur Taxe, restent immobiles, de sorte que, pour avoir le rabattement de ces droites, il suffit de trouver le rabattement de leur point d'intersection M. La droite Mm étant perpendiculaire au plan horizontal, si du point m on mène une

DROITE ET PLAN. 45

perpendiculaire mi à la droite aô, la droite qui dans l'espace joint le point i au point M est elle-même perpendiculaire à la droite a b. Dans le mouvement de rotation, cette droite îM reste perpendiculaire à la droite a b ; elle se rabat donc dans le plan horizontal suivant une perpendiculaire à la droite a b menée par le point t, c'est-à-dire sur la droite i m prolongée. Il s'agit de trouver la longueur de cette perpendiculaire tM. Cette longueur est l'hypoténuse d'un triangle rectangle imM, dont on connaît les deux côtés de l'angle droit, l'uni m, l'autre m M égal à fxm'; pour construire ce triangle, nous prendrons sur la ligne de terre une longueur |*a égale à im; l'hypoténuse m'a est égale à la droite cherchée £M. Nous porterons ensuite cette longueur, à partir du point t, sur la droite i m prolongée, ce qui nous donnera le point Mi, où se rabat le point M. Les deux droites données se rabattent suivant aM L et bM^et les angles que forment ces droites dans l'espace se trouvent ainsi rabattus sur le plan horizontal; l'un de ces angles est aMi&, l'autre l'angle supplémentaire.

Si. Proposons-nous de mener les bissectrices des angles des deux droites données. Après avoir rabattu le plan de ces droites comme nous l'avons expliqué, on mènera les bissectrices des angles rabattus, puis on ramènera le plan à sa première position. Menons, par exemple, la bissectrice Mie de l'angle aMift, elle rencontre la droite a b au point c. Quand on relève le plan, le point c, qui est sur l'axe, reste immobile, le point M 4 vient occuper la position M dans l'espace et se projette alors en (m, m'). La bissectrice Me, dont la trace horizontale est c, a pour projections mc,m'c'.

32. Remarque. Il arrive souvent que les traces horizontales des deux droites ne sont pas dans les limites de l'épure, on prend alors un plan horizontal auxiliaire a' V (fig. 61); ce plan coupe les droites aux points (a,a')> (6,6'), et le plan des deux droites a pour trace, sur ce plan horizontal auxiliaire, la droite (a b> aV). On rabat le plan des deux droites sur le

plan horizontal auxiliaire, en le faisant tourner autour de sa trace Afi; dans eette nouvelle position, le triangle MAB se

projette en vraie grandeur sur le plan horizontal de Tépure. Les points A et B étant situés sur Taxe restent immobiles, de sorte que pour avoir le rabattement des droites, il suffit, comme précédemment, d'obtenir le rabattement de leur point d'intersection M.

Si du point m on mène une perpendiculaire mi à la droite a 6, cette droite mi sera la projection horizontale de la hauteur MI du triangle; cette hauteur est encore l'hypoténuse m' * d'un triangle rectangle m' a (x dont on connaît les deux côtés de l'angle droit, l'un mV, l'autre |x« égal à mi. On portera donc cette longueur sur im à partir du point î, et on obtiendra le rabattement Mi du sommet du triangle; l'angle cherché estaMifc.

Fig. 62.

Cas particulier.

55. Considérons le cas où Tune des droites (mb, m' V) est parallèle au plan horizontal (fig. 62). La trace horizontale oR du plan des deux droites est parallèle à cette droite, et par conséquent parallèle à sa projection horizontale mb.

Si Ton rabat ce plan sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace horizontale aR, le point

DROITE ET PLAN

M vient en Mi, la droite a M en aM 4 . Quant à la seconde droite, comme elle est parallèle à l'axe de rotation, elle reste parallèle à cet axe et se rab^t suivant une parallèle M1B1 à la droite aR.

Si les deux droites données ne se rencontraient pas, par un point de Tune on mènerait une parallèle à l'autre; c'est l'angle de ces deux droites qu'on est convenu d'appeler, dans ce cas, l'angle des droites données.

Problème XVII.

54. Étant donné un plan et une droite dans ce plan, par un point de la droite mener dans ce plan une seconde droite faisant avec la première un angle donné.

Soient ABC le plan donné, (ab, a f b')\xne droite située dans ce plan, et (m, m') un point de cette droite (fig. 63). Supposons

Fig. es. le problème résolu, et soit

(cd, c'd') la droite cherchée.

Répétons la construction donnée au n° 50 pour trouver l'angle de deux droites; on a rabattu le plan des deux droites sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizon taie A B, et on a construit le point M t où se rabat le point M; l'angle aMtC est l'angle des deux droites. Pour résoudre le problème, après avoir construit, comme il a été expliqué au n° 30, lé point Mi rabattement du point M, on mènera par le point M 4 une droite M t c faisant avec M t a l'angle donné; le point e où cette droite MiC rencontre la trace horizontale AB du plan donné sera la trace horizontale de la droite cherchée. Ici, pour éviter de la confusion dans l'épure, on a construit le triangle rectangle M mi sur le plan horizontal en M 2 mi; il

suffit pour cela de mener par le point m une perpendiculaire à mi, ou plus simplement une parallèle à AB, de prendre sur cette droite une longueur mM t égale à ^m', puis de joindre iMj. On prend ensuite sur le prolongement de mi une longueur t'Mi égale à tM 2 .

Problème XVIII.