Trouver la plus courte distance de deux droites

On sait que la plus courte distance de deux droites A B, G D est

la perpendiculaire commune àces deux droites (Théorie, liv. V, th. 28). Pour construire cette perpendiculaire commune, en géométrie descriptive, il est fa commode d'opérer de la manière suivante: par la droite AB(fig.7l) onmène un plan P Q R parallèle à la droite G D ; d'un point quelconque G de la droite GD on abaisse une perpendiculaire GH sur le plan PQR; par le

Fig. ?i.

pied H de cette perpendiculaire on mène une droite H K parallèle à CD; cette parallèle, contenue dans le plan PQR, rencontre la droite A B en un point K; par ce point on mène une droite KL parallèle à GH; cette droite KL, contenue dans le plan G G H, rencontre la droite CD en un point L. La droite KL, étant parallèle à G H, est perpendiculaire aux deux droites AB, KH situées dans ce plan, et aussi à la droite CD parallèle à KH; c'est donc la perpendiculaire commune demandée*

Voici comment on effectue ces constructions : les droites AB, CD sont définies par leurs projections (a&, a' V), (cd,c'd') (fig. 14, planche III). Par un point de la droite A B, par sa trace verticale V, par exemple, on mène une droite (bf, b'f) parallèle à DC, et on construit les traces du plan PQR, qui contient les deux droites (ab, a' 6'), (bf, b'f)\ par un point quelconque (g, g 1 ) de la droite CD on mène une perpendiculaire au plan PQR, et on détermine le point (h, h*) où cette droite perce le plan. Si on demandait seulement la longueur de la perpendiculaire commune, il suffirait de déterminer la distance des points (#, g'), (h, h'), car les parallèles GH, LK sont égales.

Si Ton veut en outre les projections de la perpendiculaire commune, on mènera du point (h, h') une parallèle à la droite CD, et on cherchera le point (k f k') où cette parallèle rencontre la droite AB;. de ce point (A;, k') on mènera une parallèle à la droite G H, et on cherchera le point (/, V) où cette parallèle rencontre la droite CD. La droite (W, k'V) est la perpendiculaire commune aux deux droites données; et sa longueur KjLj mesure la plus courte distance des deux droites.

Cas particuliers.

63. La construction se simplifie beaucoup quand Tune des droites est perpendiculaire à l'un des plans de projection. Si la première droite est perpendiculaire au plan horizontal, elle a pour projection horizontale un point a, et pour projection verticale une droite a' V perpendiculaire à la ligne de terre

DROITE ET PLAN

(lig. 72). La perpendiculaire commune est horizontale ; l'angle Fig 72 droit qu'elle fait avec la seconde

droite se projette sur le plan horizontal suivant un angle droit (n° 45). Pour avoir la projection horizontale de la perpendiculaire commune, il suffit donc de mener par le point a une perpendiculaire al à la projection horizontale cd de la seconde droite; on en déduit facilement la projection verticale VK qui est parallèle à la ligne de terre. Cette perpendiculaire commune se projette d'ailleurs en vraie grandeur sur le plan horizontal.