Trouver V angle de deux plans

Il est un cas où l'on a immédiatement l'angle de deux

plans, c'est lorsque ces plans sont tous deux perpendiculaires à l'un des plans de projection.

Soient les deux plans ABC, DEP (fig. 68), tous deux perpendiculaires au plan vertical ; les angles dièdres formés paç ces plans sont mesurés par les angles de leurs traces verticales BC, EF.

Considérons maintenant deux plans quelconques ABC, DEP (fig. 69). Nous les couperons par un plan perpendiculaire à leur intersection; ce plan a sa trace horizontale cdperpendi-

DROITE ET PLAN

Fig. 69.

culaire à la projection horizontale a b de l'intersection ; désignons pai 1 la lettre le point où il coupe cette droite ; les

angles dièdres des deux plans donnés sont mesurés par les angles que forment entre elles les droites Oc, Od f suivant lesquelles ces plans sont coupés par le plan perpendiculaire. Pour avoir ces angles, nous rabattrons le plan auxiliaire sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale cd. Le point de l'intersection des deux plans a sa projection horizontale sur la projection horizontale ab de cette droite ; la droite ab étant perpendiculaire au point f à la droite cd; il en résulte que la droite fO est aussi perpendiculaire à"la droite cd; elle se rabat donc dans la direction fa. Pour avoir la longueur de la droite /"O, nous remarquerons que cette droite est perpendiculaire à la ligne d'intersection des deux plans, comme étant située dans un plan perpendiculaire à cette ligne, et nous rabattrons le plan a b b' qui la contient sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de sa trace verticale b b'. Le point a vient en a% sur la ligne de terre à une distance du point b égale à ba ; de même le point f vient en f % ; la droite d'intersection se rabat en b'aiï quant à la droite f0 9 elle se rabat suivant une perpendiculaire f 2 2 , menée du point f % à la droite &'a 2 ; on a donc une longueur /iO,. Nous avons dit que, dans le premier rabattement, la droite fO prend la direction fa ; si donc on porte à partir du point /"dans cette direction une longueur fO t égale à AOt, on. obtient le rabattement 0* du point 0; les droites c0 4 , dOi sont les rabattements des droites cO, dO, suivant lesquelles les plans proposés sont coupés par le plan perpendiculaire , et les angles qu'elles forment entre elles

mesurent les angles dièdres de ces plans; l'un d'eux est l'angle cO i d 1 l'autre l'angle supplémentaire.

68. Proposons-nous de mener les plans bissecteurs des angles dièdres formés par les plans proposés. On remarquera que ces plans passent par la droite d'intersection des plans proposés, et que les droites suivant lesquelles ils sont coupés par le plan perpendiculaire sont les bissectrices des angles formés par les droites d'intersection du plan auxiliaire avec les plans proposés. Après avoir rabattu le plan perpendiculaire et les droites d'intersection comme nous l'avons expliqué, on mènera les bissectrices des angles de ces droites, et on aura ainsi une droite située dans chacun des plans bissecteurs ; comme d'ailleurs ces plans contiennent la droite d'intersection des plans donnés , chacun d'eux sera déterminé.

Menons, par exemple, la bissectrice O x g de l'angle c0 4 d; quand on relève le plan auxiliaire, cette droite tourne autour du point g, qui est sa trace horizontale, pour prendre la position gO dans l'espace ; le plan 'bissecteur mené par cette droite gO a pour trace horizontale la droite agK qui passe par la trace g de la droite gO et par la trace a de la droite d'intersection des deux plans; il a pour trace verticale H 6'.

Problème XXIII.

65. Par une droite donnée dans wijplan t mener v/n plan qui fasse avec le premier un angle donné.

Soient ABC le plan donné, (ab, a'b') une droite située dans ce plan; supposons le problème résolu, et soit DE F le plan cherché (fi g. 70). Répétons la construction précédente, comme si nous voulions chercher l'angle de ces deux plans. On mène un plan auxiliaire perpendiculaire à la droite (ab t a'b') ; sa trace horizontale cd est perpendiculaire à ab ; on porte ensuite sur ab une longueur fO t égale à £0* çt l'on a le sommet 4 de l'angle cOd rabattu sur le plan horizontal. Pour résoudre le problème* après avpi* déterminé le point 4 , comme nous

DROITE ET PLAN

■ l'avons dit, on mène une droite Oid faisant avec 4 c l'angle donné ; cette droite coupe la trace horizontale du plan auxi~

Fig. 70.

liaire en un point d qui appartient à la trace horizontale du plan cherché; en joignant ce point au point a, on a cette trace DE, et en joignant le point E au point b', on a la trace verticale EP. Il est clair que le problème admet deux solutions. '

Problème XXIV.