CHAPITRE PREMIER
PRINCIPES
Insuffisance du dessin ordinaire. — Représentation d'un point par ses projections. — Traces d'un plan. — Projections d'une droite. — Traces d'une droite. — Reconnaître si une droite est située dans un plan. — Reconnaître si un point est situé dans un plan. — Distance de deux points.
Insuffisance du dessin ordinaire.
1. Par le dessin linéaire, on représente- les figures planes au moyen de figures exactement semblables , avec un rapport de similitude donné. Si, sur le dessin, à l'aide de l'échelle con-' venue, on mesure avec un compas la distance de deux points quelconques, on obtient cette longueur telle qu'elle est dans la figure que le dessin a pour but de représenter. De même, si l'on mesure avec un rapporteur l'angle de deux droites, on obtient la vraie valeur de cet angle. Le dessin linéaire ne laisse donc rien à désirer quant aux figures planes.
Mais il n'en est plus de même pour les figures à trois dimensions. Si l'on voulait représenter une figure à trois dimensions par une figure exactement semblable, il faudrait construire un modèle en bois , en métal , ou en plâtre , ce qui serait extrêmement long et très-dispendieux. Le dessin ordi-
naire, qui est basé sur les principes de la perspective, a pour but de produire sur l'œil la même impression que les objets réels. Mais la similitude n'est pas conservée dans le dessin lui-même : des longueurs égales ne.sont pas représentées sur le dessin par des longueurs égales ; elles sont plus ou moins réduites, suivant l'inclinaison sous laquelle on les voit; les angles sont aussi altérés. La figure 1 représente le dessin
d'un lavoir; la base du lavoir qui est un carré, est représentée sur le dessin par un quadrilatère irrégulier; les angles, qui sont droits, par des angles aigus ou obtus ; la longueur et la largeur, qui sont égales, sont figurées par des longueurs trèsdifférentes. Le côté qui est vu en raccourci est beaucoup plus petit que l'autre. Ainsi, le dessin ordinaire, bien qu'atteignant parfaitement son but, qui est, comme nous l'avons dit, de produire dans l'œil l'image des objets, est tout à fait insuffisant quand il s'agit d'une machine ou d'un bâtiment dont on veut
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représenter exactement les diverses parties. Un dessin ordinaire donnera bien l'idée générale du bâtiment on de la machine; en cela il est excellent. Mais ce que l'architecte et l'ingénieur se proposent ayant tout, c'est de faire un dessin sur lequel on puisse, avec un compas, prendre la mesure exacte de toutes les parties, et à laide duquel on puisse par conséquent construire la machine ou le .bâtiment avec toute la précision possible. On a recours pour cela à la méthode des projections.
Fig. 2.
Représentation d'an point par ses projections.
2. On sait que l'on appelle projection d'un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan.
Ainsi la projection du point A sur un plan horizontal LM est le pied a de la perpendiculaire Aa, abaissée du point A sur ce plan (fig. 2).
Mais la projection a sur le plan horizontal ne suffit pas pour déterminer complètement la position du point A dans l'espace; elle apprend seulement que le.
point A est situé sur la perpendiculaire indéfinie élevée au point a.
Pour déterminer complètement la position du point A, on fait usage de deux plans de projection, que Ton choisit ordinairement perpendiculaires entre eux, l'un horizontal LM, l'autre vertical LN. On se représentera trèsrbien les deux plans de projection, en supposant que l'un, le plan horizontal, soit le sol ou le plancher de la chambre dans laquelle on est placé, l'autre un mur vertical. L'intersection LT des deux plans de projection, ou la trace du mur vertical sur le sol, porte le nom de ligne de terre. Si Ton projette le point A sur ces deux plans, au moyen des perpendiculaires A a et A a', les deux projections a et a' détermineront complètement la position du point A dans l'espace ; car ce point, devant se trouver à la fois
sur la perpendiculaire élevée par le point a au plan horizontal et sur la perpendiculaire menée par le point a' au plan vertical, sera à l'intersection de ces deux droites, et par conséquent sera parfaitement déterminé.
Il en est de même d'un corps quelconque. Considérons, par
exemple, une pyramide triangulaire, dont la base bcd repose
Fi g . 3. sur le plan horizontal (fig. 3);
le sommet A se projette en a et a'. La base bcd située dans le plan horizontal et les deux projections a et a' du sommet A déterminent complètement la pyramide. Les trois arêtes latérales A ô, A c y Ad de la pyramide ont pour projections, sur le plan horizontal, les droites ab, ac, ad, sur le plan vertical les droites a' V, a' d, d d'.
Fig. 4.
5. En général, un corps quelconque sera représenté par deux figures planes tracées sur les deux plans de projection.
Afin de pouvoir tracer ces deux figures sur une même feuille de papier, on suppose que la feuille de papier coïncide avec le plan horizontal LM: puis on imagine que le plan vertical LN tourne autour de la ligne de terre LT pour se rabattre sur le plan horizontal en LM' (fig. 4) de l'autre côté de la ligne de terre. Dans ce mouvement du plan vertical, le point a', projection verticale du point A de l'espace, décrit un quart de cercle et vient se placer en a' dans le plan horizontal ; les deux projections a et a! du point A de l'espace sont alors marquées sur la même feuille de papier comme le montre la figure 5. De même, les deux projections de la pyra-
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Fig. 5.
JD
Fig. 6.
mide triangulaire, étant amenées dans le même plan, pourront être placées sur la même feuille de papier (fig. 6), et constitueront Yèpwre du corps que l'on veut représenter.
4. Il est à remarquer qu'après le rabattement du plan vertical de projection sur le plan horizontal, les deux projections a et a f d'un point quelconque A de l'espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Reportons-nous en effet à la figure 4. Du point A de l'espace on a abaissé des perpendiculaires A a, A a' sur les deux plans de projection; considérons le plan de ces deux perpendiculaires : ce plan , passant par deux droites respectivement perpendiculaires aux deux plans LM et LN,.
est perpendiculaire à chacun de ces deux plans, et par conséquent perpendiculaire à leur intersection LT (Théorie, liv. V, th. 24).
Soit a le point où le plan dont il s'agit rencontre la ligne de terre LT; ce plan coupe les deux plans de projection suivant deux droites «a, a a', qui sont toutes deux perpendiculaires à la ligne LT, puisque cette ligne est perpendiculaire au plan Aa, qui contient ces deux droites. Quand on fait tourner le plan vertical LN autour de la ligne de terre LT pour le rabattre sur le plan horizontal, la droite aa' reste perpendiculaire à LT, et se place dans le plan horizontal suivant le prolongement de la perpendiculaire a a. Ainsi, dans l'épure, les deux projections a et a' d'un même point de l'espace sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (fig. 5) .
Une autre remarque non moins importante, c'est que la
longueur a' a sur l'épure indique à quelle hauteur le point A est situé au-dessus du plan horizontal, et la longueur aaà quelle distance en avant du plan vertical. En effet, la figure kaaa' (fig. 4) est un rectangle; la perpendiculaire A a, qui est égale à a'«, mesure l'élévation du point A au-dessus du plan horizontal LM; la perpendiculaire A a', qui est égale à a oc, mesure de même la distance du point A en avant du plan vertical.
S. Réciproquement, deux points a et a' de l'épure , situés sur une même perpendiculaire aaa r (fig. 5) à la ligne de terre, peuvent être considérés comme étant les deux projections d'un même point de l'espace. Imaginons, en effet, que l'on relève le plan vertical en le faisant tourner autour de la ligne de terre, pour le ramener dans sa position primitive LN (fig. 4). Dans ce mouvement, la droite W reste perpendiculaire à la ligne de terre; les deux droites aa, aa', toutes deux perpendiculaires à la ligne de terre au point a, déterminent un plan perpendiculaire à cette ligne L T, et par conséquent * perpendiculaire à chacun des deux plans de projection. Si par le point a on élève une perpendiculaire au plan LM, et par le point a! une perpendiculaire au plan LN, ces deux perpendiculaires seront contenues toutes deux dans le plan a<xa (Théorie, liv. V, th. 23) ; elles se rencontreront donc, et détermineront par leur intersection un point A de l'espace ; ce point A admet pour projections les deux points donnés a et a\
Fi 8- 7 - 6. Mais, si l'on prend deux points
J 6 ' a et V (fig. 7) non situés sur une
même perpendiculaire à la ligne de
__ w , terre, ces deux points ne peuvent pas
j P T convenir pour représenter un point
| de l'espace. Supposons en effet les
i deux points a et V situés sur deux
a perpendiculaires différentes aa,6'pà
la ligne de terre. Imaginons, comme précédemment, le plan vertical relevé et ramené à sa position primitive LN (fig. 8);
PRINCIPES
Fig. 8.
les plans a a a', bpb\ menés par les points a et p, perpendiculairement à la ligne de terre LT, seront parallèles. Si par le
point a on élève une perpendiculaire au plan horizontal LM, et par le point V une perpendiculaire au plan vertical LN, la première sera contenue dans le plan aaa', la seconde dans le plan 6p6' ; les deux perpendiculaires, étant situées dans des plans parallèles, ne peuvent se rencontrer. Ainsi, les deux points a et b' ne sont pas les projections d'un même point de l'espace.
Il résulte de ce qui précède que deux points marqués au hasard dans les deux plans de projection ne représentent pas, en général, un point de l'espace. Il faut pour cela que sur l'épure ces deux points soient sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. 11 importe de bien se rappeler cette condition : elle est très-utile ; elle abrège beaucoup les opérations graphiques et sert de vérification.
7. Jusqu'ici, nous n avons considéré que les points situés dans l'angle dièdre formé par le plan horizontal LM et le plan vertical LN; il est facile de comprendre comment le même mode de représentation peut être étendu à tous les points de l'espace. Imaginons les deux plans de projection prolongés indéfiniment (fig. 9), le plan horizontal suivant LM' derrière la ligne de terre, le plan vertical suivant LN' au-dessous : ces deux plans formeront alors quatre angles dièdres droits comprenant tout l'espace. Afin de distinguer ces quatre angles dièdres, on donne au premier d'entre eux, celui qui est formé par la partie antérieure LM du plan horizontal et la partie supérieure LN du plan vertical, la qualification à 9 antérieur- supérieur ; le point A, situé dans ce premier angle, se projette en a et a'. Le
Fig. 9.
second angle, celui qui est formé par la partie postérieure L M'
du plan horizontal et la partie supérieure LN du plan vertical, s'appelle postérieur- supérieur; le point B, situé dans cet angle, a pour projections b et V. Le troisième, celui qui est formé par la partie postérieure LM' du plan horizontal et la partie inférieure LN du plan vertical, s'appelle postêrieur-infériewr ; le point G, situé dans cet angle, se projette en c et c\ Enfin, le quatrième, qui est formé par la partie antérieure LM du plan horizontal et la partie inférieure LN' du plan vertical,
s'appelle antérieur-inférieur; le point D, situé dans ce dernier
angle, a pour projection d et d'.
8. Quand on fait tourner le plan vertical autour de la ligne de terre, pour rabattre la partie supérieure LN de ce plan sur la partie postérieure LM' du plan horizontal, comme nous l'avons expliqué précédemment, la partie inférieure LN' du plan vertical vient en même temps s'appliquer sur la partie antérieure LM du plan horizontal. De cette manière, chaque portion de la feuille de papier, sur laquelle on construit l'épure, a une double signification; la ligne de terre LT divise ordinairement cette feuille en deux parties égales; la moitié qui est en avant représente la partie antérieure LM du plan horizontal et aussi la partie inférieure LN' du plan vertical; l'autre moitié représente de même la partie postérieure LM' du plan horizontal et aussi la moitié supérieure LN du plan vertical.
Afin d'éviter toute confusion, on est convenu de désigner par une même lettre les deux projections d'un point, en
i îb
PRINCIPES. 9
mettant la lettre simple à la projection horizontale et la même lettre accentuée à la projection verticale.
La figure 10 représente les projections d'un point dans ces diverses positions. Les points a et a' sont les deux projections d'un point situé dans l'angle antérieur-supérieur, à l m ,50 en avant du plan vertical et à l m ,65 au-dessus du plan horizontal (a est la projection horizontale, a' la projection verticale*).
Les points b et V sont les
Flg. 10. r
T <r projections d'un point situé
dans l'angle postérieur-supérieur, à l m ,l0 en arrière du plan vertical et à 1",40 au-
Y dessus du plan horizontal (6
est la projection horizontale, V la projection verticale.) j *a Les points c et c' sont les
** projections d'un point situé
dans l'angle postérieur-inférieur, à l m ,37 en arrière du plan vertical et à l m ,63 au-dessous du plan horizontal (c est la projection horizontale, d la projection verticale).
Enfin, d et d' sont les projections d'un point situé dans l'angle antérieur-inférieur, à l m ,48 en avant du plan vertical et à l m ,05 au-dessous du plan horizontal (d est la projection horizontale, d' la projection verticale).
On voit par là que le point dans l'espace est situé au-dessus ou au-dessous du plan horizontal, suivant que sa projection verticale est au-dessus ou au-dessous de la ligne de terre, et qu'il est en avant ou en arrière du plan vertical, suivant que sa projection horizontale est en avant ou en arrière de la ligne de terre.
