DES METHODES EN GEOMETRIE DESCRIPTIVE

Rabattements.

67. Rabattre un plan P sur un plan H, c*fest faire tourner le

plan P autour de la droite d'intersection MN des deux plans

**• 7C pour l'appliquer sur le plan H

(fig. 74). Quand le plan P est rabattu sur le plan H, un point A du plan P vient en A 4 sur le plan H, et, en général, toute figure A B G. .. .

située dans le plan P se £lace en AiBiCi.... sur le plan H. Si ensuite on relève le plan en le faisant encore tourner autour de la droite MN, pour le ramener à sa position primitive, le point A 4 revient en A, et la figure A^ (V... reprend sa position primitive ABC... Pour déterminer les véritables dimensions d'une figure plane dont on connaît les projections, il suffit de rabattre le plan qui là contient sur l'un des plans de projection ; le plan une fois rabattu, on pourra effectuer les constructions nécessaires pour déterminer de nouvelles parties de la figure ; en relevant ensuite le plan, on en «déterminerait les projections. C'est ainsi que nous avons opéré pour trouver la distance de deux points donnés par leurs projections (M); et pour porter une longueur donnée à partir d'un point donné sur une droite dé- . finie par ses projections (22), nous avons rabattu sur le plan horizontal un plan mené par la droite perpendiculairement au plan horizontal. C'est encore de cette manière que nous avons déterminé l'angle de deux droites (80); nous avons rabattu le plan de ces deux droites sur le plan horizontal. Mais il est bon de reprendre en détail les opérations nécessaires Pour effectuer un rabattement.

DES MÉTHODES

68. Quand on veut rabattre un plan ABC sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de sa trace horizontale A B, il est avantageux de construire d'abord le rabattement de la trace

verticale B C (fig. 7 5) . Soit p'un pointde cette trace; menons du point p' une perpendiculaire p' p à la ligne de terre, et du point p une perpendiculaire p q à la trace horizontale AB du plan. La droite qui joint le point q au point p' reste perpendiculaire à l'axe de rotation AB, et se rabat sur qp\ , prolongement depç; le pointBreste immobile; la longueur Bp' ne varie pas; si donc du point B comme centre, avec un rayon égal à Bp', on décrit un arc de cercle, le point p\ , où cet arc coupe la droite qp\, est le point où se place le point p', de sorte que la droite Bp'tdest le rabattement de la trace verticale du plan.

On peut encore obtenir le point p\ d'une autre manière. Si Ton construit le triangle rectangle qpp\ , dont les côtés de l'angle droit sont pq et pp\ on obtient la longueur qp\ de la droite qui joint le point g au point p'; en portant cette longueur sur le prolongement de pq en qtfi, on a le point p'i, et par suite le rabattement Bd de la trace verticale du plan.

Une fois qu'on a construit le rabattement de la trace verticale du plan, on peut s'en servir pour toutes les constructions ultérieures. Considérons d'abord une droite (a b, a'b') située dans le plan ; sa trace horizontale a reste immobile ; en prenant sur BC 4 une longueur B&' 4 égale à B6', on a le point b\ où se place la trace verticale b' ; le rabattement de la droite

est a b\ . Comme vérification, on peut remarquer que la droite bb\ doit être perpendiculaire à AB.

Proposons-nous maintenant, étant donnée la projection horizontale m d un point M du plan, de trouver le rabattement de ce point. On reconnaît qu'un point M est situé dans le plan ABC, lorsqu'il est sur une droite (a6, a'b') contenue dans ce plan ; nous avons construit le rabattement ab\ de cette droite; menons du point m une perpendiculaire mh à AB ; la droite M/&, qui est perpendiculaire à AB, reste perpendiculaire à cette droite et se place sur le prolongement de mh ; le point M vient en M £ à l'intersection des droites ab\ et mh.

Quand on a à considérer un grand nombre de points situés dans le plan ABC, au lieu de mener par chacun d'eux une droite quelconque située dans le plan, il est préférable de se servir des horizontales du plan. Soient me, raV les projections de la parallèle menée par le point M à la trace horizontale du plan; cette droite reste parallèle à l'axe de rotation; si donc sur BC 4 on prend une longueur Bc'i égale à Bc', et si, par le point c'i, on mène une droite c\}i x parallèle à AB, on aura le rabattement de la droite (wc, m' c'). Le point M 4 sera donné par l'intersection de cette parallèle et de la perpendiculaire mh prolongée.

69. Réciproquement, soit BC^ le rabattement de la trace verticale du plan ABC sur le plan horizontal; dans le plan rabattu traçons une droite quelconque ab\ 9 et cherchons les projections de cette droite, quand on ramène le plan à sa première position, en le faisant tourner autour de la droite AB. Le point a qui est sur Taxe reste immobile : c'est la trace horizontale de la droite. Le point b\ se place en*6' sur la trace verticale B C du plan, à une distance Bft' égale à Bô' s ; le point b' est la trace verticale de la droite, dont les projections sont ainsi a b, a'b*.

De même, soit un point M 4 quelconque dans le plan rabattu ; pour déterminer la position de ce point quand le plan est ramené à sa position primitive, menons par le point M t une droite

DES MÉTHODES

arbitraire db\ dont nous construirons, comme nous l'avons dit, les projections a 6, a'b'. La perpendiculaire Mi/i abaissée du point Mi sur l'axe AB reste perpendiculaire à cet axe, et sa projection horizontale est le prolongement de M t /i; la projection horizontale m du point M est à l'intersection des droites ab et Mi h; on en déduit la projection verticale m'.

Si l'on donne plusieurs points dans le plan rabattu, au lieu de mener par chacun d'eux une droite arbitraire , il sera préférable de mener des parallèles à la droite AB. Soit M,^, la parallèle à AB menée par le point M f ; cette droite reste parallèle à la trace horizontale du plan ; en prenant sur BG une longueur Bc' égale à Bc'i , on a sa trace verticale c'; sa projection verticale c'm' est parallèle à la ligne de terre; sa projection horizontale cm est parallèle à AB. La projection horizontale m du point M est à l'intersection des droites c m et Mi h.

Des rotations.

70. Les constructions à effectuer pour résoudre un problème deviennent souvent très-simples lorsque la figure occupe une position particulière par rapport aux plans de projection ; il est donc utile de déplacer la figure pour lui donner la position la plus favorable à la construction de l'épure ; un genre de mouvement facile à effectuer consiste dans une rotation

autour d'un axe perpendiculaire à l'un des plans de projection.

Supposons d'abord que l'on fasse tourner la figure d'un certain angle autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal; chaque point décrit un arc de cercle, dont le centre est le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur Taxe , et dont le plan est perpendiculaire à l'axe; cet arc de cercle, étant dans un plan horizontal, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal, et

Fig. 76.

suivant une parallèle à la ligne de terre sur le plan vertical.

Soient o la projection horizontale de Taxe, et o'z' sa projection verticale (fig. 76) ; la perpendiculaire abaissée d'un point (m, m') sur Taxe a pour projection horizontale mo, et pour projection verticale une parallèle m'c' à la ligne de terre. L'arc décrit par le point M se projette sur le plan horizontal suivant un arc de cercle mwt décrit du point o comme centre avec om pour rayon, et tel que l'angle momt soit égal à l'angle de rotation «; ce même arc se projette sur le plan verticcd suivant une parallèle m'm\ à la ligne de terre. Après la rotation, le point M a pour projections m t , m' t .

71. On déterminera la nouvelle position d'une droite à l'aide de deux de ses points.' Lorsque la droite rencontre l'axe (fig. 77), le point de rencontre ti reste immobile, et la droite

Fig. 77.

Fig. 78.

décrit une surface conique; il suffit alors de considérer un second point, par exemple sa trace horizontale a. Lorsque la droite est parallèle à l'axe, elle décrit un cylindre; il suffit alors de considérer sa trace horizontale (fig. 78). Enfin, quand la droite n'est pas dans un même plan avec Taxe, elle décrit une surface à laquelle on a donné le nom d'hyperboloïde de révolution. Soient (aô, afb T ) (fig. 79) les projections de la droite

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Fig. 79.

dans le cas général; la perpendiculaire commune à Taxe et ,

à la droite se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal , suivant une perpendiculaire oa abaissée du point o sur la projection horizontale ab 9 et sur le plan vertical suivant une parallèle a'c' à la ligne * de terre. Après la rotation, le point (a, a') vient en (a^a't); la projection horizontale de la droite reste tangente au cercle décrit par le point a, et vient en a t bi\ on obtiendra la nouvelle position d'un second point de la droite, celle de la trace horizontale b, par exemple , en décrivant un arc de cercle du point o comme centre avec ob pour rayon, et on en déduira la nouvelle projection verticale b\a\ de la droite.

72. Pour déterminer la nouvelle position d'un plan ABC, après une rotation autour d'un axe vertical, il suffira de considérer deux droites situées dans ce plan. On prendra de préférence deux horizontales du plan, par exemple la trace horizontale AB et l'horizontale (oô, c'b') qui rencontre l'axe. La trace horizontale AB (fig. 80), comme • nous l'avons vu , reste tangente au cercle décrit du point o comme centre, avec un rayon égal à la perpendiculaire oa abaissée du point o sur

Fig. 80.

cette droite, et vient en A t Bi; la seconde droite restant pendant la rotation parallèle à AB, sa nouvelle projection horizontale oh est parallèle à AiBi; sa projection verticale étant toujours b'c', sa nouvelle trace verticale est d\. En joignant le point A 4 au point d\, on obtient la nouvelle trace verticale du plan.

Lorsque le plan donné est vertical, comme il reste vertical pendant la rotation, il suffit de déterminer la nouvelle position de sa trace horizontale.

73. Appliquons ce procédé 4 la recherche de la distance de deux points. Lorsque la droite qui joint les deux points est parallèle au plan vertical, elle se projette sur ce plan en vraie grandeur ; si la droite occupe une position quelconque dans l'espace, on la fera tourner autour d'un axe vertical jusqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical de projection. Soient (a,a') y (b,V) les projections des deux points donnés (fig. 81) ; faisons tourner la droite AB autour de la verticale Fig. si. menée par le point A, jusqu'à ce

qu'elle devienne parallèle au plan vertical de projection. Le point A reste immobile ; la projection horizontale a b de la droite tourne autour du point a et vient se placer sur une parallèle ab t à la ligne de terre; le point B se projette alors en b u b\. Dans cette nouvelle position, là droite se projette en vraie grandeur sur le plan vertical suivant a' b\.

Si Ton veut porter sur la droite AB, à partir du point A, une longueur donnée, on fera tourner la droite autour de la verticale menée par le point A, pour la rendre parallèle au plan vertical de projection, et l'on déterminera sa nouvelle projection verticale à l'aide d'un second point quelconque (6, b') pris sur cette droite; sur cette

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projection verticale on portera une longueur a' c/, égale à la longueur donnée; ramenant ensuite la droite à sa position primitive, on aura les projections (c, c') du point cherché.

74. Le même procédé peut être appliqué à la détermination de l'angle de deux plans dont les traces sur un même plan de projection sont parallèles. Soient les deux plans ABC, DEP dont les traces horizontales sont parallèles (fig. 82) ; si

Fig 82 on fait tourner les deux

plans supposés invariablement liés l'un à l'autre autour d'une verticale, les traces horizontales restent parallèles ; on continue la rotation jusqu'à ce que les traces horizontales deviennent perpendiculaires à la ligne de terre ; les deux plans étant alors perpendiculaires au plan vertical, leur angle est mesuré par l'angle de leurs traces verticales. Pour simplifier l'épure, on prendra pour axe de rotation la verticale b b' qui passe par le

point de rencontre b' des traces verticales des deux plans ; ce point b' reste immobile ; quand les traces horizontales ont été rendues perpendiculaires à la ligne de terre, il suffit de joindre les points B 4 et E £ au point b' pour avoir les traces verticales; l'angle des deux plans est B^'Ej.

75. Comme troisième exemple, cherchons les points d'intersection d'une sphère et d'une droite donnée (a 6, a' b'). Soit (o, o') le centre de la sphère (fig. 83); le grand cercle horizontal se projette sur le plan horizontal suivant un cercle décrit du point o comme centre, avec un rayon oc égal au rayon de la sphère ; de même le grand cercle parallèle au plan vertical se projette sur le plan vertical suivant un cercle

Fig. 83.

égal décrit du point o' comme centre. La sphère étant comprise dans le cylindre vertical qui la touche suivant la circonférence du grand cercle horizontal , tout point de sa surface se projette sur le plan horizontal à l'intérieur du cercle oc; on verrait de même que la surface de la sphère se projette sur le plan vertical à l'intérieur du cercle oV.

Faisons tourner toute la figure autour de Taxe vertical passant par le centre de la sphère, jusqu'à ce que la droite donnée devienne parallèle au plan vertical de projection; et soient a 4 &i, a\b\ les nouvelles projections de la droite. Dans ce mouvement de rotation, la sphère coïncida toujours avec elle-même. Le plan vertical mené par la droite coupe la sphère suivant un cercle qui, après la rotation, se projette en vraie grandeur sur le plan vertical; le centre de ce cercle est situé sur une droite menée par le centre de la sphère perpendiculairement au plan sécant; cette droite est ici perpendiculaire au plan vertical de projection, et par conséquent le centre du cercle se projette en o' sur ce plan. Le diamètre horizontal de ce cercle, étant une corde du grand cercle horizontal, se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal suivant f t g it Si donc du point o' comme centre, avec un rayon égal à la moitié de/*^, on décrit un cercle, on aura la projection verticale du cercle d'intersection de la sphère et du plan vertical mené par la droite.

Les deux points m' 4 , n' 4 , où la projection verticale a\b\ de la droite rencontre la projection verticale du cercle, sont les

DES ^THODBS. Ç7

projections verticales des points où la droite perce la surface de la sphère; on en déduit les projections horizontales m iy n\ de ces mêmes points. Par une rotation en sens contraire de la première, on ramèaçra ensuite la sphère et la droite à leur première position, efc oji déterminera les projections (m, m')* (n, n') des points d'intersection.

76. No^s avons expliqué comment on construit les nouvelles projections d'une figijre, quand oa la fait tourner autqjjir d'un axe perpendiculaire a,u plan horizontal ; les constructions sont exactement les mômes qijand on la fait tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical*

Une seule rotation suffît pour rendre une droite donnée parallèle, on un plçn donné perpendiculaire, à l'un des plans de projection. Mais il faudrait deux rotations pour rendre une droite perpendiculaire, ou un plan parallèle, à ce plan de projection. Par exemple, si Ton veut rendre une droite de la figure perpendiculaire au plan horizontal, on la fera tourner d'abord autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal, jysqu'à ce qu'elle devienne parallèle au plan vertical; ensuite on la fera tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, jusqu'à ce qu'elle devienne perpendiculaire au plan horizontal. De même, si l'on veut rendre un plan parallèle au plan horizontal, on le fera tourner d'abord autour d'un axe perpendiculaire au plan horizontal, jusqu'à ce qu'il devienne perpendiculaire au plan vertical ; puis autour d'un axe perpendiculaire au plan vertical, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal.

Changement des plans de projection.

77. Nous avons dit que la simplicité d'une épure dépend de la position de la figure par rapport aux plans de projection; ^tu lieu de faire tourner la ligure autour d'un axe, ou successivement autour de deux axes, comme nous l'avons expliqué, pour l'amener dans une position convenable, on peut,

au contraire, laisser la figure immobile , et changer la position des plans de projection, ce qui revient au même.

78. Avant de traiter la question générale, nous nous occuperons d'un cas particulier qui, à la vérité, ne change pas la position relative de la figure et des plans de projection, mais qui a l'avantage de réduire les dimensions de l'épure et qui est souvent employé dans ce but; c"est celui où Ton déplace l'un des plans de projection parallèlement à lui-même.

Avançons par exemple le plan vertical parallèlement à luimême, en laissant fixe le plan horizontal, et soit LiT f la nouvelle ligne de terre (fig. 84). Nous prendrons pour plan de

Fi 84 Tépure le plan horizontal

qui est fixe. Soient {a, a') les projections d'un point A de l'espace dans le premier système; la projection horizontale a reste la même; la hauteur du point A au-dessus du plan horizontal ne changeant pas, H suffira de prendre, à partir de la nouvelle ligne de terre, une longueur «la'i égale à a a' pour obtenir la nouvelle projection verticale a/. Si Ton avait à considérer un grand nombre de points, on abrégerait les constructions en remarquant que la distance a'a\ est constante et égale à a« 4 .

Soient (ab, a'b') les projections d'une droite dans le premier système; la projection horizontale ne change pas, la nouvelle projection verticale a\b\ est parallèle à a'b', et pour l'obtenir, il suffit d'en construire un point.

Considérons enfin un plan ABC défini par ses traces; sa trace horizontale AB ne change pas; pour avoir la nouvelle trace verticale, il suffit par le point B â , où la trace hori-

DES MÉTHODES

Fig. 85.

zontale ÀB rencontre la nouvelle ligne de terre , de mener une parallèle B â C4 à BC.

79. Comme application de cette méthode, proposons- nous de trouver l'intersection de la droite (a6, o! V) et du plan AaB (fig. 85).

La trace verticale du plan qui projette la droite sur le plan

horizontal ne rencontre pas la trace verticale aB du plan donné dans les limites de l'épure, et de même la trace horizontale du plan qui projette la droite sur le plan vertical ne rencontre pas la trace horizontale a A du plan donné dans les limites de l'épure. La construction que l'on effectue d'ordinaire ne peut pas être appliquée immédiatement. Mais si Ton déplace l'un des plans de projection, la difficulté disparaît.

Élevons le plan horizontal, en laissant fixe le plan vertical, et soit L 4 Ti la nouvelle ligne de terre; nous prenons pour plan de l'épure le plan vertical, qui est iiie. Le plan proposé a pour nouvelle trace horizontale la droite a 4 A 4 parallèle à a A ; la droite proposée a toujours pour projection verticale a'6'; sa nouvelle projection horizontale est parallèle à l'ancienne ; pour la trouver, nous prendrons un point quelconque C de cette droite ; la projection verticale de ce point est toujours c', et, comme le point C est à une distance du plan vertical égale à yc, on obtiendra la nouvelle projection horizontale c 4 , en prenant YiC t égale à yc; on obtient donc la nouvelle projection horizontale de la droite en menant par le point c 4 la droite c { a,

•parallèle à ca. On appliquera maintenant là construction ordinaire; on cherchera l'intersection (fid iy fdf) du plan A^B avec le plan fd?d l9 qui projette la droite donnée sur le plan Vertical; le point (to 4 , *n'), où cette droite d'intersection rencontre la droite donnée, est le point detaahdé ; par rapport aux plans primitifs, les projections de ce point Sont (m, m').

80. Changeons maintenant la direction des plans de projection, et supposons d'abord que, laissant invariable le plan horizontal, on déplace le plan vertical. Soit L^ la nouvelle Kgne de terre (fig. $6), c'est-à-dire la trace du nouveau plan ni. 86. vertical sur le plan horizon-

tal ; il est évident que la projection de la figure sur le plan horizontal ne change pas; pour construire la projection sur le nouveau plan vertical, on prendra pour plan de l'épure le plan horizontal, et on imaginera que le plan vertical a été rabattu sur le plan horizontal.

Pour trouver lanouvelle projection verticale a' f d'un point A, on mènera de la projection horizontale a une perpendiculaire aa 4 à la nouvelle ligne de terre, et à partir de cette ligne et du côté convenable on portera une longueur « 4 a\ égale à la hauteur *<*' du point A au-dessus du plan horizontal.

Pour obtenir la nouvelle projection verticale b\a\ d'une droite AB, oh construira les nouvelles projections verticales de deux de ces points ; on emploiera de préférence la trace horizontale b.

8t. Pour déterminer la nouvelle trace verticale d'un plan BAC (fig. 87), on remarquera d'abord que le point A 4 , où la trace horizontale rencontre la nouvelle ligne de terre, appartient à cette trace verticale. On observera ensuite que la droite d'intersection a a' des deux plans verticaux rencontre le plan

DES MÉTHODES

Fig. 87.

donné en un point dont les anciennes projections sont a et a'; en élevant au point a une perpendiculaire à la nouvelle ligne de

terre, et prenant sut cette perpendiculaire une longueur aa\ égalé à aa', on aura la nouvelle projection verticale de ce point, et par suite un point de la nouvelle trace verticale du plan.

Si le point d'intersection a dès deux lignes de terre était trop éloigné, on mènerait dans le plan une horizontale (bc, 6V), et on chercherait le point (c, d) où elle rencontre' le nouveau plan vertical; la nouvelle projection verticale c\ de ce point appartient à la nouvelle trace verticale A^ du plan.