Trouver la pente dune droite

On appelle inclinaison d'une droite l'angle aigu que fait cette droite avec sa projection sur un plan horizontal. On appelle pente de la droite, la tangente trigonométrique de l'inclinaison. D'après cela, la pente est nulle quand l'inclinaison est nulle, c'est-à-dire quand la droite est horizontale; la pente croît de à l quand l'inclinaison croît de à 45°, et de 1 à <x> quand

l'inclinaison croît de 45° à 90°. La pente est infinie quand la droite est verticale.

Soient A et B deux points d'une droite, a et 6 leurs projections (fig. 103). En désignant par p la pente de cette droite, par i son inclinaison, on a

p = tang i.

Par le point A menons AB' parallèle à ab\ le triangle BAB' donne BB'=AB'xtang BAB'. L'angle BAB' est l'inclinaison de la droite, la tangente de cet angle est la pente ; on a donc

. . Bb — ka p=tan gl =— jj-.

Ainsi, la pente d'une droite est égale au rapport de la différence de niveau de deux points de cette droite à la distance horizontale de ces deux points.

Problème IY.

130. Construire V échelle de pente d'une droite. De la même formule on déduit

B& — ka

ab =

Ainsi, lorsqu J on divise la différence de niveau de deux points (Tune droite par la pente de la droite^ on obtient la distance horizontale de ces deux points.

On voit par là que, si Ton prend sur une droite quelconque

AB (fig. 104) une série de points pig. 104. M> ^ p^ Q> tels que la diffé .

rence de niveau de deux points consécutifs soit constante et égale à A, la distance horizontale d de deux points consécutifs est

aussi constante et égale à - •

En particulier, si on fait h= l m , on a

Ainsi, la distance horizontale de deux points d'une droite dont la différence de niveau est l m , est l'inverse de la pente de la droite. Et réciproquement, la pente d'une droite est Fimerse de la distance horizontale de deux points de cette droite dont la différence de niveau est l m .

Si Ton considère les points d'une droite qui ont pour cotes des nombres entiers consécutifs, leurs projections partagent la projection de la droite en parties égales; et ces parties sont d'autant plus petites que la droite a une plus grande pente. Ce mode de division de la projection de la droite constitue ce que Ton nomme Yéchelle de, pente de la droite.

131. Étant données les projections a, b, et les cotes A a, Bfr de deux points A, B d'une droite; il est facile de construire l'échelle de pente de cette droite. On cherchera d'abord la projection m d'un poiht M ayarit une cote entière Mm, au moyen de la formule

, v Mm — ka

établie au n° 127. •

A partir de ce point m, on portera ensuite à droite et à gauche sur ab, à la suite les unes des autres, des longueurs égales à la distance horizontale de deux points de la droite dont la

différence de niveau est 1"\ distance égale à -, c'est-à-dire à

R , . ; les points de division ainsi obtenus ont pour cotes

les nombres entiers consécutifs ascendants ou descendants ; et l'on a ainsi l'échelle de pente de la droite. Ordinairement on partage l'une des divisions de cette échelle en 10 parties égales.

On connaît, par exemple (fig. 105), deux points ayant pour

Fig. 105.

1— To'ZT— l V 1— T7TÏ— H-H-l-l-l-H-hh

cotes 48 m ,67 et 51™,48 dont la distance horizontale est 56"; la distance du point 48,67 au point qui a pour cote le nombre en-

tier 49, est 56 x & . 4 q L 4 q 67 =6 m » 2 ; et la longueur de chaque division de l'échelle de pente est 56x fct , Q — rr^r; = 19 m ,9.

132. L'échelle de pente une fois construite, on peut s'en servir pour résoudre immédiatement ce double problème : Connaissant la cote d'un point situé sur une droite donnée, trouver la projection de ce point, et vice versa.

Supposons l'échelle de pente de la droite construite (fig. 106);

Fig. 106.

on demande, par exemple, la projection m du point qui a pour cote 50 m ,34. Ce point m est entre les points 50 et 51, à une distance du point 50 qui est les 0,34 d'une division de l'échelle de pente; sur la division qui a été partagée en 10 parties égales, prenez avec un compas une longueur qui comprend 3 de ces petites divisions, plus une fraction 0,4 de division que l'on évalue à vue d'œil; portez cette longueur sur la droite, à partir du point 50, du côté de 51, et vous aurez le point demandé.

Inversement, étant donnée la projection m d'un point de la droite^ trouver sa cote. On voit d'abord qu'elle est égale à 50 m , plus une fraction de mètre ; on évalue cette fraction en prenant avec un compas la distance du point 50 au point m, et en la portant sur la division de l'échelle partagée en 10 parties égales. On trouve 3 divisions, plus environ 0,4 de division; la cote du point est donc 50°',34.

Problème V.

133. Trouver l'inclinaison d'un chemin tracé sur un plan coté. Soit a b c dfxm chemin tracé sur un plan coté (fig. 107).

Fig. 107.

Pour trouver l'inclinaison du chemin entre les deux points A et B situés sur les courbes de niveau 80 et 75, que l'on suppose assez rapprochées pour que le chemin puisse être regardé comme sensiblement rectiligne dans cet intervalle, il suffit de construire un triangle rectangle BA'A, dans lequel le côté de l'angle droit A'B est égal à a&, et l'autre côté A A' est égal à 5 mètres. L'angle ABA' est l'inclinaison du chemin. La pente du chemin entre les mêmes points est le quotient de 5 par la longueur ab.

Manière de représenter un plan.

134. Un plan est déterminé lorsqu'on donne deux droites situées dans ce plan. On peut donc représenter un plan quel*

Fi e- *°»* conque, sur un plan coté,

par les projections et les échelles de pente de deux droites situées dans ce plan.

Telles sont (fig. 108) les droites a b et cd 9 projections de A B et de CD. Si Ton joint les points (0,0), (1,1), (2,2),. .. des droites ab et cd, on obtient les horizontales du plan qui ont pour cotes 0, 1, 2, ...; ces projections sont parallèles et équidistantes, et peuvent être prises pour représenter le plan sur le papier ; celle qui a pour cote est la trace du plan sur le plan horizontal de projection.

Outre l'avantage de montrer aux yeux d'une manière trèsexpressive la position du plan, ces parallèles permettent encore de trouver immédiatement la pente d'une droite située dans le plan, quand on connaît la projection de cette droite. Soit, en effet, ab la projection d'une droite AB située dans le plan, p et q les points où elle rencontre les projections des horizontales 3 et 4, on obtient la pente de la droite en divisant la différence de niveau des points P et Q, c'est-à-dire l* f par la distance horizontale pq de ces points.

138. Il suit de là que, si par le point m du plan on mène dans ce plan une droite quelconque ayant pour projection ma, 1° la pente de cette droite est d'autant plus grande que la portion pq, comprise entre deux horizontales consécutives, est

plus petite ; 2° de toutes les lignes que Ton peut mener par le point m dans le plan, celle qui a la plus grande pente est celle dont la projection mf est perpendiculaire aux projections des horizontales du plan. On a démontré (n° 19) que, dans l'espace, cette ligne de plus grande pente est elle-même perpendiculaire aux horizontales du plan.

Étant donnée la projection de la ligne de plus grande pente d'un plan et son échelle de pente, il suffît, pour tracer les projections des horizontales équidistantes du plan, de mener par les points de division de la ligne de plus grande pente des perpendiculaires à cette ligne. Il y a un grand avantage à représenter un plan, sur un plan coté, par la projection de la ligne de plus grande pente, avec son échelle de pente. Cette échelle porte elle-même le nom d'échelle du plan, et pour la distinguer des échelles des droites , on la construit sur deux droites voisines et parallèles.

Problème VI.

156. Trouver l'échelle d'un plan passant par trois points donnés.

Soient a, b, c les projections des trois points donnés. Sur

la droite a b (fig. 109) je cherche le point d dont la cote est la

Fi lQ9 même que celle du point c, et je joins

cc'\ cette ligne est la projection d'une horizontale du plan. Je mène une perpendiculaire quelconque mn kcc'\ c'est la projection d'une ligne de plus grande pente du plan. Cette ligne coupe l'horizontale ce' en un point c i9 dont la cote est la même que celle du point c ; elle coupe aussi l'horizontale du plan mené par le point b en un point 6 4 , dont la cote est la même que celle du point b ; on connaît aussi les projections et les cotes de deux points 6 4 et c 4 d'une ligne de plus grande pente ; et, par conséquent, on peut construire l'échelle du plan.

Fig. 110.

Problême VIL

137. Deux plans étant donnés par leurs échelles de pente, construire la projection et Véchelle de leur intersection.

Soient mn, pq (fig. 110) les projections des lignes de plus

grande pente des deux plans. Je conçois un plan horizontal dont la cote est «; il coupe le plan mn suivant une horizontale ayant pour projection la perpendiculaire àmn, menée par le point qui a pour cote a; de même, il coupe le plan pq suivant une horizontale qui a pour projection la perpendiculaire hpq, menée par le point de cette ligne qui a pour cote «. Ces deux horizontales, étant dans un même plan, se coupent en un point A, qui a pour projection a, pour cote a, et qui appartient à l'intersection des deux plans.

En imaginant de même un second plan horizontal ayant pour cote p , on obtient un second point B de l'intersection qui a pour projection 6, et pour cote p.

On connaît ainsi deux points A et B de la ligne d'intersec tion par leurs projections et leurs cotes; il est facile de construire l'échelle de pente de cette droite. On l'obtient d'ailleurs immédiatement en menant par les points de division de l'échelle mn des perpendiculaires à mn\ ces lignes coupent ab précisément aux points de division de Péchelle de ab.

Problème VIII.

138. Connaissant Véchelle de pente d'un plan, la projection et F échelle d'une droite, trouver la projection et la cote du point où la droite perce le plan.

Soient mn l'échelle de pente du plan, pq celle de la droite

(fig. 1 1 1), imaginons le plan qui a pour échelle de pente pq,et

Fi g . m. construisons son intersection

ab avec le plan mn. Prolongeons cette droite ab jusqu'à sa rencontre en r avec la droite pq\ la droite AB dans l'espace, étant située dans un même plan avec la droite PQ (le plan dont l'échelle de pente est pq), rencontre cette ligne en un point R, qui a pour projection r ; cette droite AB étant d'ailleurs située dans le plan mn 9 le point R appartient à la fois au plan m n et à la droite PQ; c'est le point cherché. On obtiendra facilement la cote de ce point au moyen de l'échelle de pente de la droite PQ.

Problème IX.

150. Trouver l'échelle de pente d'un plan qui passe par un point dont on donne la projection et la cote, et est parallèle à deux droites

dont on donne les projections et les échelles de pente*

Soient a la proj ection du point donné A , dont nous représentons la cote par a ; mn etpqles projections et les échelles des' deux droites données (fig. 1 12).

Par le point donné A, menons une droite M'N'parallèle à M N ; sa projection m'rt! est parallèle à mn, et les divisions de son échelle de pente sont égales à celles de l'échelle de pente de mn ; si donc on porte à

130 GÉOMÉTÈll* DESCRIPTIVE.

partir du point a Sûr rh'ri, dans un sens convenable, une longueur ub égale à l'une des divisions de l'échelle de pente de la ligne ron, on obtiendra la projection b du point B de M'N' qui a pour cote « + 1 . Par le point A menons de même une droite P'Q' parallèle à P Q , et portons sur cette ligne à partir de a une longueur ac égale à Tune des divisions de pq 9 nous aurons la projection o du point G de la ligne P'Q' qui a pour cote « 4- 1 . Le plan cherché contient les deux droites M'N', P'Q'» et par suite l'horizontale BG qui s'appuie sur ces deux droites; cette horizontale a pour projection 6c; si donc on mène une ligne rs perpendiculaire à 6c, on aura la projection d'une ligne de plus grande pente du plan.

Par le point a, menons af parallèle à bc; cette ligne af est la projection de l'horizontale du plan, qui a pour cote a ; les points f et <;, où les horizontales af et bc rencontrent rs, sont les points de la ligne de plus grande pente qui ont pour cotes «. et a + 1 ; la longueur fg est donc égale à une division de l'échelle de pente du plan.

Problème X.

140. Étant données l'échelle de pente d'un plan, et la projection (f un point situé dam ce plan, mener dam ce plan une droite d'une

' pente donnée.

Fig. 113. r

Soient mn l'échelle du plan, a la projection du point donné (fig. 11 3). Si l'on appelledla distance horizontale de deux points de la droite demandée, tels que la différence de leurs cotes «oit

1 m , on sait que l'on a d =t-. D'un

point p pris sur la projection d'une horizontale du plan, comme centre, avec une ouverture de compas égale à d, on décrira un arc de cercle qui cou-

pera la projection de l'horizontale suivante en q et q'\ fi du point a on mène des parallèles bc et bd à pq et pq' 9 on aura évidemment les projections des deux droites demandées»

Pour que le problème soit possible, il faut que la longueur d soit supérieure ou égale à Tune des divisions de l'échelle du plan ; quand la longueur d est égale à Tune des divisions de l'échelle du plan, il n'y a qu'une solution, c'est la ligne de plus grande pente menée par le point a.

Problème XI.

141. Tracer sur un plan coté un chemin t une rigole d'irrigation*

Lorsqu'on veut tracer sur un terrain tm chemin ou une rigole d'irrigation, on fait choix d'une certaine pente, celle qui parait la plus avantageuse pour le but qu'on se propose, et Ton a à résoudre le problème suivant : par un point donné

Fig. 114.

du sol mener une ligne qui ait une pente uniforme égale à une pente donnée.

Si le terrain est plan, la ligne est droite, et nous venons d'indiquer le moyen de la tracer. Si le terrain n'est pas plan,

on peut ramener . le problème au précédent, pourvu qu'on ait levé des courbes de niveau équidistantes, suffisamment rapprochées. Considérons, en effet, le terrain représenté par la figure 114 7 et proposons-nous de mener par le point a une ligne dont la pente soit uniforme et égale à p. Soit d la distance horizontale de deux points de cette ligne dont les cotes diffèrent de 5 m (distance constante, puisque la pente est uni-

forme) ; on a d = -. Du point a comme centre, avec une ouverture de compas égale à d, décrivons un arc de cercle qui coupera la courbe 75 au point b; du point b comme centre, avec la même ouverture de compas, décrivons un arc de cercle qui coupera la courbe 70 au point c, et ainsi de suite; joignons ces points par un trait continu, nous aurons la ligne demandée. En effet, chacun des éléments de cette ligne, considéré comme sensiblement rectiligne, a la pente voulue p.

142. Il est à remarquer que la question admet en général un très-grand nombre de solutions ; car il y a généralement deux chemins pour aller d'un point d'une courbe de niveau à la courbe immédiatement inférieure suivant une pente donnée. Ainsi, du point a pris sur la courbe 80, on peut aller à la courbe 75, suivant la pente voulue, par Tune des deux lignes ab ou ab'\ du point b on peut aller de même à la courbe 70, suivant la pente voulue, par l'un des deux chemins bc ou bc\ etc.

Le problème est impossible, quand la distance d est moindre que la plus courte distance des projections de deux courbes de niveau consécutives. — De toutes ces solutions, l'ingénieur choisira celle qui est la plus avantageuse, d'après la position du point d'arrivée, et les mouvements de terre à effectuer pour tracer la route ou le canal dans la direction projetée.

145. Quand on laisse couler les eaux naturellement, elles suivent une ligne de plus grande pente, c'est-à-dire une ligne normale à toutes les courbes de niveau. La ligne de plus

grande pente passant par le point a est amnpq; on l'obtient en menant du point a un premier élément am perpendiculaire à la courbe de niveau 75, du point m un second élément ron perpendiculaire à la courbe 70, etc.

Problème XII.