CONSTRUCTIONS PLANES

Le succès des déterminations de la géométrie des* criptîve dépend de constructions graphiques planes.

Ces constructions sont données dans tous les traités de géométrie élément&ire d*une manière théorique; mais on ne doit pas négliger tous les procédés de vé-* rification qui se présentent.

Nous avons pensé qu'il était indispensable de rappeler ces constructions y fondées sur des principes dont les démonstrations ne sont pas du ressort de cet ou* vrage,

i • Élever une perpendiculaire à une droite en un de ses points^ quand cette perpendiculaire doit être élevée à ^extrémité de cette droite.

Cette construction faite ^ on doit vérifier si Tangle est droit au moyen de cette propriété , que tout angle inscrit à une demi-circonférence est un angle droit.

Mais il est essentiel^ dans tous ces problèmes^ pour la détermination de certains points ^ de ne pas employer des lignes qui se coupent sous un angle aigu * trop différent d'un droit. Il y a , dans ce cas, une incertitude sur la position du point d'intersection qui résulte de ce que les lignes, graphiquement tracées,

XX INTRODUCTION

ne sont pas des lignes mathématiques. G'est^ au reste^ une recommandation que plus tard nous ferons en-

core *.

2* Abaisser une perpendiculaire sur une droite par un point pris hors de cette droite.

Cette construction se fait souvent au moyen d'une parallèle menée à une première perpendiculaire à la droite donnée* Or cette parallèle est ordinairement tracée au moyen de Téquerre, que Ton fait glisser contre une règle. Ce procédé, qui, théoriquement, semble donner un résultat d'une exactitude parfaite, est sujet à erreur quand on n'a pas une habitude suffi* santé de manier les instruments' et que l'on presse inégaiement sur les diverses parties de la pièce mobile. Quand une épure doit fournir un résultat numérique, collez la feuille de papier sur une glace ou sur une planche de cuivre bien plane.

On ne saurait faire trop de constructions planes pour acquérir cette rigueur dans l'usage des instruments.

3* Partager une droite en un nombre quelconque de parties égales.

Cette détermination étant faite par le principe des lignes proportionnelles, on devra vérifier avec le compas si en effet la ligne est divisée exactement : la plupart du temps même on divise par tâtonnement , soit les lignes, soit les arcs de cercle, en un nombre

quelconque de parties égales.

* L'espace cemmim à deux traits d'une largeur sensible qui se rencontrent sous un angle donné, est proportionnel à la cosécante de cet angle.

INTRODUCTION. XXI

Pour la division des lignes droites , on se sert encore d'une mesure métrique, ou échelle préparée graphiquement, qui peut donner des dixièmes de millimètre.

V Par un point donné, mener une droite qui rencontre deux autres droites que l'on ne peut prolonger j et qui ne se rencontrent pas dans les limites du cadre du dessin.

Les deux lignes données sont AB, CD, le point donné est M.

Par le point M , on mène une droite qui rencontre

les deux droites données ; on trace a b

une parallèle à cette droite menée par le point M, et Ton divise cette i parallèle en parties proportionnelles ^ aux segments de la première : on trouve . ainsi un point N de cette droite, qui appartient à la droite demandée.

La théorie des transversales fournit aussi un moyen simple et élégant de résoudre ce problènvB, qui, en géométrie descriptive , se présente très-fréquemment.

5*" Mener en un point d'une circonférence de cercle une tangente à cette circonférence.

On doit employer la construction suivante :

Soit M le point donné de la circonférence. On prend deux points C et D de la circonférence , et Ton joint ces points au point M par des droites. On prolonge MD de MC'=MG, et, de même, on prend sur la droite MC prolongée une longueur Miy=MD. La ligne droite

XXII INTEODUCTION.

C'iy est parallèle à la tangente en M à la circonférence.

Donc, en menant par le point M une parallèle à la ligne droite Giy^ on aura la tangente demandée»

Au moyen de la même construction^ on peut mener une tangente en l'un des pointa C et D.

6" Par un point donné sur une courbe quelconque, tne^ ner une tangente à cett9 courbe.

On prendra^ à gauche et à droite du point sur la courbe, deux points assez rapprochés pour que les deux cordes menées à ces points auxiliaires par le point donné se confondent presque graphiquement avec la courbe. On achèvera la construction comme il vient d'être dit dans le problème précédent.

Dans presque toutes les constructions de la Géométrie descriptive y on détermine des points suffisamment rapprochés pour servir ensuite à tracer un trait continu : trois de ces points consécutifs donneront le moyen de mener une tangente en Tun de ces points.

Ce sera évidemment substituer a la courbe une cir«conférence de cercle qui aurait ces trois points communs avec la courbe.

V Par un point pris hors d'une circonférence de cercle, mener une tangente à cette circonférencCf

i> Première solution. On mène la

droite AM, et avec AM comme \ rayon, du point A comme centre, on décrit un arc de cercle Jusqu'à sa rencontre en D avec la perpendiculaire à AM, menée à Textrémité dii rayou C du cercle donné.

IiniODUGTION. XXllI

Oa mène la droite AD. Le point P où cette droite coupe le cercle M donné, est le point de contact de la tangente demandée.

Deuœiime solution. Sur ÂM comme diamètre, on décrit une circonférence de cercle : les points de ren* contre avec la circonférence donnée sont les points de contact.

Cette solution est très-utile quand on a plusieurs circonférences concentriques auxquelles on veut mener des tangentes par le même point. Tous les points de contact sont sur la même circonférence décrite sur AM comme diamètre. On n'a pas besoin de constructions particulières pour chacune des circonférences.

Troisième solution. Du point A comme centre, avec un rayon égal au diamètre du cercle donné, on décrit un arc a ; du point M comme centre avec AM pour rayon, on décrit un arc 6 : on joint Tintersection de ces deux arcs au centre A par une droite. L'intersection de cette droite avec la circonférence donnée est le point de contact.

Cette méthode est la plus expéditive : car elle n'exige aucune bissection de ligne ni aucune construction de perpendiculaire.

La substitution d'un cercle passant par trois points consécutifs d'une courbe graphique à cette courbe elle-même, permet de résoudre approximativement un grand nombre de questions. Ainsi, on mènera à cette courbe une tangente par un point situé hors de la courbe. On lui mènera de même une normale ainsi qu'une tangente parallèle à une ligne donnée.

XXVI INTRODUCnON.

point de contact est un point de la circonférence demandée : le problème est donc résolu.

H '^ Construire une circonférence tangente à une circonférence donnée et passant par un point donnée le centre de ia circonférence cherchée devant être placé mr une droite éontiée»

Cette droite donnée coupe la circonférence cherchée en deux partie» symétriques. Donc^ si du point donné on mène une perpendiculaire à cette droite > et qu'on prenne le point symétrique de ce points on aura un nouveau point de la circonférence cherchée . Le problème est donc alors ramené au problème précédent.

On devra considérer le cas où le point donné est dans l'intérieur du cercle donné ou à l'extérieur.