PRINCIPE DE DILATATION

Les courbes qui après le cercle se présentent le plus fréquemment dans la géométrie descriptive^ sont l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.

L'ellipse et la parabole surtout se présentent con stamment dans l'astronomie et dans la coupe des pierres et la charpente.

Or la plupart des problèmes relatifs à l'ellipse cdmbi* née avec la droite peuvent se ramener à des problèmes analogues relatifs à une droite et à un cercle. Nous énoncerons les problèmes les plus importants , en les faisant précéder de cette définition.

Soient AMNB une courbe donnée , ÂB une ligne droite

iimioDucnoN. xvni

prise pour aïe placée dans le plan de cette courbe. Abaissons de tous les points de la ^ ^ y courbe sur la droite AB des perpen- /j^..™^ J]b^ diculaires comme MP.*'. NQ... Supposons que sur ces perpendicu-'^|

lairesy qui sont les ordonnées ortho- V * - — - V

gonales par rapport à Taxe AB, on ^-^

prenne, à partir de Taie, des longueurs M^... N^Q... proportionnelles à MP..« NQ..., la suite des points M^.. N^•. forme une nouvelle courbe qu'on distingue de la première en disant qu'elle a été obte-' nue parunedi/atofion des ordonnées de cette première par rapport à l'aie.

Si les ordonnées ont été diminuées dans un rapport constant, la nourelle courbe aura été obtenue par contraction.

Dans les points de l'axe, la dilatation ne change rien *. car 2éro reste zéro par la multiplication.

Une droite donnée peut aussi être dilatée, et il est évident qu'elle reste droite.

Un cercle étant donné, supposons menés deux diamètres rectangulaires , l'un d'eux étant pris pour axe du cercle. Si nous dilatons ce cercle , ou si nous le contractons, la courbe obtenue est une ellipse ^ on le démontre en géométrie analytique ; les deux diamètres rectangulaires du cercle sont les aœe$ de l'ellipse.

Réciproquement, si on dilate une ellipse, ou si on la contracte de manière que les deux axes de Tellipse deviennent égaux entre eux, l'ellipâe, dilatée ou contractée, deviendra un cercle.

XXVIH

INTRODUCTION

1 2"* Par un point donné sur une courbe , mener une tangente à cette courbe.

Nous faisons une observation importante. Si la

coyrbe Sk peu de concavité, il est difficile de juger si la droite menée est tangente. Voici comment on opère ordinairement :

PU dilate la courbe par rapport à un axe auxiliaire , en faisant des ordonnées quadruples ou décuples de celles de la courbe donnée. Ainsi la courbe donnée étant abc, la courbe dilatée est a'6'c'.

Parle point a', je mène la tangente à a^b^c', et je prends le point M, où cette tangente rencontre l'axe xy; puis je mène la droite Ma : c'est la tangente demandée. Appliquons cette solution à Tellipse.

On donne les deux axes de cette ellipse, et Von demande la tangente en un point donné sur la courba. Soit AB le grand axe de l'ellipse, Cf le demi-petit

axe, C le centre de l'ellipse.

Soient pris CF=CB. Dilatons l'ellipse dans la proportion de Cf à CF : l'ellipse devient le cercle décrit sur AB comme diamètre. Soit m un point de l'ellipse, il devient le point M du cercle- Je mène MP tangent au cercle, P étant sur l'axe : m? . est la tangente à l'ellipse.

Il faut remarquer ici que si l'ellipse n'était pas tracée, on n'en aurait pas moins la tangente.

1 3"* Par un point pris hors d'une ellipse , mener U7ie tangente à cette courbe.

INTRODUCnON. XXIX

On dilate Tordoûnée du point et Tellipse par rapport au grand axe , de manière que Tellipse devienne le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. Par le point dilaté on mène les tangentes au cercle , et Ton retrouve ensuite sur Tellipse , par la contraction, les points de contact des tangentes demandées.

On voit que Tellipse pourrait n'être point tracée, et Ton obtiendrait encore les tangentes à Tellipse , menées par le point extérieur et les points de contact.

1 4"^ Mener une tangente à une ellipse parallèlement à une droite donnée

On dilate Tellipse pour la transformer comme dans les problèmes qui précèdent.

On dilate en même temps la droite ; on mène au cercle des tangentes parallèles à la droite dilatée; puis on contracte ces tangentes, et Ton obtient les droites demandées.

On voit encore ici que les tangentes peuvent être menées sans que Ton trace la courbe. On peut même trouver les points de contact sans connaître d'autres données que les axes de Tellipse.

On trouve ainsi que Ton peut mener deux tangentes parallèles à la droite donnée, et que la droite qui joint les points de contact de ces deux tangentes parallèles à Tellipse, passe par le centre de Tellipse, c'est-à-dire par le point d'intersection des deux axes. Il est facile de démontrer d'ailleurs, par ces principes de dilatation, toutes les propriétés de l'ellipse relatives aux diamètres conjugués. On peut trouver leurs longueurs au moyen du problème précédent.

XXX INTRODUCriOlf.

La droite qui unit les points de contact des tangentes passe par le centre de Tellipse : c'est un diamètre qui diyise en parties égales les cordes de Tellipse pa*rallèles à la tangente : c'est ce qu'on nomme le diamètre conjugué à cette série de cordes parallèles.

1 5** Trouver les intersections d^une droite avec une «/lipse qui n'est pas tracée, et dont on donne les deux aœes.

On résoudra ce problème , comme ceux qui précô*^ dent 9 par les procédés de dilatation.

Mais comme c'est un problème important > nous entrerons dans les détails de construction*

Soient MPN la ligne droite donnée ; soient Ab^ fg les axes de Tellipse.

Pour avoir les points d'intersection de la droite MPN jj, avec l'ellipse^ nous cherche*

vR^n"""*^ rons l'intersection de la droite

/\i4~-^ \ ^t de l'ellipse , toutes deux di-

f JiS^ \ latées de manière que l'ellipse

\ ^^^ l\Hj\ devienne un cercle* Le point P \ ]^ / restant fixe, nous prendrons ^O-----^ une ordonnée de la droite fk égale à ^ fg, ce que l'on aura en menant par f une parallèle àAB, Puis, par le point D(CD=CB=|AB), en menant une parallèle à AB jusqu'à la rencontre de f^k prolongée, on aura le point D' qui sera le point /*' dilaté de la droite MPN. Le point P n'a pas changé de position ; donc la droite PD ' sera la dilatation de la droite MPN.

Pour avoir le point d'intersection j/, on décrira la circonférence BDA, et son point de rencontre x sera

iimoDOcnQif. xxxi

le point commun aux deux lignes dilatées. En abait» sant œh parallèle à CD , sa rencontre en y avec MPN donnera le point cherché.

La même droite prolongée donnera rintersection avec la partie inférieure de la courbe AgB. On remar» quera qu'il n'est pas nécessaire d'avoir décrit la courbe^ puisque ce point d'intersection est déterminé par les intersections de droites parallèles aux axes de l'ellipse et de droites passant par le point P.

Si le point P se trouvait sur le prolongement de AP^ on voit que la droite dilatée rencontrerait la circonfé* rence en deux points > situés tous deux d'un même côté de l'axe AB.

Si le point P se confondait avec le centre de Tellipse^ la droite MPN deviendrait un diamètre de l'ellipse. Cette remarque conduit à cette conséquence i qu'on peut trouver les diamètres conjugués d'une ellipse quand on connaît ses axes.

ScoLiE. On peut trouver, par ce principe, les diamètres conjugués égaux d'une ellipse rapportée à ses axes. Pour cela, on dilate l'ellipse et l'on mène des tangentes au cercle parallèlement aux axes : on obtient ainsi un carré circonscrit, les diagonales de ce carré contractées sont les diamètres conjugués égaux.

PWNQPE D'INaiNAISON DES ORDONNÉES.

Quand une courbe est tracée, si l'on prend un axe dans son plan, et si l'on mène des perpendiculaires à

isx nTtiODDr;n'

La droite qui unit les point tes passe par le centre de Tel!

qui divise en parties égales Ir rallèles à la tangente : c'est ce i conjugué à cette série de coni

15" TTOuver lesinte^lectioIl^ Upse qui n'est pas tracée, et do,

On résoudra ce problème , dent, par les procédés de di!

Mais comme c'est un proLi trerons dans les détails de ci>

Soient MPN la ligne droitf axes de l'ellipse.

Four avoir les points d'in ' avec-

égale à J fg, ce que V< parallèle à AB. Puis, p:

en menant une parallèl' f'k prolongée, on aun:

dilaté de ia droite MP' position; donc la di droite MPN.

Pour avoir le pucirconférence BOA

INTROBUCTION.

)our aie, et l'on renètre conjugué : on lipse rapportée à ses lu moyen de son orist donc ramené au lipse rapportée à ses âme relatif à une cir-

lUpte rapportée à ses à une droite donnée.

«ite f et le problème u. Puis on inclinera 1 ainsi les tangentes les points de contact,

IKpse rapportée à ses ris hors de felUpse, int, et l'oa obtiendra 3; puis on inclinera

' droite et d'une ellipse êtres conjugués.

ise , et l'on aura l'inar le problème 15; points de rencontre

XXXII INTRODUCTION

cet axe limitées par la courbe et Taxe, on a les ordonnées rectangulaires de la courbe.

On dit qu'on incline ces ordonnées suivant un angle donné , si Ton mène des droites parallèles à une droite fixe par les pieds de ces ordonnées , si Ton prend sur chacune d'elles, à partir de ces pieds, des longueurs égales aux ordonnées de la courbe, et si Ton unit par un trait continu les extrémités de ces parallèles.

On comprend comment un cercle étant donné, si Ton prend deux diamètres rectangulaires , Tun étant Taxe, Tinclinaison de ce cercle donnera une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués égaux; comment, une ellipse étant rapportée à ses axes, Tinclinaison de cette ellipse donnera une ellipse rapportée à ses diamètres conjugués.

Pour des courbes quelconques on aura des transformations de toute nature par ce principe.

Réciproquement, si une courbe est inclinée suivant un angle aigu ou obtus, on peut la redresser rectangulairement^. Après cette transformation de la courbe la tangente reste tangente.

Ces définitions posées, nous résoudrons les problèmes suivants :

1 6® Mener une tangente à une ellipse donnée par ses diamètres conjugués en un point de cette ellipse.

* Voyez , dans les ouvrages des anciens dessinateurs, de curieuses iransformaUons de dessins primiurs d'après des conventions plus ou moins compliquées.