PLANS ET LIGNES

13. Quand une droite est perpendiculaire à un plan, la projection horizontale de la droite est perpendiculaire à la trace horizontale du plan ; il en est de

PRÉLIMINAIRBS. 23

même pour les projections et traces verticales. La réciproque est également vraie.

Pour simplifier la figure ne considérons que la projection horizontale et la trace horizontale.

Soient MP le plan horizontal de projection ; AB le plan donné, cB sa trace horizontale; soit FGK perpendiculaire au plan AB et fL la projection horizontale de FK, je dis que fL est perpendiculaire à cB.

En effet, le plan projetant horizontalement FK, est perpendiculaire au plan MP, et, passant par FK perpendiculaire au plan donné, il est également perpendiculaire à ce plan AB. Le plan projetant est donc perpendiculaire à la trace cB, intersection des deux plans principaux. Inversement, cB est perpendiculaire au plan projetant : donc cB est perpendiculaire à /L, qui est dans le plan projetant.

Réciproquement, supposons que Ton donne les projections d'une droite perpendiculaire aux traces correspondantes d'un plan.

Chaque projection détermine un plan perpendiculaire à la trace correspondante; supposons les plans de projection placés rectangulairement.

Les plans projetants sont tous les deux perpendiculaires au plan donné; donc leur intersection, c'està-dire la droite donnée est perpendiculaire au plan donné.

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DÉFINITIONS DES EXPRESSIONS, SURFACE DE RÉVOLUTION , AXE DE RÉVOLUTION, PARALLÈLES, MÉRIDIEN.

14. Quand une droite est donnée et qu'une ligne quelconque tourne autour de cette droite^ on entend par là que chaque point de cette ligne décrit une circonférence dont le plan passe par ce point perpendiculairement à la droite donnée^ et avec cette condition que le rayon de la circonférence est la distance du point à la droite.

Cette droite est Taxe de révolution, chaque circonférence est un parallèle et l'ensemble des circonférences forme la surface de révolution.

Si Ton suppose qu'un plan passe par l'axe de révolution et vienne couper la surface, la ligne d'intersection se nomme méridien. Il est évident qu'il y a une infinité de plans méridiens, et que tous les méridiens sont égaux. C'est ainsi que la sphère a pour méridien un grand cercle, le cylindre droit à base circulaire une droite parallèle à Taxe du cylindre; le cône droit à base circulaire a pour génératrice une ligne droite qui rencontre l'axe.

Si l'axe de la surface de révolution est vertical, tous les parallèles se projettent horizontalement en véritable-grandeur, et le plan méridien parallèle au plan vertical se projettera aussi verticalement en véritable grandeur.

Si l'axe est dans un plan horizontal , les parallèles se projetteront horizontalement suivant des lignes droites perpendiculaires à l'axe projeté.

On sait que si une droite est perpendiculaire à un axe de révolution^ cette droite en tournant engendre un plan perpendiculaire à l'axe.

Un des procédés le plus fréquemment employés dans la géométrie descriptive^ est le procédé des rabattements qui sera examiné plus tard. Il consiste à faire tourner un plan autour d'une droite qu'il contient, jusqu'à ce que ce plan soit amené parallèlement à un plan donné, ou puisse s'appliquer sur l'un des plans de projection.

Dans ce rabattement il y a un axe de révolution ou charnière et des parallèles engendrés.

i S. Les traces d'un plan sont des droites situées sur les plans de projection et sur ce plan.

Les traces d'une droite de l'espace sont les points où cette droite rencontre les plans de projection.

D'après ces définitions on reconnaîtra qu'une droite est dans un plan, quand les traces de celte droite seront placées sur les traces du plan.

Inversement : si l'on prend un point sur la trace horizontale d'un plan, et un point sur la trace verticale de ce plan, la droite qui joindra ces deux points sera contenue dans le plan donné.

On reconnaît que deux droites se coupent dans l'espace, quand ces droites sont dans un même plan, auquel cas les droites qui joignent 1*" les traces horizontales des deux droites, 2** les traces verticales, se rencontrent en un point de la ligne de terre, déterminant ainsi le plan des deux droites.

Si les projections se coupent sur une même perpen-

diculaire à la ligne de terre, le point déterminé par ces deux intersections appartiendra à Tune et à Tautre droite, qui par suite auront un point commun, c'est-àdire un point de rencontre.

Ainsi, pour reconnaître que quatre points sont dans un même plan, on prendra deux droites unissant ces points deux à deux, et on verra comme cidessus si elles se rencontrent.

C'est par les mêmes considérations qu'on vérifiera si une courbe donnée par ses projections est plane;

Ou encore que deux courbes sont planes et placées dans le même plan.