EXAMEN DE QUELQUES TYPES PARTICULIERS DE CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES

On donne un point et deux droites situées d'une ma^ ni^re quelconque dans V espace f on demande démener par le point une droite qui s appuie sur les deux droites dominées *.

Soit A le point donné ^ soient B et C les droites données. Pour trouver la droite qui, pa8sa|[it par le point A y s'appuie sur les deux droites B et G^ nous construisons les traces du plan déterminé par le point A et la droite B, nous construisons les traces du plan qui passe par le point A et la droite C , puis nous prenons l'intersection de ces deux plans; cette intersection passera par le point A et rencontrera généralement les deux droites B et G, à moins que ces droites ne soient dans des positions particulières que le lecteur pourra considérer.

ScoLiE I. On peut encore résoudre ce problème de cette manière : faisons passer un plan par A et la droite B; prenons l'intersection de ce plan avec la droite G^ et menons la droite par cette intersection et

* Le lecteur prendra lui-même des données graphiques , et s'exercera à effectuer les constructions indiquées dans les solutions , quand nous pensons qu'il est inutile de donner une figure.

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le point A : la droite ainsi construite sera la droite demandée.

ScoLiE II. Les deux droites peuvent être dans un même plan; alors la droite demandée passe par le point et par Tintersection des deux droites données.

ScoLiE III. On suppose trois droites données et l'on demande de trouver une droite qui s'appuie sur les trois premières.

Soient M, N et P les trois droites données; prenons sur la droite M un point F , et par ce point faisons passer une droite qui s'appuie sur les deux droites N et P; nous aurons ainsi une droite qui satisfera à la question.

Nous pouvons faire la même opération pour tout point de la droite M; on voit donc que la question du scolie est indéterminée en ce sens qu'il y a une infi nité de droites qui répondent aux conditions données; l'ensemble de toutes ces droites forme une surface réglée dont l'emploi est fréquent dans la coupe des pierres et la charpente.

Les droites données sont les directrices de la surface réglée; les droites qui s'appuient sur les directrices et qui engendrent la surface sont les génératrices de cette surface.

Cette surface peut se réduire à un plan quand les trois droites données sont elles-mêmes dans un même plan.

PROBLÈME XXVII

On donne un points une droite et un plan; on demande

de mener par le point une droite qui rencontre la droite donnée et qui soit parallèle au plan donné.

Soient A le point donné, B la droite donnée, M le plan donné.

Par ce point A menons un plan parallèle au plan M; ce plan viendra rencontrer la droite B, à moins que cette droite ne soit parallèle au plan M (dans ce cas le problème a une infinité de solutions); soit F le point de rencontre du plan auxiliaire avec la droite B, et menons la droite AF ; cette droite passe par le point A; elle rencontre la droite B; enfin elle est dans un plan parallèle au plan M; donc elle est parallèle à ce plan M : c'est donc enfin la droite demandée.

Le problème conduit toujours à une solution , excepté quand la droite donnée est parallèle au plan donné.

ScOLiE. On suppose deux droites et un plan^ et Von demande de mener une droite parallèle au plan dofiné, et qui rencontre les deux droites données.

On prend un point de. la première droite; par ce point on fait passer un plan parallèle au plan donné; ce plan vient rencotitrer la seconde droite; on unit le point d'intersection au point pris sur la droite, et Ton a une solution.

On voit qu'il y a une infinité de droites qui répondent au problème.

Toutes ces droites forment une surface réglée; les droites trouvées de cette surface sont les génératrices;

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les deux droites données sont les directrices; le plan donné est le plan directeur.

Cette surface peut se réduire à un plan.

PROBLÈME XXVIII

Trouver la distance de deux plans parallèles.

On choisit un point sur la ligne de terre , et par ce point on mène une perpendiculaire commune aux deux plans parallèles.

On prend la distance du point aux deux plans parallèles^ et en prenant la somme de ces deux distances ou leur différence on obtient la distance demandée.

Si les deux plans parallèles sont en même temps parallèles à la ligne de terre, on prendra un plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre; puis, après avoir trouvé les intersections de ce plan avec les deux plans donnés, on rabattra ce plan auxiliaire sur le plan horizontal, en faisant tourner autour de la trace horizontale de ce plan auxiliaire; la question sera ramenée ainsi à un problème connu.

ScoLiE. Si l'on demande la plus courte distance de deux droites en vraie grandeur y et qu'il soit inutile d'avoir cette plus courte distance en vraie position , on pourra ramener ce problème à celui qui précède.

Soient, en effet, deux droites A et B. Par la droite A menons un plan parallèle à la droite B , et par la droite B menons un plan parallèle à la droite A ; nous obtenons ainsi deux plans parallèles. La distance de ces deux plans parallèles sera égale à la plus courte distance des deux droites A et B. On trouvera cette dis-

tance des deux plans parallèles auxiliaires comme il vient d'être dit, et le problème du scolie sera résolu.

Par une droite donnée abaisser un plan perpendicu^ laire à un plan donné.

Soient A la droite donnée, M le plan donné.

Prenons un point F de la droite A , par ce point menons une perpendiculaire au plan M, faisons passer un plan par la droite A et la perpendiculaire menée par le point F : ce plan sera le plan demandé.

ScoLiE. En partant de la solution de ce problème et du scolie du problème précédent, on. a une nouvelle solution de la plus courte distance de deux droites , et cette fois en vraie position

Soient A et B les deux droites données; par la droite A menons un plan parallèle à la miroite B; par la droite B menons un plan parallèle à la droite A.

Si, par chacune des droites données on mène un plan perpendiculaire aux plans parallèles , et si Ton prend l'intersection des deux plans perpendiculaires, cette intersection sera la plus courte distance en vraie position.

Trouver Vintersection de trois plans.

Cette intersection est lin point; on prendra la droite intersection des deux premiers plans donnés; on prendra r intersection de cette droite avec le troisième plan : le point trouvé sera le point demandé.

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ScoLiE. Nous proposons au lecteur de faire la construction suivante :

Trois plans étant donnés , on propose de conduire par chaque droite intersection de ces plans deux à deux un plan perpendiculaire au troisième; pour vérification y on devra trouver que les trois plans perpendiculaires ainsi obtenus se coupent suivant une même DROITE qui passe par le point d'intersection des trois plans donnés.

PROBLÈME XXXI (figure 22 )•

Trouver V angle d'une droite et d'un plan ^.

Soit ABP le plan donné, soit cd, r'rf' la droite donnée.

Du point m, ni pris sur la droite CD nous menons la perpendiculaire mn, m^n^ au plan ÀBP.

L'angle complémentaire de Tangle DMN sera l'angle de la droite et du plan.

Pour avoir cet angle DMN, nous prenons les traces horizontales F et G des deux droites, puis nous rabattons ces deux droites autour de la trace horizontale FG comme charnière; elles deviennent FM^, GMj; ainsi l'angle GM^F est l'angle des deux droites rabattu sur le plan horizontal.

Menons par le point Mj la perpendiculaire MjS, à GMj; l'angle FMiS, sera égal à l'angle de la droite et du plan.

* Ce problème a été résolu. Nous avons voulu donner la construction comme exemple.

ScoLiE. Si Ton voulait cet angle en véritable position il faudrait abaisser par la droite un plan perpendiculaire au plan donné et chercher Tintersection de ce plan perpendiculaire avec le plan donné. Cette intersection et la droite donnée formeraient alors Tangle de la droite et du plan.

PROBLÈME XXXII (figure 23).

Trouver la plus courte distance de deux droites, l'une d'elles étant verticale.

L'une des droites étant verticale, la plus courte distance étant la perpendiculaire aux deux droites, et spécialement à la verticale, sera horizontale.

Ainsi, la plus courte distance et la seconde droite formeront un angle droit dont Tun des côtés est horizontal. Or nous avons vu (n* 11) que, dans ce cas[, la projection horizontale de Tangle droit est un angle droit.

Mais la verticale donnée a pour projection horizontale un seul point qui est la trace horizontale de cette droite; donc, en abaissant de cette trace une perpendiculaire à la projection horizontale de la seconde droite , on obtient en vraie grandeur et en véritable position la projection horizontale de la plus courte distance.

La projection verticale de cette plus courte distance est parallèle à la ligne de terre ; on a un point de cette projection verticale ; on l'obtient donc facilement.

Dans la figure 23, la droite verticale est Â, a'bf; la seconde droite est cd, dé.

La plus courte distance est A/*, f^, et de plus A/* est la vraie grandeur de cette plus courte distance.

ScoLiE. Le lecteur s'exercera à faire sur cette question la construction générale; il devra nécessairement trouver le même résultat.

PROBLÈME XXXIU (figures 24 et 25).

Trouver l'intersection de deux plans :

V Fig. 24. Les plans se coupent en un point de la ligne de terre.

2"" Fig. 25. Les traces horizontales ne se coupent pas dans les limites de Tépure.

r Soit ABK le premier plan donnée soit GBM le second plan donné.

Les deux plans ont déjà le point B commun; trouvons un nouveau point commun; pour cela, coupons les deux plans donnés par un plan auxiliaire. Nous cherchons Tintersection de ce plan avec chacun des deux plans donnés^ puis nous construisons les projections de Tintersection de ces deux droites auxiliaires : ce point appartient aux deux plans donnés; et par suite 9 en le joignant au point B ^ on aura la droite cherchée.

Nous prenons pour plan auxiliaire le plan DFP , perpendiculaire à la ligne de terre , et nous rabattons sur le plan vertical; D.N, F^P sont les rabattements autour de PE des deux intersections auxiliaires sur le plan vertical.

Ces deux droites se coupent en Xj ; on relève ce points et l'on trouve les projections a/ et a? du point X

point D est à la fois la trace horizontale et la trace verticalo de la drorte d'intersectioiii du plan auxiliaire avec le plan ABM. Cette droite auxiliaire est donc située dans un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et elle fait des angles de Utf avec chacun des plans de projection^

Ainsi I en menant Bn, En' perpendiculaire à la ligne de terre I nous avons les projections horizontales et verticales de Tintersection des deux plans donnés , et si nous rabattons cette intersection elle-même sur le plan horizontal autour de Bn comme charnière , cette intersection se place en BNi, qui divise Tangle droit TBn en deux parties égales.

Nous pouvons maintenant opérer comme dans le problème XIX.

Soient XY. perpendiculaire à B^i, SV la partie de cette perpendiculaire comprise entre BC et BA ; soit F le point de rencontre de SV avec Bn. Bu point F nous menons FG' perpendiculaire sur BNt, et nous reportons FG' en FGj, l'angle SG. Vest l'angle des deux plans.

PROBLÈME XXXVl (figure 28)-

Réduire un angle à Vhorizon lorsqu'un des côtés de Vangle est horizontal.

On prend pour plan vertical de projection le plan vertical qui contient le côté horizontal de l'angle donné. .

Soient AB ce côté horizontal, Aa la verticale passant par le point A, LT la ligne de terre.

AC est le second côté de l'angle donné , rabattu

sur le plan vertical autour de Aa comme t^harnière. âC est la longueur de la droite AG.

Cette longueur trouvée, on rabat sur le plan vertical autour de AB comme charnière l'angle donné des deux droites. Soit C|AB cet angle, C^ est le rabattement du point G sur le plan vertical. Or, AB est horizontal et parallèle à la ligne de terre; donc, en abaissant G,D perpendiculaire à AB, cette perpendiculaire prolongée est la trace du cercle décrit autour de AB par la droite GD. Le point G devra se trouver sur cette trace; mais il doit être à une distance du point a, égale à Ga.

PROBLÈME XXXVII (figure 29). .

Par un point donné mener un plan qui fasse des angles donnés avec les plans de projection *.

Nous pouvons prendre le point donné en M sur le plan vertical , car le problème étant résolu pour ce point M il suffira de mener par un autre point donné un plan parallèle au plan trouvé pour le point M.

Abaissons du point M sur la ligne de terre LT la perpendiculaire Mm, et supposant le problème résolu, prenons pour mesurer les angles du plan avec les plans de projection des plans passant par le point m de la ligne de terre et menés perpendiculairement Tun à la trace horizontale du plan , Tautre à la trace verticale. Ghacun de ces plans coupe le plan cherché et les plans de projection suivant un triangle rectangle.

Ces deux plans auxiliaires sont tous les deux perpen-

* Nous engageons le lecteur à recourir à la figure 17, pour suivre plus facilement les explications de ce problème.

diculaires au plan que Ton suppose trouvé^ et Tintersection de ces deux plans est perpendiculaire à chaque hypoténuse de chacun des triangles rectangles auxiliaires.

C'est au moyen de cette remarque , très-simple ^ qu'on peut résoudre le problème.

Soit considéré le plan auxiliaire vertical passant par Mm, et servant à mesurer Tangle du plan principal avec le plan horizontal , rabattons ce triangle sur le plan vertical autour de Mm comme charnière; comme nous connaissons cet angle, il suffît de mener par M une droite qui fasse, avec la ligne de terre, un angle égal à cet angle; soit MA' cette droite, en décrivant du point m comme centre avec mÀ! comme rayon, une circonférence, la trace horizontale du plan cherché sera tangente à cette circonférence.

Pour trouver le point de cette trace horizontale, qui est placé sur le plan perpendiculaire à la ligne de terre passant par le point m, abaissons mP' perpendiculaire à MA'; mP' est rintersection des deux plans auxiliaires passant par le point m; nous décrivons avec mP' comme rayon et du point m comme centre un arc de cercle , et nous menons une tangente FiPiG à cette circonférence, avec la condition que l'angle mFfi soit égal à l'angle que le plan cherché fait avec le plan vertical : G est un point de la trace horizontale du plan cherché.

Menons GAK tangente à la circonférence A'B'A; c'est la trace horizontale du plan cherché; KM est la trace verticale.

ScOLiE L Ce problème peut être résolu par l'inverse du premier cas de la résolution de l'angle solide trièdre;

En effet, on a donné les trois dièdres d'un angle solide trièdre; on peut donc le construire et placer sur une arête convenable le point M.

Sgolib il Nous ne discutons pas ce problème; le lecteur peut voir qu'il n'est pas toujours possible.

PROBLÈME XXXVm (figure 30).

Trouver la plus courte distance entre une droite quelconque et la ligne de terre.

Les projections de la droite donnée sont ab, a^V et la ligne de terre est LT; par la droite ah, a^V faisons passer un plan parallèle à la ligne de terre ; ce sera le premier plan auxiliaire. Les traces de ce plan sont parallèles à la ligne de terre; l'une passe par le point M, l'autre par le point C. Par le point P de la ligne de terre, menons un plan XV perpendiculaire à cette ligne f ce sera le second plan auxiliaire , et prenons l'intersection rabattue en W des deux plans auxiliaires. Soit PRj perpendiculaire à YZ', PR, sera la plus courte distance demandée en vraie grandeur; pour la trouver en véritable position, on relève d'abord le point Ri en r, puis on mène rs parallèle à LT; elle est perpendiculaire à PX, c'est la même droite qui a servi à relever le point R^*

5 et s' sont les projections de l'extrémité de la plus courte distance située sur la droite a&, a'6'; U sera l'autre extrémité»

PROBLÈME XXXIX (figure 31), Par un point donné y mener une droite qui fa^se des angles dominés avec les plans de projection.

Supposons le point donné en Â' sur le plan vertical; si le problème est résolu pour ce point, il sera facile de mener par un autre point donné une parallèle à celle qui aura été obtenue d'abord.

Menons la droite A'B| telle que Tangle A'B^a soit égal à Tangle de la droite avec le plan horizontal, Â'Bj sera le rabattement sur le plan vertical autour de Xa de la longueur de la droite comprise entre les deux plans de projection; décrivons du point a comme centre avec aB^ comme rayon un arc de cercle, cet arc devra contenir la trace horizontale de la droite demandée.

Si nous rabattions la droite ÂB de l'espace autour de la perpendiculaire à la ligne de terre menée par B^ cette droite rabattue serait égale à A'B, et elle ferait avec la ligne de terre un angle égal à Tangle de la droite avec le plan vertical.

Prenons donc un point C sur la ligne de terre, et par ce point menons CD égal à A'B^ et formant Tangle DCB| égal à l'angle de la droite avec le plan vertical : cette droite sera parallèle au rabattement sur le plan horizontal de la droite AB.

Menons par le point D la parallèle DF à la ligne de terre; elle viendra rencontrer l'arc décrit en un point B qui sera la trace horizontale de la droite cherchée : a& sera la projection horizontale de cette droite. La projection verticale est facile à déterminer. Il y a deux solutions en général.

ScoLiB. On voit facilement que le problème ne donne pas toujours une solution.

Trouver V intersection d'une sphire avec un plan.

La sphère est donnée par son centre et son rayon ; du centre on abaisse une perpendiculaire sur le plan; le pied est le centre du cercle intersection demandée. Le rayon de cette intersection , le rayon de la sphère et la distance du centre au plan forment un triangle rectangle. On connaît cette distance et le rayon de la sphère, donc on connaît le rayon du cercle à déterminer.

Il est mieux de ramener le problème à des rabattements en menant un plan vertical perpendiculaire au plan donné , et passant par le centre de la sphère. Ce plan vertical se rabat sur le plan horizontal en tournant autour de sa trace horizontale, et donne le centre du cercle d'intersection et son rayon. Rabattant ensuite le plan sécant, donné lui-même, autour de sa trace horizontale, on a en vraie grandeur le cercle d'intersection de ce rabattement. On peut passer aux projections des divers points de ce cercle, qui seront évidemment sur une ellipse en projection verticale et en projection horizontale.

PROBLÈME XLL

Trouver Vintersection de deux sphères.

Les sphères sont données par leurs centres et leurs rayons.

On sait que deux sphères se coupent suivant un cercle perpendiculaire à la ligne des centres.

Au moyen du plan vertical qui contient la distance des deux centres , on rabat cette distance sur le plan

horizontal autour de sa projection horizontale comme charnière.

Le plan projetant verticalement la distance des centres coupe les sphères chacune suivant un grand cercle.

Dans le rabattement de la distance des centres on rabat également les deux grands cercles , qui se coupent et ont une corde commune perpendiculaire à la ligne des centres.

Le point de rencontre de cette corde et de la ligne des centres est le centre de la section, et la demi-corde est le rayon de ce cercle; d'ailleurs, le plan de ce cercle est perpendiculaire à la ligne des centres.

Le problème est donc ramené à un problème de rabattement.

Intersection d'une droite et d'une sphère.

Considérons le plan projetant horizontalement la droite. Ce plan coupe la sphère suivant un petit cercle dont le centre est à la même hauteur que celui de la sphère , et dont le diamètre est donné par la portion de la projection horizontale de la droite comprise dans le cercle qui projette horizontalement la sphère. Ce plan étant rabattu donnera d'une part la droite elle-même , de l'autre la section de la sphère opérée par le plan projetant qui contient la droite. Les intersections du petit cercle et de la droite dans le rabattement étant relevées donneront les points communs à la sphère et à la droite.