RÉGLÉES EN GÉNÉRAL

6. Le plan tangent au cylindre en un point contient toute la génératrice du cylindre qui passe par ce point. En efTet, cette génératrice étant considérée comme une des lignes que l'on peut tracer sur la surface , et passant par le point de contact , est à ellemême sa propre tangente; et par suite elle est tout entière dans le plan.

On peut en dire autant d'un cône ou,d*une surface réglée quelconque.

On recherchera donc avec soin toutes génératrices rectilignes passant par le point de contact pour Tune des lignes droites qui servent à déterminer le plan tangent.

7. Il faut ajouter, chose fort importante , que, pour le cylindre et le cône, tous les plans tangents à tous les points d'une même génératrice se confondent. Car dans ces surfaces , deux génératrices infiniment voisines sont dans le même plan comme étant ou concourantes dans le cône ou parallèles dans le cylindre. C'est donc le même plan qui est tangent dans toute rétendue d'une même génératrice.

Le même principe est vrai pour toute surface développable, par cela seul que deux génératrices voisines sont dans le même plan.

8. Après les génératrices ou sections rectilignes, il est évident que les sections circulaires offrent le plus d'avantages pour déterminer les plans tangents; le petit nombre de surfaces , autres que celles de révolution, qui admettent ces sections circulaires, en limite beaucoup l'usage; certaines surfaces engendrées par des cercles mobiles forment encore une classe assez nombreuse, et qui est employée dans les constructions.

9. Pour les surfaces de révolution, tout parallèle, passant par un point donné est une section circulaire, dont la tangente, jointe à la tangente au méridien du même point, détermine le plan tangent.

10. Quant au plan tangent aux surfaces gauches, en général on substitue à ces surfaces d'autres surfaces gauches plus simples , qui donnent en chaque point deux génératrices rectilignes appartenant à deux systèmes différents; chaque génératrice étant sa propre tangente, par conséquent leur plan est le plan tangent demandé. Nous y consacrerons un chapitre particulier, sous le nom de surfaces de raccordement.

ii . Revenant aux surfaces de révolution, nous remarquerons qu'un élément quelconque de la courbe, qui tourne autour d'un axe, décrit une portion de cône droit à base circulaire, en sorte que sur chaque parallèle la surface a décrit un cône droit à base circulaire tangent à la surface , et dont le sommet est sur Taxe, chaque génératrice étant une tangente au méridien.

Comme d'autre part la tangente au parallèle est perpendiculaire au méridien , il en résulte que le plan tangent est lui-même perpendiculaire au méridien qui passe par le point de contact; en sorte que Ton dit ordinairement que le plan tangent à une surface de révolution est le plan mené perpendiculairement au méridien par la tangente à ce méridien même.

12. Dans plusieurs cas où la ligne normale à la surface est facile à reconnaître par des conditions de symétrie, on obtient le plan tangent en menant par le point de contact un plan perpendiculaire à la normale.

15. Gomme conséquence de ce qui a été indiqué pour le plan tangent au cylindre , on voit que toute courbe

qui a une tangente dans Tespace, aura pour projection sur un pian quelconque une courbe à laquelle la projection de la tangente sera elle-même tangente.

En effet, le cylindre qui projettera la courbe sur ce plan, aura pour Tune de ses génératrices la ligne qui projette le point de contact, et son plan tangent le long de cette génératrice sera celui qui contient et la tangente et cette génératrice.

Le plan sur lequel on projette, étant considéré comme un plan sécant, donnera d'une part dans le cylindre la projection de la courbe, et dans le plan tangent la projection de la tangente.

Par un point donné sur la surface d'un cylindre mener un plan tangent à ce cylindre*.

Le point ne peut être donné que par Tune de ses projections. Le cylindre est donné par sa trace directrice horizontale, et par les projections de l'une de ses génératrices.

Supposons le point donné par sa projection horizontale. Par cette projection menons une parallèle à la projection horizontale de la génératrice donnée, cette parallèle viendra rencontrer la base directrice du cylindre en un ou plusieurs points; par l'un de ces points de rencontre menons une perpendiculaire à la ligne de terre, et par le pied de cette perpendiculaire menons une

* Le lecteur devra faire lui-même les coDSlrucUons en se servant, pour le cylindre, des données de la figure 37.

parallèle à la projection verticale de la génératrice donnée; les deux parallèles menées seront les projections horizontale et verticale de la génératrice qui passe par le point donné sur la surface du cylindre. En relevant verticalement le point donné par sa pro« jection horizontale , on a les projections du point donné.

Cela posé y nous savons que le plan tangent à une surface cylindrique en un point donné contient la génératrice rectiligne qui passe par ce point. Nous savons de plus que le plan tangent contient les tangentes aux courbes de la surface menées par les points de cette génératrice.

Or la directrice du cylindre est rencontrée en un point par la génératrice menée par le point donné : donc^ en cette trace horizontale de la génératrice , si Ton mène la tangente à cette directrice , la droite obtenue sera contenue dans le plan tangent demandé; mais cette droite est dans le plan horizontal de projection : ce sera donc la trace horizontale du plan tangent cherché.

On connaît ainsi la trace horizontale d*un plan et les projections d'un point : le problème est résolu. Pour avoir la trace verticale du plan tangent, on pourra prendre la trace verticale de la génératrice du cylindre passant par le point donné, ou bien prendre la trace verticale de Thorizontale du plan tangent passant par le point donné.

ScoLiE. Nous avons supposé le cylindre donné par

sa trace horizontale et Tune de ses génératrices. La directrice du cylindre pourrait être une courbe quelconque; dans ce cas, on peut ramener le problème à celui que nous venons de résoudre en cherchant la trace horizontale du cylindre donné d'une manière générale y ce qui se fait en cherchant les traces d*un nombre suffisant de génératrices du cylindre. S'il est facile de trouver la tangente de la directrice générale, on aura directement le plan tangent sans avoir recours à la trace du cylindre.

PROBLÈME 11 (figure 37).

Par un point pris en dehors de la surface d'un cylyndre donné , mener un plan tangent à cette surface.

La directrice du cylindre est un cercle placé sur le plan horizontal de projection; ÂD, parallèle àLT, étant le diamètre de ce cercle, kp^ aV est la génératrice donnée.

Le point par lequel on doit mener la tangente est le point m, w'.

Supposons le plan tangent mené, il contiendra une génératrice de contact : donc, en menant parle point t», m' une parallèle aux génératrices , cette parallèle sera contenue dans le plan tangent demandé.

La solution suivante est donc facile à comprendre.

Soit mx parallèle à Ap, soit m'a/ parallèle àPa', et soit Y la trace horizontale de cette droite mx , mla^'^ le point Y sera un point de la trace horizontale du plan tangent; mais cette trace horizontale du plan tangent doit être tangente à la directrice horizontale du cy-

ET TANGEMUS AUX GOUBBBS. 139

lindre : il suffit donc de mener par Y une tangente au cercle dont AD est le diamètre. Dans la figure donnée on trouve les deux tangentes YB et YF ; il y aura donc deux plans tangents menés au cylindre par le point ffif tn •

Les génératrices de contact seront Bv, l/V et Fz^ fZ. On trouvera les traces verticales des plans tangents par les procédés indiqués pour mener un plan donné par la trace horizontale et par une droite située dans ce plan. Les traces verticales sont YW et ZH.

ScoLiE L La trace horizontale du cylindre donné est une circonférence de cercle; en sorte que Ton mène facilement une tangente à ce cercle par un point extérieur ; si la courbe placée sur le plan horizontal était une courbe quelconque, la construction graphique présenterait plus de difficulté : c'est pour ces raisons que V Introduction de ces éléments renferme des solutions pratiques relatives aux tangentes aux courbes quelconques.

ScoLiE IL Dans le chapitre ii nous avons renvoyé à cette figure 37, pour rappeler Tintersection avec le plan vertical de projection, d'un cylindre donné par sa trace horizontale et Tune de ses génératrices. Nous prenons ici les traces verticales de plusieurs génératrices, et nous trouvons ainsi les points P, U, Y, R, Z; ces points étant unis par un trait continu, nous trouvons la trace verticale du cylindre.

11 est évident que les traces verticales du plan tangent sont tangentes à cette courbe.

ScoLiE m. Les limites des projections horizontale et verticale du cylindre s'obtiennent pour la projection horizontale en menant des tangentes Gr, Cq au cercle AD parallèlement à la droite Ap. Pour le plan verticaly des points A et D, extrémités du diamètre du cercle parallèle à la ligne de terre ^ nous menons les perpendiculaires Aa', DcC à cette ligne de terre , et par les points a' et d' nous menons les parallèles a'P, d'D à la projection verticale a'P de la génératrice.

11 est évident que ces droites sont respectivement les génératrices limites des projections sur le plan horizontal et sur le plan vertical.

On a marqué en pointillé les parties du cylindre et des lignes de Tépure qui sont cachées par la surface du cylindre^ suivant les conventions faites en géométrie descriptive *.

Mener un plan tangent à un cylindre parallhlement à une droite donnée (fig. 38).

Le cylindre est donné par sa trace horizontale qui est ici un cercle dont le diamètre , parallèle à LT^ est AD, et par une génératrice Ap, a'P.

La droite donnée est mn, w!n\

* Nous engageons le lecteur à prendre, pour résoudre ce problème, une directrice quelconque donnée par ses deux projections, et de ramener le problème à celui qui précède , en cherchant la trace horizontale du cylindre , ou bien si celle trace ne peut se trouver dans^ les limites de l'épure , d'employer un plan horizontal auxiliaire, et de chercher Tintersection avec ce plan du cylindre donné.

ET TANGENTES AUX COURBES. I4l

Supposons le plan tangent demandé obtenu; ce plan contiendra une génératrice du cylindre , et il sera^ d'après Ténoncé du problème, parallèle à la droite mn, min! : donc , si par cette droite mn, m'n', on mène un plan parallèle à la génératrice Ap, a!f, ce plan sera parallèle au plan tangent demandé, et par suite les traces horizontales de ces plans seront parallèles entre elles.

Soit Q la trace verticale de la droite mn^ nirl} par ce point je mène la parallèle Q«, qS à la génératrice donnée, soit S la trace horizontale de cette parallèle, et R la trace horizontale de mn^ rrlv!) RS est la trace horizontale du plan auxiliaire.

Or cette trace est parallèle à la trace horizontale du plan tangent; cette trace doit être tangente à la circonférence de cercle dont AD est le diamètre; il suffit donc de mener la tangente F6, HK au cercle directeur pour avoir les traces horizontales des plans tangents au cylindre ; car on trouve deux plans tangents au cylindre, parallèles à la droite donnée.

Soit X le point de contact de FG avec le cercle directeur, menons par ce point la génératrice du cylindre donné; soit Y la trace verticale de cette génératrice, la trace verticale du plan tangent passera par ce point, soit G le point de FG qui appartient à la ligne de terre : FGY sera le premier plan tangent demandé.

Soit V le point de contact de HK avec le cercle directeur, et ZJa trace verticale de la génératrice qui passe par le point V, K le point où HK rencontre la ligne de terre : HKZ sera le second plan tangent demandé.

ScoLi£ L Si la ligne donnée mn, rrlii ne permettait pas d'effectuer y comme nous Tavons fait, la construction sur Tépure, on mènerait par un point convenablement choisi une parallèle à cette droite donnée ^ et une parallèle à la génératrice du cylindre ; puis on ferait passer un plan par ces deux droites : la question serait alors ramenée aux constructions de ce problème.

ScoLiE 11. Nous ferions les mêmes remarques pour ce problème que pour les précédents , si le cylindre donné avait pour directrice une courbe quelconque.

PROBLÈME V (figure 43).

Par un point de l'intersection d'un cylindre et d'un plan , mener une tangente à cette intersection.

La solution a été donnée d'une manière générale dans le n"* S des préliminaires du chapitre m.

Soit d le point par lequel on veut mener la tangente à Tellipse. Par la génératrice D^dldl% nous mènerons un plan tangent au cylindre : la trace horizontale de ce plan tangent sera D^R^ qui coupera la trace FD au point R. En rabattant le plan parallèlement au plan horizontal^ ce point R^ trace horizontale de la tangente cherchée, se rabattera^ur r', et sa projection horizontale sera r^. Joignant rid, on aura le rabattement de la tangente sur le plan horizontal.

Gomme vérification des constructions, les deux tangentes se coupent au point S sur Taxe de rotation autour duquel on a fait pivoter le plan sécant.

PROBLÈME VI (figure 32).

Mener en un point de f intersection de deux cylindres une tangente à cette intersection.

Soit 0, cf le point donné. Nous tracerons sur les cylindres les projections des génératrices Wo, Go, correspondant au point o. Suivant ces génératrices , nous conduirons les plans tangents , dont les traces horizontales WQ et GQ donneront en leur point de rencontre Q la trace horizontale de la tangente cherchée. En joignant les points Q et o, 9' et o\ on aura les projections de la tangente cherchée.

Nous ferons remarquer qu'en ce cas la génératrice limite sur le plan vertical du cylindre YEH est devenue la projection verticale de la tangente cherchée.

PROBLÈME VII (figure 39).

Par un point donné sur la surface d'un câne^ mener un plaît tangent à cette surface.

Le plan tangent à la surface conique contient la génératrice de cette surface qui passe par le point donné; cette génératrice passe par le sommet du cône; en sorte que la solution est analogue à celle du problème I de ce chapitre.

Comme exercices , nous allons entrer dans quelques détails.

La trace horizontale directrice du cône est la circou'férence de cercle dont AD , parallèle à LT , est le diamètre : le sommet donné est s, s\ Soit le centre du cercle donné.

Le point donné sur la surface est donné seulement

144 PLANS TANGENTS AUX Sli\tAC£S

par sa projection horizontale en m. Menons la droite ms , et prenons les points B et F intersections de cette droite et de la circonférence oD. Ces points B et F sont les traces horizontales des deux génératrices du cône passant par les points de cette surface^ dont la projection horizontale unique est le point m. Menons sfb' et sff^; puis menons aussi la perpendiculaire mr à la ligne de terre , et prolongeons cette perpendiculaire jusqu'à sa rencontre en m' avec ^bf, en w'' avec s'/*. Le point m, m' appartient à la surface conique; le point m, m" appartient aussi à cette surface.

Soit BY tangente au. cercle oD, et soit mw, m'N parallèle à BYN la trace verticale de cette droite; Y appartient à la ligne de terre. BYN sera le plan tangent au cône passant par le point m, m'.

De même le plan FZW sera le plan tangent au cône mené par le point m, m".

ScoLiE 1. Dans la figure 39 on a trouvé la trace verticale du cône en cherchant les traces verticales d'un nombre suffisant de génératrices de la surface conique. On sait que le cylindre peut être considéré comme un cône pour lequel le sommet est à l'infini. On pourrait donc se borner à traiter les problèmes relatifs au cône; mais il était utile de les traiter séparément à cause des nombreuses applications de ces problèmes.

ScoLiE 11. On devra s'exercer sur des surfaces coniques données par une directrice quelconque. Mêmes observations à ce sujet que pour les problèmes précédents.

Sr TANGBNTES AUX COURBES. 145

ScoLiE IIL Les génératrices limites s'obtiennent par une méthode semblable à la méthode indiquée pour les génératrices limites du cylindre.

PROBLÈRIE VU!.

Mener un plan tangent à une surface conique par un point piis hors de cette surface.

Ce cône est donné comme dans le problème précédent.

Le plan tangent qui passe par le point donné contient une génératrice de contact : donc, il passe par le sommet du cône. Par suite , la droite qui joint le point donné et le sommet du cône est contenue, dans le plan tangent cherché , et la trace horizontale de cette droite appartient à la trace horizontale du plan tangent, qui est tangente à la trace horizontale du cône.

Le problème est donc ramené à des constructions simples que le lecteur est prié d'effectuer.

ScoLiE L Si la courbe directrice est une courbe située dans un plan différent du plan horizontal, le problème pourra être résolu par des constructions simples au moyen des rabattements. En effet, après avoir cherché rintersection de la droite auxiliaire avec le plan de la directrice du cône , on mènera une tangente à la directrice par cette intersection; puis on fera passer un plan par cette tangente et la génératrice du cône menée au point de contact de cette tangente à la directrice.

ScoLiE II. Si la courbe directrice est quelconque

non plane, c'est-à-dire à double courbure, ou bien on cherchera la trace horizontale de la surface conique , ou bien on cherchera Tintersection de cette surface conique avec un plan convenablement choisi ; en sorte que le problème sera ramené à des constructions simples et connues.

PROBLÈME IX (figure 40).

Mener un plan tangent à un cône parallhlement à ufie droite donnée.

Le plan tangent doit contenir le sommet du cône : donc il doit contenir une parallèle auxiliaire à la droite donnée, menée par le sommet du cône; en sorte que si Ton coupe le cône et la droite auxiliaire par un plan, le plan tangent sera aussi coupé par le plan auxiliaire suivant une droite tangente à la section du cône obtenue par le plan auxiliaire, cette droite tangente passant aussi par le point de rencontre de la droite auxiliaire avec le plan auxiliaire.

Entrons dans les détails de construction pour la figure 40.

Le cône donné a pour sommet s, s!; la directrice horizontale est le cercle AOD, AD étant parallèle à la ligne de terre. La droite donnée est mn, rrivl.

Par le point «, ^ nous menons ^Q, ^(f parallèle à mn, nirii soit Q la trace horizontale de cette parallèle auxiliaire.

Par le point Q menons les droites QG, QH tan-^ gentes à la directrice horizontale du cône; ces droites seront les traces horizontales des plans tangents au

cône parallèles à la droite mn^ rrlvl. Soient X et V les points de contact de ces tangentes ; en joignant ces points au sommet du cône^ on aura les génératrices de contact; puis, prenant la trace verticale de chacune de ces génératrices de contact, on aura un point de la trace verticale du plan tangent correspondant : c'est ainsi qu'on obtient la trace verticale GY et la trace verticale HZ.

D'ailleurs, ces traces verticales passent par la trace verticale de la droite auxiliaire éif^ ^Q.

ScoLiE. Les limites du cône sont: en projection horizontale, les tangentes 5G„ «C, au cercle directeur ; en projection verticale, les droites ^dj ^(t correspondant aux points A et D, extrémités du diamètre du cercle directeur parallèle à la ligne de terre.

PROBLÈME X (figure 44).

Par un point de Vinlersection d'un cône et d'un plan , mener une tangente à cette intersection.

En nous reportant au n"" 3 des préliminaires de ce chapitre , nous voyons que pour mener une tangente en un point d'une courbe d'intersection de deux surfaces, on cherche la droite d'intersection des deux plans tangents aux surfaces au point donné : cette droite est la tangente à la courbe.

1^ Appliquant ces principes à l'intersection du cône par un plan qui, dans la fig. 44, coupe la surface suivant une ellipse, si on demande la tangente à la courbe en un point (g^sf) par exemple, nous mènerons par ce

point la génératice (sQ, ^^) : le plan tangent passera par cette génératrice et la tangente QX à la courbe directrice du cône. Cette droite QX sera la trace du plan tangent , et le point X la trace horizontale de la droite intersection du plan sécant HGF et du plan tangent XQ. En joignant X et g, nous aurons la projection horizontale de la tangente^ au point g; la projection verticale se confond avec la trace GH.

Pour mener la tangente à la courbe d'intersection rabattue sur le plan vertical, on opère conime il a été dit au problème V. Nous obtenons la tangente G^'.

2"" La tangente à la courbe d'intersection d'un cône dont les deux nappes sont rencontrées par le plan sécant, s'obtiendrait de la même manière. Comme appli* cation, nous nous proposerons de déterminer la tangente à l'infini, c'est-à-dire l'asymptote de l'hyperbole.

Évidemment ce point se trouve à la rencontre du plan sécant et des génératrices du cône parallèles à ce plan.

Nous aurons ces génératrices en menant par le sommet du cône le plan TRW (fig. 46) parallèle au plan HGF. La trace horizontale RW coupe la directrice aux points W et W, qui sont les traces horizontales des génératrices cherchées. Concevons par ces génératrices les plans tangents au cône : ils couperont le plan sécant HGF suivant les tangentes à l'infini, c'est-à-dire suivant les asymptotes. Les traces horizontales de ces plans tangents seront les tangentes WX, W^', et les tangentes cherchées seront parallèles aux génératrices. Si donc par leurs traces X et X', on mène X'E', XE parallèles aux génératrices ou perpendiculaires aux

KT TANGCimS AUX OOUlKS. U9

droites XW et X' W, on aura les projections horizontales des asymptotes 9 qui devront , comme vérification , se couper au milieu de Taxe de Thyperbole au point k.

Par un point de VinterzectUm d'un cylindre et d*un cône, mener une tangente à cette intersection.

On mène par le point donné un plan tangent au cylindre, un plan tangent au cône , et l'intersection de ces deux plans donne la tangente demandée.

ScoLiE. 11 peut arriver qu'en un certain point de rintersection , les deux plans tangents à chacune des surfaces se confondent. On verra plus loin la solution de cette singularité.

PROBLÈME XII (figure 48).

Par un point de Y intersection de deux cônes mener une tangente à cette intersection *.

Pour résoudre ce problème , nous concevrons par le point {dy d') les génératrices des cônes. Par chaque génératrice, nous mènerons un plan tangent à chacun des cônes. Les traces de ces plans tangents seront AQet BQ. L'intersection Q de ces traces sera la trace horizontale de la tangente cherchée , dont la projection horizontale sera dQ^ et la projection verticale d'q\ Même observation que pour le problème précédent.

* Le lecteur devra étudier toutes les observations consignées dans les scolies de ce problème.

ScoLiE I. Lorsque deux cônes se coupent ^ il peut arriver que les courbes d'intersection aient des branches infinies, et il est important alors de reconnaître si en effet il y a des branches infinies.

Pour cela y on cherche s'il existe sur le premier et le second cône des génératrices parallèles : car évidemment c'est le caractère essentiel de points de Tintersection situés à l'infini.

Supposons donc que l'un des cônes restant fixe, le second soit transporté parallèlement à lui-même, de manière que son sommet soit appliqué sur le sommet du premier. Après ce transport, il arrivera deux choses : ou bien les deux cônes, savoir le premier et le cône auxiliaire, n'auront d'autre point commun que le sommet , et alors l'intersection des deux cônes donnés n'aura pas de branches infinies; ou bien les deux cônes, savoir le premier et le cône auxiliaire, se couperont, ce qui veut dire qu'ils auront une génératrice ou plusieurs génératrices communes. Dans ce cas, les deux cônes donnés auront des génératrices parallèles, et, par suite, les deux cônes donnés auront des branches infinies.

Supposons que les traces horizontales des deux cônes soient données.

Pour réaliser les constructions de recherche, on laisse sur l'épure le premier cône fixe, et l'on mène par son sommet une suite de parallèles à un nombre suffisant des génératrices du second. On prend les traces horizontales de ces parallèles , et on les unit par un trait continu (la courbe qu'on obtient doit

IT TANCraTKS AUX OOUllBS. 151

être semblable à la trace horizontale du Becond cône donné).

Si la trace horizontale da cône auxiliaire rencontre la trace horizontale du premier cône donné, c'est qu'il y aura une ou plusieurs branches infinies. Dans le cas contraire 9 il n'y aura pas de branches infinies.

D'ailleurs, dans le cas où il y a des branches infinies y les génératrices parallèles déterminées serviront à trouver les asymptotes. En effet, ces asymptotes sont les tangentes à la courbe d'intersection pour un point de contact situé à l'infini.

On mènera donc les plans tangents aux cônes correspondant à chaque couple de génératrices parallèles. Si ces plans se coupent, l'intersection sera une asymptote; si ces plans ne se coupent pas, c'est qu'il n'y aura pas d'asymptote.

On a vu déjà en effet que dans certaines courbes à branches infinies , comme les paraboles, il n'y a pas d'asymptotes.

ScoLiE II. On doit voir que si les cônes sont donnés au moyen de leurs sommets et de courbes quelconques, il y a une complication assez grande dans les constructions ; mais alors on emploie un plan auxiliaire horizontal ou un plan auxiliaire vertical, sur lequel on fait les constructions indiquées au scolie I.

ScoLiE III. Un cône peut être donné : 1"" par son sommet; 2"" parla condition que ses génératrices seront tangentes à une surface donnée, qui est alors la sur-

face directrice : le cône est ainsi déterminé, et Ton voit que Ton peut remplacer la surface directrice par la courbe de contact, qui devient ht courbe directrice , cette courbe étant souvent une courbe à double courbure.

Les observations qui ont été faites dans les deux premiers scolies subsistent encore pour ce genre de cônes.

ScoLiE IV. On peut demander de déterminer le point le plus haut et le point le plus bas de Tintersection de deux cônes. Considérons Tun de ces points, le point le plus haut par exemple : il correspond à la position d'une tangente à la courbe parallèle au plan horizontal. Ainsi la tangente au point le plus haut est une horizontale, et, par suite, les traces horizontales de deux plans tangents en ce point aux surfaces coniques sont parallèles.

Le problème est donc ramené à celui-ci : par un point pris sur le plan de deux courbes, mener une sécante telle que les tangentes menées aux courbes par les points où la sécante coupe ces courbes soient parai* lèles.

Si les courbes données sont des cercles , la sécante devra passer par le centre de similitude des cercles : c'est ce qui a été expliqué dans les constructions planes.

Dans le cas général, la solution est plus compliquée.

BT TÀIIGINTKS AVI GOCftBIS. 153

Par un point de l'intersection (Tune sphère et d*un cane, mener une tangente à cette intersection.

On mènera par le point donné un plan tangent au cône donné , et Ton trouvera Tintersection de ce plan avec le plan mené perpendiculairement au rayon de la sphère en ce point.

Le lecteur devra faire ces constructions.

PROBLÈME XIV (figure 41).

Par un point donné sur une surface de révolution mener un plan tangent à cette surface ^.

Dans la figure^ la surface est un ellipsoïde de révo*

* Reprenons, en nous servant de la figure ci*contre, les propriétés du plan tangent à une surface de révolution.

V Le plan tangent en un point M contient la tangente MH du parallèle AM qui passe par ce point M et la tangente MG au méridien MP qui passe par ce point.

2« Le plan langent au point M est perpendiculaire au plan du méridien ; en effet , MH est perpendiculaire à MG et au rayon du parallèle qui passe par le point M.

S*" Toules les tangentes aux points des méridiens qui correspondent au parallèle AM viennent rencontrer l'axe XY en un même point , qui est le sommet d'un cône tangent à la surface de révolution suivant le parallèle AM. (Si Ton ne prend que la partie inférieure de la surface de révolution et la partie supérieure du cône à partir du parallèle , on peut dire que le cône raccorde la surface de révolution.)

4*" La normale MS du méridien au point M est perpendiculaire à la tangente MG ; elle est en même temps la normale à la surface de révolution , et de plus on peut voir que toules les normales à la surface de révolution pour les points du parallèle AM , se rencontrent toules au même point S de Taxe.

volution engendré par le méridien e2'/^^'A/*paralLèle au plan vertical de projection , et tournant autour de son axe vertical clVyk^ la trace horizontale de cet axe vertical étant A.

Le point n'est donné que par une de ses projections^ la projection horizontale ou la projection verticale.

Nous avons vu, dans le chapitre précédent, ce qui est relatif à ces surfaces de révolution. Dans la figure 41 , le point est donné par la projection horizontale m.

km est en grandeur et en projection horizontale le rayon dii parallèle de la surface de révolution passant par le point M de Tespace, ce parallèle se projetant en véritable grandeur sur le plan horizontal.

Soit pris sur kf la ligne kp égale à km ; le point p sera la projection horizontale du point du méridien parallèle au plan vertical de projection correspondant au parallèle qui se projette en Am.... Donc, en menant par le point p une perpendiculaire à la ligne de terre, les intersections de cette perpendiculaire avec le méridien d!f^ donneront les projections verticales correspondant au point p; on trouve ainsi les points p' et j[>". En menant p'ç' et ^Y' parallèles à la ligne de terre, on a les traces verticales des plans parallèles au plan horizontal correspondant aux cercles parallèles de la surface de révolution relatifs aux points de la surface dont la projection horizontale est m.

Les projections verticales des points donnés sont ni et m".

Considérons seulement le point ni et menons par

le point m y m Me plan tangent à la surface^ de révolution donnée.

1"*^ solution. On mène au point m, vfi la tangente au méridien et la tangente au parallèle ; cette dernière se projette horizontalement suivant la tangente mn au cercle dont km est le rayon ; elle se projette verticalement suivant la parallèle nivl à la ligne de terre.

Remarquons ici que cette tangente au parallèle, menée par le point m, vfiy est horizontale, et par suite qu'elle est parallèle à la trace horizontale du plan tangent-

Trouvons la tangente au point M du méridien.

Pour cela, ramenons le méridien sur un plan parallèle au plan vertical de projection, en faisant tourner autour de Taxe de la surface de révolution. Le point ni se vient transformer en p', et la tangente au méridien en^ étant //a/, <drrl est la projection verticale de la tangente au méridien pour le point M; d est d'ailleurs sur l'axe.

La projection horizontale de la tangente au méridien est Âm.

Le plan tangent demandé est déterminé, puisque l'on connaît deux droites par lesquelles passe ce plan, savoir la tangente au parallèle du point M et la tangente au méridien pour le point M.

Soit j/Y la trace horizontale de cette dernière tangente. En menant YZ parallèle à mn, j'aurai la trace horizontale du plan tangent au point m, rrl.

Soit Rr la trace verticale de la tangente au parallèle. RZ est la trace verticale du plan tangent.

On opère de la même manière pour obtenir le plan tangent mené parle point m, m'^ Les constructions ont été faites sur Tépure : il est inutile ici d'en donner le détail.

2* solution. Nous nous appuyons sur la quatrième remarque de la note (page 1 53).

Soit ffu/ la normale à la génératrice méridienne au point/)'; ttl étant sur l'axe, il en résultera que mW, Am seralanormale à la surface de révolution au point m, m'; par suite , le plan tangent à la surface sera le plan mené perpendiculairement à cette normale par le point m, m' de cette normale.

3"^ solution. Disons seulement que Ton substitue à la surface de révolution donnée le cône tangent suivant le parallèle qui passe par le point M^ et que Ton mène le plan tangent à ce cône parle point donné.

ScoLiE I. Dans ce qui vient d'être dit, nous avons supposé que la courbe génératrice était un méridien ; or, il arrive souvent que cette courbe génératrice est quelconque. On doit, dans ce cas, ramener le problème à celui qui précède , en cherchant le méridien de la surface de révolution, ce qui est un problème connu.

On voit par là que l'ordre suivi dans ces éléments est justifié, en ce que les problèmesdes plans tangents aux surfaces exigent la résolution des problèmes relatifs à l'intersection des surfaces.

ScoLiE II. Nous avons supposé l'axe de la surface de révolution vertical; s'il était quelconque, les gé-

BT TANGBMTIS AUX COURBES. 157

néralités relatives au plan tangent seraient les mèmesi et au moyen du rabattement d*un plan méridien sur le plan horizontal de projection, on pourrait déterminer la normale à la surface en un point donné, et Ton mènerait le plan tangent à la surface au moyen de cette normale. ( Observation 4"* de la note de ce problème.)

On a vu déjà d'ailleurs un ellipsoïde de révolution dont Taxe n'est pas vertical , dans le chapitre précédent : il est vrai que cet axe est parallèle au plan vertical, mais on pourra s'exercer en prenant un axe quelconque et une génératrice quelconque.

Mener un plan tangent à une surface de révolution parallhlement à un plan donné.

Supposons le problème résolu et imaginons con* duit par Taxe le plan méridien qui passe par le point de contact, ce plan auxiliaire est perpendiculaire à la fois au plan tangent et au plan donné.

Ce même plan auxiliaire coupe le plan donné et le plan parallèle tangent suivant deux droites parallèles entre elles , la dernière étant la tangente à la courbe méridienne menée par le point de contact.

Ces observations faites, la solution du problème s'en déduit.

Ainsi, par l'axe de la surface de révolution on mène un plan perpendiculaire au plan donné. On prend l'intersection de ce plan auxiliaire avec le plan donné et l'on rabat ce plan au:^iliaire sur le méridien

parallèle au plan vertical. On mène au méridien une tangente parallèle à la droite de Tintersection trouvée après son rabattement : on a donc le parallèle sur le * quel a lieu le point de contact^ et comme on a aussi le méridien sur lequel doit avoir lieu le point de contact, Tintersection de ce parallèle et de ce méridien donnera le point de contact, ce qui ramènera le problème au problème précédent.

Le lecteur devra faire les constructions indiquées dans ce problème et même considérer le cas où Taxe de la surface de révolution est quelconque.

PROBLÈME XVI (fig. 57).

Par une droite donnée^ mener un plan tangent à une sphère.

1" solution. Par le centre de la sphère on mène un plan perpendiculaire à la droite donnée, c'est dans ce plan perpendiculaire que se trouve le point de con* tact du plan tangent à la sphère mené par la droite.

Par suite , le problème peut être considéré comme résolu; en effet, on sait abaisser d*un point un plan perpendiculaire sur une droite; trouver Tintersection de ce plan avec la droite, puis mener par cette intersection une tangente au grand cercle d'intersection du plan auxiliaire avec la sphère donnée. Le point de contact de cette tangente serait le point de contact du plan tangent à la sphère.

Il resterait encore à faire passer un plan par la ligne donnée et le point de contact trouvé , ce qui ne présente aucune difficulté.

Quand on est maître des données, on place le centre de la sphère sur la ligne de terre, la construction devient plus simple, c'est celle qui est donnée dans répure 57. Ces constructions sont des applications de la théorie des rabattements du chapitre i *.

2^ solution. On prend un premier point sur la ligne donnée et Ton détermine le cercle de contact du cône tangent à la sphère ayant pour sommet le point choisi.

On prend un second point sur la droite et Ton fait une construction analogue; Tintersection des deux cercles de contact des deux cônes auxiliaires donne le point de contact demandé.

Pour plus de simplicité, on prend le centre sur la ligne de terre et alors on choisit, pour points auxiliaires, la trace horizontale de la droite et sa trace verticale.

3® solution. On prend encore, comme dans la solution qui précède , un cône tangent à la sphère et dont le sommet est placé sur la droite donnée; puis par la droite donnée on mène un plan tangent à ce cône auxiliaire : ce plan tangent sera le plan demandé.

Ce dernier plan s'obtient comme il a été dit au commencement de ce chapitre.

* Ce problème est tellement facile , quHl semble superflu de le donner dans un cours élémentaire de géométrie descriptive. G'ett pour répondre aux exigences des programmes de l'enseignement de \k géomélrie descriptive, que nous avons cru devoir traiter ici succinctement cette question.

PROBLÈME XVII (figure 53).

Par un point pris sur la surface gauche de révolution, mener un plan tangent à cette surface.

On a démontré qu'en un point de la surface gauche de révolution il y a toujours deux génératrices rectilignes ; on sait aussi que les projections horizontales de toutes les génératrices rectilignes sont tangentes à la projection horizontale du cercle de gorge.

Soit à mener un plan tangent à la surface gauche de révolution de la figure 53 par le point Z,h de cette surface.

La figure nous a déjà servi à trouver Tinterseclion d'une surface gauche de révolution et d'un plan.

D'après les remarques faites, il suffit de mener par le point h deux tangentes au cercle de gorge, ce sont les projections horizontales des génératrices rectilignes qui passent par le point Z,h.

Mais la trace horizontale de la surface gauche est le cercle qui a pour centre le point A et pour rayon AQ; par suite les traces horizontales des génératrices du point Z,/t seront sur cette circonférence; on les trouve en B, et Cj. La droite qui joint ces deux points sera la trace horizontale du plan tangent à la surface gauche de révolution.

Nous n'indiquons pas sur l'épure la trace verticale de ce plan tangent, car sa détermination revient à faire passer un plan'par une droite située sur le plan horizontal et par un point quelconque.

On pourrait hésiter pour la détermination de la trace horizontale d'une génératrice, car sa projection

ET TANGINTSS AUX œURBES. 161

horizontale rencontre la trace horizontale de la surface en deux points , mais une réflexion simple doit être faite : la génératrice est toujours également inclinée sur le plan horizontal; par conséquent pour une hauteur constante au-dessus du plan horizontal, le triangle rectangle formé par cette hauteur, la droite génératrice et sa projection horizontale , doit avoir une base constante; or, le parallèle du point Z,A rencontre la génératrice mUf m'n' en rV, la base du triangle rectangle est rQ; on voit donc que les points G. et B^ sont bien déterminés.

' ScoLiE. Nous rappelons encore que le plan tangent à la surface de révolution est, en même temps, sécant pour tous les points autres que le point de contact.

PROBLÈME XVIII (figure 53).

Par wn point de l'intersection de la surface gauche de révolution et d'un plan ^ mener une tangente à cette intersection.

Le point donné de Tintersection est le point Z,A; le plan donné est le plan CDF. Il suffit de trouver le plan tangent à la surface gauche au point donné et de prendre ensuite Tintersection de ce plan tangent avec le plan donné : cette droite sera la tangente cherchée.

Or la trace horizontale du plan tangent est la droite C^j qui vient rencontrer GD en Pj; ce point P, eist la trace horizontale de la tangente cherchée; par suite /iP, est la projection horizontale de la tangente à la courbe d'intersection au point Z,A.

PROBLÈME XIX (figure 54).

L'intersection de la surface gauche de révolution par un plan étant une courbe à branches infinies, trouver les asymptotes de cette intersection *.

L'axe de la surface gauche est A, a'6', la génératrice est mn, m'n', le cercle de gorge a pour projections 5v, s't;'; le centre de la surface gauche est X^^.

Le plan sécant est CDF : nous avons déterminé la courbe d'intersection et nous voulons obtenir les projections des asymptotes à cette courbe d'intersection.

Le cône asymptote a pour sommet le point A,^'.

Si l'on mène par le centre A^s' une parallèle à la génératrice principale m'n', mn^ on obtiendra une génératrice du cône asymptote.

Cette génératrice est s'm', Av, la projection horizontale étant parallèle à la ligne de terre. La trace horizontale de cette droite est pf^ P.

* On sait ce qu'est le cercle de gorge de la surface gauche de révolution ; le centre de ce cercle est le centre de cette surface.

On démontre en géométrie analytique :

1" Que si, parle centre de la surface gauche de révolution, on mène des droites parallèles à toutes les génératrices de la surface gauche, on forme ainsi un cdne qui ne rencontre la surface gauche qu'à l'infini , et qu'on nomme pour cela le cône asymptote de la surface gauche.

2^ Que si l'on coupe ce cône par un plan auxiliaire passant par son sommet et mené parallèlement au plan sécant qui donne des branches infinies, les génératrices du cône suivant lesquelles ce cône est coupé par le plan auxiliaire, sont des parallèles aux asymptotes de la section plane de la surface gauche , en sorte que l'on a la direction des tangentes menées à la courbe à l'infini.

Z*" Que la courbe d'intersection du plan et de la surface gauche est de même espèce que celle qui résulte de l'intersection du même plan sécant et du cône asymptote^

Par suite ^ la trace horizontale du cône droit asymptote a pour centre le point A et pour rayon AP.

Maintenant menons par le point ^ la droite s!gf parallèle à DFy le plan CDF étant perpendiculaire au plan vertical, s' g' sera la trace verticale du plan auxiliaire indiqué plus haut. Les deux traces desgoncratrices d'intersection du plan auxiliaire avec le cône asymptote seront G et Gj, et par suite les projections horizontales de ces génératrices du cône asymptote seront AG et AG.. r

Les asymptotes de la courbe d'intersection sont les intersections avec le plan donné des plans tangents au cône asymptote^ menés suivant les génératrices AG^^^^ et AB,sf^.

Elles ont été construites sur la figure et de plus on a rabattu autour de DF sur le plan vertical la courbe d'intersection ainsi que les asymptotes.

PROBLÈME XX (figure 55).

Trouver la tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution en un point de cette courbe.

La solution la plus simple consiste à trouver l'intersection de deux plans conduits par le point donné, le premier perpendiculairement à la normale à la première surface en ce point, le second aussi perpendiculairement à la normale a la seconde surface en ce même point.

Mais la solution devient plus simple encore : le plan des deux normales est perpendiculaire à l'intersection

des deux plans tangents aux deux surfaces pour le même point.

Or^ on connaît les deux normales^ on connaît leur plan^ et par suite la tangente à Tintersection des deux surfaces de révolution.

PROBLÈiME XXI.

Par un point d'une surface quelconque, mener la no$!viale à cette surface.

La tirormale à une surface est la perpendiculaire au plan tangent.

On conduit par le point donné le plan tangent à la sijirface^ et par ce point on mène la perpendiculaire à ce plan tangent.

On a vu que, pour les surfaces de révolution, quand on connaît la ligne méridienne , on obtenait immédiatement la normale.

Par un point donné, mener un cône tangent à une surface.

Un cône est tangent à une surface quand chacune de ses génératrices s'appuyant par un point sur la surface, est située dans le plan tangent à cette surface mené par le point de contact.

La solution la plus simple qui se présente consiste à mener par le point donné une suite de plans auxiliaires sécants à la surface donnée.

Chacun de ces plans détermine une courbe auxiliaire à laquelle on mène par le point donné une ou

BT TANGINTBS AUX CXMTRBBS. 165

plusieurs tangentes suivant la forme de cette courbe auxiliaire.

Les points de contact obtenus sont des points de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface donnée.

En prenant un nombre suffisant de plans sécants auxiliaires passant par le point donné , on détermine des points de la courbe de contact, on réunit ces points par un trait continu si cela est possible, et Ton obtient ainsi la directrice du cône demandé.

ScoLiG I. On reconnaît ici ce que nous avions déjà énoncé, qu'une surface courbe pouvait servir de directrice à une surface réglée.

Entrons dans quelques détails.

Supposons qu'on demande la surface gauche déterminée par la condition que ses génératrices rectilignes soient tangentes à deux surfaces données et s'appuient sur une courbe déterminée.

Je nomme  la courbe donnée , S et T les deux surfaces données.

Je prends un point de la courbe A. De ce point comme sommet, je conçois un cône circonscrit à la surface S, et de même je conçois un cône circonscrit à la surface T; si ces deux cônes se coupent, ce ne peut être que suivant une droite ou des droites. Cette ligne droite ou ces lignes droites sont des génératrices de la surface gauche.

En prenant ensuite d'autres points de la courbe  on obtient de nouvelles génératrices de la surface

gauche. On conçoit donc que des surfaces peuvent être employées comme directrices des surfaces réglées.

ScoLiE II. Si Ton veut trouver la courbe de contact d'un cône qui a un sommet donné et d'une surface de révolution y il est possible^ pour trouver des points de cette courbe, d'employer des simplifications qui seront facilement comprises du lecteur sans qu'il soit besoin de figure tracée et qui reposent sur des problèmes particuliers. La figure 58 du problème XXIV donne d'ailleurs des résultats de cette constructiQu.

1 " /e suppose qu'on demande le point de contact d'un plan tangent à une surface de révolution donnée par' son méridien, mené par un point extérieur à la surface y le point de contact devant se trouver sur un parallèle donné.

Le parallèle donné est la base d'un cône droit tangent à la surface de révolution.

Si y par le point donné, on mène un plan tangent à cette surface conique auxiliaire, ce plan conduit sera le plan tangent demandé.

Les seules difficultés qui se présentent sont relatives à la position du cône et du point donnés. On usera, dans ces cas particuliers, des artifices qui ont été indiqués et qui consistent généralement à employer des plans auxiliaires auxquels on rapporte les données, ou encore à des problèines de rabattement.

On pourrait aussi remplacer le cône auxiliaire par une sphère ayant pour parallèle le parallèle choisi et qui toucherait la surface de révolution suivant ce parallèle.

ET TANGENTES AUX œUBBES. 167

2" Je suppose ^*on demande le point de contact d'un plan tangent à une surface de révolution donnée par son méridien^ mené par un point extérieur à la surface, le point de contact devant se trouver sur un méridien donné.

Imaginons un cylindre droit ayant pour directrice le méridien donné; si^ par le point donné, on mène un plan tangent à ce cylindre auxiliaire, ce sera le plan tangent cherché.

Or, le problème est ramené à cet autre: parle point donné, mener une perpendiculaire au plan du méridien donné, et par le pied de cette perpendiculaire mener une ou plusieurs tangentes au méridien donné; les points de contact obtenus seront les points demandés. Cette dernière construction se fera généralement en ramenant le plan du méridien donné parallèlement à Tun des plans de projection.

ScoLiE III. Le problème général que nous venons de résoudre est celui qui donne la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur une surface pour un point éclairant qui est le sommet du cône circonscrit.

PROBLÈME XXIII

Mener un cylindre tangent à une surface, parallhlement à une droite donnée.

Un cylindre est tangent à une surface lorsque chacune de ses génératrices, s'appuyant par un point sur cette surface , est située dans le plan tangent à cette surface mené par le point de contact.

La solution générale consiste à mener des plans auxiliaires parallèles à la droite donnée et sécants à la surface.

La tangente ou les tangentes menées à ces sections auxiliaires parallèlement à la droite donnée ^ seront des génératrices du cylindre demandé^ les points de contact seront les points de la courbe de contact du cylindre circonscrit à la surface donnée, les génératrices étant parallèles à la droite donnée.

ScoLiE. La surface donnée étant une surface de révolution, il se présente des simplifications analogues à celles qui sont mentionnées dans le problème qui précède.

Le lecteur devra s'exercer sur des exemples choisis par lui-même et, par exemple, pour une sphère et pour une surface de révolution dont le méridien est une ellipse tournant autour de Tun de ses axes , ou pour le tore.

La solution de ce problème général est d'ailleurs indispensable dans la théorie des ombres dont les rayons sont parallèles à une droite donnée, c'est-à-dire quand le point éclairant est à l'infmi.

Nous avons donné planche 23 un exemple de cylindres tangents à un tore et parallèlement à une droite donnée.

La figure s'explique d'elle-même; on voit qu'il y a deux solutions , c'est-à-dire deux cylindres tangents au tore, et par suite qu'il y a deux courbes de contact.

PROBLÈME XXIV (figure 58).

Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution.

Nous prenons ici pour surface de révolution, celle qui est engendrée par une ellipse CDF tournant autour d'un de ses axes, Taxe de révolution A,a'ft' étant pris vertical, A étant la trace horizontale de cet axe.

La droite donnée est MN.

1"* solution. On prend un point P de la droite MN et Ton trouve la courbe de contact du cône, tangent à Tellipsoïde, dont le sommet est P. Soit IGH cette courbe.

On prend un second point Q de la droite MN et Ton trouve la courbe de contact du cône , tangent à Tellipsoïde , qui a le point Q pour sommet. Soit XYZ cette courbe de contact.

Les points où ces deux courbes se rencontrent sont les points Y et W : ce sont les points de contact des plans tangents à la surface menés par la droite MN.

Les deux problèmes qui précèdent donnent les courbes auxiliaires de contact.

2*^ solution. On trouve la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à la surface de révolution parallèlement à la droite donnée, et Ton mène par la droite un plan tangent à ce cylindre.

ScoLiE. On voit que Ton peut combiner encore une courbe de contact de l'un des cônes auxiliaires avec la courbe de contact du cylindre auxiliaire, et varier

encore autrement la solution du problème. Et d'ailleurs , tous les cas singuliers qui peuvent se présenter rentreront dans des problèmes étudiés aux chapitres précédents , ainsi que dans les problèmes de ce chapitre même.

Mener une tangente à une courbe quelconque par tin point pris sur cette courbe.

La courbe est à double courbure et l'on donne ses projections horizontale et verticale. On suppose que Ton ne puisse pas mener les tangentes aux projections de la courbe; car dans ce cas le problème ne présenterait aucune difTicuIté.

On verra plus loin comment le géomètre Hachette a résolu le problème au moyen des surfaces gauches.