AUX COURBES

I . Les trois corps ronds de la géométrie élémentaire peuvent être considérés comme les limites vers lesquelles tendent des polyèdres, dont les faces sont en nombre infiniment grand, Tune des dimensions de ces faces, ou toutes les deux étant extrêmement petites.

Ainsi le cône peut être considéré comme une pyramide régulière, dont la base serait un polygone régulier d'un nombre infiniment grand de côtés , chacun de ces côtés étant infiniment petit.

Le cylindre peut être considéré comme un cône, dont le sommet est situé à une distance infinie de sa base, ou comme la surface latérale d'un prisme d'un nombre infini de côtés infiniment petits.

Pour la sphère , on peut la considérer comme engendrée par la révolution, autour de son diamètre, d'un demi-polygone régulier d'un nombre de côtés pair et infiniment grand, chaque côté étant infiniment petit; en sorte que la sphère sera composée à la limite d'éléments de cônes et de cylindres.

Or, supposons que nous prolongions un élément de la surface d'un cône. Ce plan prolongé ayant seulement un élément commun avec le cône, on dit que

ce plan prolongé est un plan tangent au cône par la génératrice correspondajite.

Concevons un point particulier sur cette génératrico; et par ce point conduisons des courbes sur le cône ; chacune de ces courbes aura un élément rectiligne commun avec le plan tangent ^ cet élément rectiligne prolongé est la tangente à la courbe correspondante au point que Ton considère; en sorte que l'on peut conclure pour le cône ce théorème :

Qu'en un point de la surface d'un cône y autre que le sommet y il y a un plan qui contient les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface m ce point; ce plan est le plan tangent.

Cette notion est claire ^ irréfutable.

Il en serait de même pour le cylindre , qui est un cône dont le sommet est à Tinfini.

Pour la surface de la sphère ou toute surface de révolution , on peut concevoir un élément de cette surface comme un élément très-petit d'un cylindre ou d'un cône; et par suite on peut dire aussi qu'en un point de la surface d'une sphère ou d'une surface de révolution y il y a un plan qui contient les tangentes à toutes les courbes tracées en ce point sur la sphère ou sur la surface de révolution.

On peut considérer que toute surface est décomposable en éléments plans triangulaires d'une étendue infiniment petite; car si l'on prend un nombre infini de points très*rapprochés , on pourra toujours faire un triangle avec trois des points les plus rapprochés.

La surface dévient ainsi une surface polyédrique >

ET TANGENTES AtX COURBES. 131

qui 9 à la limite^ se confond avec la surface courbe donnée.

2. Chaque plan tangent en un point est le prolongement dans tous les sens de Télément plan triangulaire. Or^ toute courbe tracée sur la surface et passant par le triangle qui contient le point de contact, aura évidemment un élément commun avec le triangle , et n'en aura qu'un seul , puisque les autres triangles voisins ne coïncident pas avec lui. Elle aura donc sa tangente dans le plan de ce triangle. On peut donc dire que le plan tangent en un point d'une surface , contient les tangentes en ce point à toutes les courbes tracées sur la surface , et passant par ce point , ces courbes étant d'ailleurs quelconques, planes ou

non*.

5. La conclusion pratique est que, pour mener un plan tangent en un point donné d'une surface donnée^ il suffit de tracer deux lignes quelconques sur cette surface^ et de mener par le point donné une tangente à chacune des

* Voici la démonstration qui a été donnée par M» Leroy dans ses noies sur la géométrie descriptive. Cette démonstration est généralement admise; nous laissons à chacun le soin de la discuter, de l'accepter ou de la rejeter.

« Le plan tangent d'une surface par un point donné est ordinairement < défini comme celui qui passe par les tangentes à deux courbes tracées « sur la surface par le point en question : mais pour justifier cette défini- « tion , il est nécessaire de démontrer que toutes ces tangentes aux diverses ^ « courbes qu'on peut tracer sur une surface par un même pointsontj eo « général, dans un même plan, et c'est ce que nous allons faire par des « moyens purement synthétiques.

« D'abord il faut se rappeler que , d'après^è^ Considérations exposées « précédemment, une surface doit âiniaMfinie comme le lieu des diverses « posiUons que prend une courbe variable, nommée génératrice, qui se

lignes y le plan de ces deux tangentes est le plan tangent demandé.

Le géomètre choisira, d'après la nature de la surface, les deux lignes les plus simples ou les plus

« meut et change de forme suivant une loi donnée et continue , en s'ap- « puyant sur une ou plusieurs directrices fixes. « Soit donc GMH la forme et la position de la génératrice lorsqu'elle

« passe par le point donné M; soit MD une « courbe située sur la surface et qui soit « directrice de GH ; soit enfin MX une autre c courbe quelconque tracée aussi sur la « surface par le point M; il suffira, pour « démontrer la proposition énoncée plus c haut, de faire voir que les tangentes me- « nées par le point M aux courbes MO, « MD, MX sont toutes tracées dans un même « plan.

« Pour y parvenir, considérons la génératrice dans la position qu'elle occupe lorsqu'au glissant sur MD elle vient à passer par un point M' voisin de M; soit alors OU' celte génératrice, et F le point où elle coupe MX; si on joint les points M, ^', P' par des droiles indéfinies, ces trois lignes seront des sécantes par rapport aux courbes MD, MX, GH', et elles seront toutes trois dans un même plan. Maintenant, faisons mouvoir la génératrice G'H' sur MD , en la rapprochant de sa première position ; puis imaginons que le plan des trois sécantes tourne autour du point M, de manière qu'il passe en même temps que la génératrice par les points

P et M", P^ et M'^ où elle coupe successivement MD et MX; alors

ce plan mobile renfermera constamment les trois sécantes variables. « Enfin, quand la génératrice sera revenue à la position GMH , le point M', variable sur MD, sera confondu avec M. Au même instant, le point V sera réuni sur MX avec M, et sur G'H' les deux points M' et F seront aussi confondus; donc, alors, les trois sécantes mobiles seront devenues Respectivement tangentes aux courbes MD,MX, GH; et si nous nous rap* pelons que ces trois sécantes étaient, pour chaque position de la génératrice, toujours dans un même plan, nous en conclurons que, quand elles sont devenues tangentes, elles se trouveront dans un seul et même j|>lan qui n'est autre que la limite des positions qu'avait prises successi- « vemenl le plan mobile des trois sécantes. Donc , etc. >

faciles à construire , ou plutôt les lignes dont les tangentes se trouvent le plus facilement.

(Voyez dans Tintroduction, à l'article des conslruclions planes, le procédé graphique qui donne une tangente à une courbe dont on connaît trois points consécutifs. )

4. La normale à une surface en un point de cette surface, est la perpendiculaire menée par ce point au plan tangent.

Un plan normal étant celui qui passe par la normale , il y en a en chaque point une infinité.

5. La tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces en un point, est Tintersection des deux plans tangents en ce point à ces surfaces; car cette droite a un élément commun avec la courbe, et elle n'en a qu'un seul.

Voici les surfaces le plus généralement considérées relativement à leurs plans tangents.