DES SURFACES

1 • Si deux surfaces ont une génératrice courbe ou rectiligne commune et si ces deux surfaces sont telles que y selon tous les points de cette ligne commune, les plans tangents à Tune des surfaces soient tangents à Tautre, on dit que les deux surfaces se raccordent.

C'est déjà ce que nous avons vu pour le cône et la surface de révolution du problème (S 7) du troisième chapitre, et aussi pour des cylindres qui se raccordent avec des surfaces de révolution.

C'est encore ce qu'on peut reconnaître dans l'épure de la niche : un demi-cylindre droit à base circulaire s'y trouve raccordé par un quart de sphère ayant pour grand cercle le cercle de base du cylindre (fig. 65).

Un plan tangent à une surface développable raccorde cette surface pour la partie qui ne fait pas avec le plan un angle aigu.

Une portion de cylindre peut se raccorder par un cône ayant avec ce cylindre une génératrice rectiligne commune.

Dans les surfaces de révolution utilisées dans les arts> on emploie continuellement des surfaces qui se

raccordent suivant des parallèles communs à ces surfaces.

Ainsi dans les colonnes , certaines parties qu'on nomme doucines se raccordent avec la partie cylindrique de la colonne.

Tout en reconnaissant Timportance de ces sortes de raccordements y nous laissons au lecteur le soin de s'exercer sur des exemples de cette nature , parce qu'ils n'offrent aucune difficulté. Mais ce que nous voulons examiniBr principalement dans ce chapitre, c'est le raccordement des surfaces gauches.

2. Nous allons rappeler les définitions des diverses espèces de surfaces gauches , et nous énoncerons les théorèmes sur lesquels seront fondés les procédés employés pour les raccordements.

Le calcul et la géométrie pure servent à trouver ces démonstrations; nous employons ces résultats en géométrie descriptive et nous renvoyons aux traités de géométrie analytique spéciaux pour leur étude.

Nous suivons d'ailleurs Tordre des difficultés^ dans l'exposition de génération des surfaces. ,

1. Paraboloïde hyperbolique. On donne deux droites directrices A et B non situées dans le même plan et un plan directeur MN.

Une droite mobile située dans un plan parallèle au plan MN doit rencontrer les deux droites directrices.

La surface engendrée par la droite mobile est une surface gauche. C'est un paraboloïde hyperbolique.

Soient st, uvy xy trois génératrices du paraboloïde;

coupons ces trois droites par un plan PQ parallèle à la fois à la droite A et à la droite B, on démontre (qua« drilatère gauche) que les points d'intersection de ce plan sécant avec les trois génératrices sont en ligne droite, et par suite , que si Ton prend une seconde surface gauche ayant pour plan directeur un plan parallèle aux deux droites A et B, et pour droites directrices les droites œy et stj cette seconde surface gauche sera identique à la première, d'où cette conséquence :

En un point donné sur wti paraboloîde hyberbolique il y a toujours deux génératrices rectilignes y appartenant auco deux systèmes de génération.

D'où Ton déduit encore que, si l'on veut mener un plan tangent en un point du paraboloîde hyperbolique, il suffit de trouver les deux génératrices rectilignes qui passent par ce point et de tracer le plan de ces deuai droites.

On doit reconnaître immédiatement que deux génératrices d'un même système ne peuvent être dans le même plan , à moins que A et B ne soient ellesmêmes dans un même plan , ce qui est contraire à l'hypothèse.

Ainsi le plan tangent en un point d'un paraboloîde hyperbolique n'est pas tangent tout le long de cette génératrice, c'est-à-dire qu'il est en même temps tangent et sécant à la surface gauche.

On peut encore définir la surface gauche qui précède par cette condition, que les génératrices rectilignes s'appuient sur trois droites directrices qui ne sont

pas deux à deux situées dans le même plan , mais qui sont toutes les trois parallèles à un même plan.

IL Hyperboloïde a une nappe. On donne trois droites directrices A, B et G non situées deux à deux dans le même plan et avec cette condition, que la troisième n'est point parallèle à un plan parallèle aux deux premières.

Une ligne droite mobile doit s'appuyer sur les trois droites directrices; elle est donc définie pour chacun des points de la première droite; l'ensemble de ses positions constitue une surface gauche qui est V hyperboloïde à une nappe.

On démontre que si Ton prend trois génératrices a?y, uvy st de cette surface gauche et que ces trois droites servent de directrices à une nouvelle surface gauche, cette seconde coïncidera avec la première, d*où Ton conclut :

Qu'en un point d'un hyperboloïde à une nappe il y a toujours deux génératrices rectilignes; et par suite que pour mener un plan tangent à cette surface en un point, il suffit de trouvei^ les deux génératrices rectilignes qui passent par ce point.

Il faut remarquer aussi qu'un pareil plan tangent est sécant en même temps à la surface.

On voit encore que l'hyperboloïde à une nappe comprend comme cas particulier le paraboloïde hyperbolique.

III. GoNOïoEs. On nomme conoïde. une surface gauche à plan directeur auquel les génératrices doivent

ET RACCOftPKlUNT DES SURFAŒS. 109

être parallèles, cette surface ayant pour directrices une ligne droite et une courbe quelconque^ plane ou à double courbure.

Les conoïdes principaux ont pour directrice rectiligne une droite perpendiculaire au plan directeur , et généralement la courbe directrice est plane et située dans un plan perpendiculaire au plan directeur.

La génération des conoïdes est d'une très-grande simplicité, puisque les génératrices doivent être parallèles au plan directeur et rencontrer les directrices.

IV. Surfaces gauches a plan directeur et à directrices linéaires.

Les conoïdes ne sont que des surfaces particulières d'une classe de surfaces gauches dites à plan directeur.

Dans ces surfaces, les génératrices sont parallèles au plan directeur, et s'appuient sur deux courbes directrices planes ou à double courbure.

En sorte que pour avoir une génératrice, on coupe les directrices par un plan parallèle au plan directeur; puis on mène la droite qui joint les points d'intersection. On opère ainsi pour obtenir toutes les génératrices. Il est évident d'ailleurs qu'il peut y avoir plusieurs génératrices correspondant à un même plan sécant.

y. Surfaces gauches données par trois directrices COURBES.

Nous avons déjà donné la génération de ces sortes de surfaces gauches dans le chapitre ii , au problème de l'intersection de deux cônes.

200 SURFACES GACCHBS

Soient A, B et G les trois directrices courbes. D'un point M de A comme sommet , je conçois deux cônes ayant chacun pour directrice, le premier la courbe B, le second 1 a courbe G ; ces deux cônes se cou pen t généralement, et alors ils se coupent suivant une ou plusieurs génératrices : ce sont des génératrices de la surface gauche. 11 est évident que Tune ou deux des directrices peuvent être rectilignes.