ET DÉVELOPPEMENT DE CES SURFACES

ScoLiE GÉNÉRAL. Le locteuF devra, lui-même, s'exercer à construire cette surface et son développement, aussi bien que Tintersection de cette surface avec une autre surface quelconque; il devra toujours opérer, pour le cas général , en partageant la surface en éléments plans triangulaires, et en choisissant des surfaces cylindriques, coniques ou autres dont les données n'auront rien de symétrique *.

La géométrie descriptive résout ce problème pratique :

Etant donnée une sx^ face développable quelconque ^ en construire le développement.

Nous ne parlons pas ici des prétendus développements de la sphère, de Tellipsoïde ou du conoïde, etc.

Ces prétendus développements n'ont rien de commun avec les cléments plans des surfaces développables.

A part cette expression impropre , voici le procédé que l'on emploiera pour obtenir l'équivalent de la surface d'une surface courbe quelconque, opération qui n'est pas sans importance dans plusieurs circonstances :

On coupera la surface donnée par une série de plans parallèles entre eux et suffisamn^ent rapprochés. Ces plans donneront naissance à des espèces de zones à deux bases. On divisera l'une de ces bases en arcs égaux entre eux et assez petits pour qu'ils se con-

* La plupart des traités de géométrie descriptive ne considèrent les développements que d'une manière incomplète.

194 SURFâCSS déviloppablss, btc.

fondent sensiblement avec leurs cordes ; on partagera de même l'autre base en parties égales et à peu près en regard des parties de Tautre base.

On aura ainsi divisé la surface en quadrilatères gauches, et Ton remplacera chacun de ces quadrila* tères gauches par deux triangles au moyen d'une de ses diagonales.

L'ensemble de ces triangles formera deux séries dans chacune desquelles toutes les bases seront égales.

Si donc on veut évaluer les surfaces de chacune de ces séries de triangles, on fera la somme des hauteurs; et la somme de tous les triangles d'une série s'obtiendra en additionnant les hauteurs pour en former un triangle ayant cette somme pour hauteur, et ayant pour base la base commune.

Cette construction , quoique n'ayant aucun rapport avec les développements, n'est cependant pas à négliger, d'après la difficulté que l'analyse mathématique éprouve pour la quadrature des surfaces courbes.

Les anciens géomètres applicateurs, et le grand Newton lui-même, n'ont pas dédaigné de rechercher par une épure, des résultats trop difficiles à obtenir par le calcul mathématique.

On pourrait s'exercer sur le conoïde et sur le paraboloïde hyperbolique, dont les définitions se trouvent dans le chapitre suivant.