VII. Surfaces gauches engendrées par des nor

AfALES.

Il est un genre de surfaces gauches qu'il convient de noter.

Supposons une courbe quelconque tracée sur une surface courbe. Par chaque point de cette courbe» menons une normale à la surface : Tensemble de ces normales donnera généralement une surface gauche dont la définition est simple, et qui se présente souvent dans la coupe des pierres et dans la charpente » et généralement dans tous les arts de construction.

VIII. Héliçoïde gauche. Au chapitre des surfaces développablesy nous avons défini Thélice cylindrique.

11 semblerait inutile de traiter spécialement le genre de surfaces où Ton conçoit pour directrice d'une surface gauche une hélice cylindrique , les autres conditions rentrant dans une des générations précédentes; mais ce genre de surfaces est très-fréquemment employé. Il est bon d'étudier les cas particuliers les plus utiles.

Nous pouvons d'abord considérer une sorte de conoïde ayant pour plan directeur la base du cylindre sur lequel est située l'hélice directrice. L'axe du cylindre droit à base circulaire est la droite directrice.

C'est cette surface gauche qui est employée dans l'escalier.

L'héliçoïde gauche proprement dite est engendrée par une droite qui , s'appuyant sur l'hélice et rencontrant l'axe du cylindre, fait avec cet axe un angle constant.

202 sriFAOS GAUCHIS

Ces définitioiis posées, prenons des exemples de détermination des projections de plusieurs surfaces gauches.

HyperboUnde à une nappe (fig. 66, pi. 25).

Les trois directrices données sont (mn, m'n'), (pq, p'(/), {rs, l'd).

Je prends un point fj f sur RS de Tespace, et je veux trouver la génératrice recti ligne de la surface gauche pour ce point.

Suivant le procédé décrit , nous aurions des traces de plans à obtenir, en faisant passer un plan par F et MN d'une part, et par F et PQ deFautre; mais généralement les traces sortiraient des limites de Tépure.

On préfère employer la marche suivante : on fait passer un plan par F etMN, puis on prend Tintersection de ce plan avec la droite PQ. Ce point d'intersection étant uni au point F par une droite, on a obtenu la génératrice demandée.

Mais ici encore, pour simplifier les constructions, on prend des droites auxiliaires du premier plan , et l'on trouve les intersections de ces droites avec le plan projetant verticalement PQ. On obtient une projection horizontale hk qui vient couper p^' en i; , en sorte que la génératrice rectilîgne pour le point F est fxvy /*a?V.

C'est par ce procédé qu'on a trouvé les cinq génératrices de la figure.

Surface gauche à trois directrices courbes (fig. 67, pi. 25), Le procédé employé dans cette figure est le même

que celui qui est indiqué dans la construction de la surface à génératrices droites.

Les directrices sont MN, PQ, RS.

On prend un point F sur Tune des directrices MN, et Ton conçoit le cône qui a pour sommet ce point , et qui a pour directrice la seconde courbe PQ. On prend Tintersection de la troisième directrice RS avec ce cône : ce point ou ces points , joints avec le point F, donnent la génératrice FK ou ses analogues.

On a employé une courbe d'erreur pour la détermination du point K : c'est ce qu'on doit faire encore lorsqu'étant donnée une projection d'un point d'une surface gauche , on demande la seconde projection.

C'est par ce procédé qu'on a déterminé les génératrices rectilignes de la surface gauche à trois courbes directrices. Ces génératrices sont données par leurs projections.

On voit donc qu'il y a une grande importance à savoir trouver l'intersection d'une ligne courbe et d'une surface conique.

Nous verrons comment on trouve l'intersection d'une ligne courbe quelconque avec une surface gauche, ce qui complétera la question de l'intersection des lignes et des surfaces en général.

Conoïde à directrice droite perpendiculaire au plan directeur (figure 68, planche 25).

Le plan directeur est le plan horizontal de projection j la droite directrice perpendiculaire est A, a'6'j la courbe plane directrice est située dans un plan pa-

rallèle au plan vertical de projection , et les projections de cette courbe directrice sont MN, parallèle à la

ligne de terre , et le cercle m'jil^n'.

Trouvons les projections d'une génératrice. Pour cela , coupons les deux directrices par un plan horizontal dont la trace verticale sera XY parallèle à la ligne de terre.

XY coupe m'fl...n' en f et en sf* La projection /* correspond à la projection horizontale f de MN, wfp'n'. gf a pour correspondant le point g de MN.

Donc les projections horizontales des deux génératrices déterminées sont Af et A^. Les projections verticales des génératrices correspondantes sont confondues avec la droite XY, puisqu'elles sont parallèles au plan horizontal.

D'ailleurs ces génératrices rencontrent la directrice verticale en un point dont les projections sont A et f'.

C'est en opérant de la même manière qu'on a obtenu les projections situées dans la figure 67.

ScoLiE. Pour compléter l'explication de cette figure, nous considérons l'intersection de cette surface gauche avec le plan vertical.

Ce qu'on dira pour cette intersection s'appliquerait au cas où le plan sécant serait quelconque.

Ayant pris la génératrice r'/^, Af; cherchons sa trace verticale ky K; puis opérons de la même manière pour les traces verticales de toutes les génératrices que nous avons obtenues. Nous aurons ainsi une suite de points de cette trace verticale du conoïde. Les points

étant assez rapprochés les uns des autres, on les unira par un trait continu , et Ton obtiendra la courbe EKCD0T...SUZW1.

Comme on devait le prévoir, Tintersection d'un conoïde avec un plan est obtenue par les intersections avec ce plan d'un nombre suffisant de génératrices rectilignes du conolde.

Nous appelons Tattention du lecteur sur ce problème.

Étant donnée une projection d'un point d'un conoïde à plan directeur quelconque, trouver* la seconde projection.

La solution dépend de cet autre problème :

Trouver l'intersection d'un plan et d'un conoïde quelconque.

Ce problème trouvera sa solution plus loin.

THÉORÈME SUR LB RACœRDEMENT DES SURFACES GAUCHES.

Supposons trois courbes A, B, C données, servant de directrices à une première surface gauche (fig. 65).

Supposons trois autres courbes M, N, P servant de directrices à une seconde surface gauche qui contient la génératrice œ^y^Zy commune à la première, avec ces conditions , que les courbes A et M ont même tangente au point x ; les courbes B et N même tangente commune au point y ; les courbes C et P même tangente commune au point z.

On veut démontrer que les deux surfaces gauches don^ nées ont les mêmes plans tangents à chaque point de la gé-

i06 SURFACES GAUCHES

nérairice commune, et par conséquent que les surfaces se raccordent suivant cette génératrice.

Aux points Xf y, z on peut substituer aux courbes directrices les éléments communs , c'est-à-dire les tangentes. C'est donc la même surface identiquement pour les trois éléments tangents dans les limites de ces éléments communs; et puisque c'est la même surface, comment imaginer que les points tangents en tous les points de la génératrice commune puissent être différents? Ce principe est donc évident de lui-même*.

* Voiei comment M. Leroy donne une démonstralion de ce théorème (la figure est analogue à celle de la planche 25, en sorte que nous ne la traçons pas) :

« Si deux surfaces gauches ont une génératrice commune G , et que « dans trois points M,M\ M" de cette droite, les plans tangents soient « communs à Tune et à l'autre surface , elles se toucheront aussi dans « tous les autres points de cette génératrice.

« Puisqu'en M les deux surfaces ont un plan tangent commun , et qu'il « en est de même en M' et en M", trois plans menés par ces points , cou> « peronl la surface S suivant des courbes Â, B, G, tangentes respective- « ment aux sections A', B^, G' dans S'. Alors en regardant Â, B, G comme « les directrices de S, et A', B\ G' comme celles de S', la question sera

< ramenée à démontrer que ces deux surfaces gauclies ont ainsi leurs trois « directrices respectivement tangentes ; les sections faites dans ces sur-

< faces par un quatrième point quelconque M'^ de la même génératrice « sont aussi tangentes entre elles.

« Pour démontrer cette dernière proposition , je fais glisser la généra- « trice G sur les trois directrices A , B , G , et |e l'amène dans une position « infîniinent voisine g; alors cette dernière droite n'aura pas cessé d'être à « la fois sur les surfaces S et S', parce que ces courbes directrices , qui , « i>ar hypothèse, sont tangentes les unes aux autres, ont de commun les « éléments MP, M'P', M^P^; donc les droites G et g y et à plus forte raison « toutes les positions intermédiaires de la génératrice sont communes « aux deux surfaces S et S\ Alors si , par un quatrième point quelconque « M'^' de la droite G, je mène un plan sécant arbitraire, il coupera les « surfaces S et S' suivant deux courbes D et t)'; qui passeront nécessaire-

ET RàCGORDSMKNT DIS SURFACES. 207

Ainsi le raccoi^ement des surfaces gauches suivant une génératrice commune est parfaitement défini.

D'autre part, nous voyons que pour mener un plan tangent à une surface gauche en un point donné d'une génératrice, on peut remplacer la surface gauche donnée par ses trois directrices, par une autre surface gauche qui se raccorde avec la première, et spécialement par une surface gauche à directrices rectilignes; par exemple, un hyperboloïde à une nappe, ou bien encore ce dernier par un paraboloïde hyperbolique, ce qui simplifie singulièrement la question.

Mais toutes ces considérations deviendront plus claires quand nous aurons examiné les intersections des surfaces gauches.

INTERSECTIONS DES SURFACES GAUCHES PAR D* AUTRES SURFACES OU PAR DES LIGNES.

Trouver V intersection d*une surface gauche par un

plan.

On trouve l'intersection avec le plan d'un nombre suffisant de génératrices rectilignes de la surface gauche, et on réunit ces points par un trait continu.

Nous voyons l'importance de ce problème, qui

« menl par les points M'^ et P^, où ce plan rencontre les droites G et g ; « donc les courbes D et D' auront de commun rélémenl Af^P^', ainsi elles « se toucheront suivant cet élément , ou bien elles auront la même tan- « génie M'^. Par conséquent les plans tangents de S et S' au point M'^' «coïncideront Tun avec Tautre» puisque chacun devra passer sur l6S t droites M-'G et W^, .

208 SURFACES GALCHES

consiste à troaver rintersectioD d'une droite et d'un plan. La solution générale donnée dans le premier chapitre peut ne pas convenir pour toutes les données, à cause des limites de Tépure : c'est alors qu'il faut varier les moyens de solution, et c'est pour cela qu'on doit varier les données de ce problème aussi complètement que possible.

Trouver une droite qui s'appuie sur quatre droites données.

Soient A y B, G, D les quatre droites données, qui deux à deux ne sont pas dans le même plan. Je prends les trois premières droites comme directrices d'une surface gauche, et je cherche l'intersection de cette surface gauche avec la quatrième droite. Le point ou les points obtenus donnent la position d'une génératrice de la surface gauche, qui s'appuie sur les trois premières droites en même temps que sur la quatrième.

Mais le problème dépendait de la recherche de l'intersection d'une ligne droite avec une surface gauche. Ce problème se réduit à chercher l'intersection d'un plan qui passe par la droite donnée, avec la surface gauche donnée.

Le problème n'est point compliqué en théorie. Les constructions peuvent être laborieuses, mais elles n'offrent d'autres difficultés que celles qui sont prévues dans le premier chapitre.

ScoLiE, Ainsi se trouve résolue la question que nous

BT aAOOORDIMINT DBS SURFACBS. 209

avons déjà indiquée y et qui consiste à trouver la seconde projection d*un point d'une surface gauche donnée f la première projection étant déjà connue.

En effet, par la projection donnée, on mène un plan perpendiculaire au plan de projection de même nom : on trouve Tintersection de ce plan avec la surface gauche, et par suite la seconde projection ou les autres projections du point donné.

PROBLÈME m.

Trouver ^intersection d'une surface gauche et d'un cy^ lindre.

La solution qui se présente consiste à employer des plans sécants auxiliaires parallèles aui génératrices du cylindre.

L'un de ces plans coupe le cylindre suivant des génératrices, et la surface gauche suivant une ligne courbe. Les points communs à ces génératrices et à la ligne auxiliaire donneront des points de Tintersection cherchée.

Mais dans certains cas, on peut employer des plans auxiliaires particuliers, par exemple dans Tintersection de la surface gauche de révolution avec un cy* lindre.

Dans ce cas, on peut prendre pour plans auxiliaires des plans perpendiculaires à Taxe de la surface gauche : ces plans donneront pour courbes auxiliaires avec la surface gauche des circonférences de cercle, et avec le cylindre une courbe quelconque plane que

810 SURFACES GAUCaiS

l'oD pourra rabattre^ ei cela est nécessaire, sur Tun des plans de projection.

Nous proposerons, pour exercice, Tintersection d'une surface gauche de révolution , dont Taxe est vertical , avec un cylindre oblique à directrice circulaire placée sur le plan horizontal de projection.

ScoLiE I. Une application fort importante de ce pro* blême, est relative à la recherche de Tombre portée par un corps sur un héliçoïde gauche, sur une vis, et généralement sur une surface gauche quelconque, pour un point éclairant situé à Tinfini (voy. au chapitre suivant).

Sgolie il C'est encore au moyen de ce problème qu'on peut résoudre cette autre question, que nous avons déjà examinée :

Trouver les points de remontre d'une ligne courbe avec une surface gauche.

La projection horizontale de la courbe détermine un cylindre droit projetant la courbe donnée. L'intersection de ce cylindre projetant avec la surface gauche, se projettera verticalement suivant une ligne qui, par ses intersections avec la projection verticale de la courbe donnée , fera trouver les points cherchés.

Il est bien entendu que. la solution qui précède devra être modifiée suivant les cas particuliers qui peu* vent se présenter.

ScoLiE 111. Nous pouvons résoudre cette question :

Trouver une droite qui s'appuie sur quatre courbes données.

La solution suppose la construction d'une surface gauche ayant les trois premières courbes pour directrices , et Tintersection de cette surface gauche avec la quatrième courbe donnée.

Il est évident y en effet, que le point d'intersection de la quatrième courbe avec la surface gauche auxiliaire donne la solution : car la génératrice rectiligne de la surface gauche qui passe par ce point s'appuie sur les trois autres courbes données : c'est donc la droite cherchée.

On voit y d'ailleurs y qu'il peut y avoir plusieurs solutions : car une ligne courbe peut rencontrer une surface gauche en un grand nombre de points.

Trouver V intersection d'une surface conique et d'une surface gauche.

On mène par le sommet du cône des plans sécants auxiliaires; les intersections de chacun de ces plans auxiliaires avec le cône et avec la surface gauche don-^ nent des lignes dont les points de rencontre sont des points demandés. Ces plans auxiliaires^ passant par' le sommet du cône^ coupent cette surface suivant des lignes droites, en sorte que le problème ne présente aucune difficulté théorique*

La longueur des constructions n'est pas à considérer dans ces problèmes , à cause de l'importance de

212 SURFACES GADCHfiS

leurs Bolutions dans la coupe des pierres , la charpente et la mécanique. On s'habitue trop ^ dans renseignement scientifique y à ne considérer les questions que sous le rapport des eiamens de candidats ou des expériences de cabinet. On ne doit pas oublier qu'une journée de travail d'un géomètre, pour faire une épure, peut produire l'économie de cent journées de travail matériel d'ouvriers constructeurs.

ScoLiE I. Nous ferons la même observation que pour le problème précédent. Il peut être plus utile d'employer, dans certains cas, d'autres plans auxiliaires que des plans passant par le sommet. Par exemple, si l'on demande l'intersection d'un cône avec la surface gauche de révolution, il sera plus utile d'employer des plans auxiliaires perpendiculaires à l'axe de la surface gauche*.

ScoLiE II. On trouve une application importante de ce problème dans la recherche de l'ombre portée sur une surface gauche par un corps éclairé par un point unique.

Trouver Vinierseciion d'une surface de révolution et d'une surface gauche.

Le choix des plans auxiliaires est naturellement indiqué. On prendra ces plans perpendiculaires à l'axe delà surface de révolution, qui donnent des parallè-

* Presque tous les auteurs supposent donnée la trace horixontale du cAne ou du cylindre, ce qui n'a pas lieu dans les ombres, la perspective, etc.

les de la surface de révolution; on cherchera les intersections de ces plans sécants avec la surface gauche donnée y et le résultat s'obtiendra comme dans les problèmes qui précèdent.

C'est ainsi qu'on opère pour trouver l'intersection d'un conoïde avec un tore , problème qui trouve son application dans l'architecture monumentale.

ScoLiE. Quand on a construit un certain nombre de génératrices rectilignes d'une surface gauche y on peut se servir de ces génératrices pour trouver directement l'intersection de chacune d'elles avec l'autre surface donnée, solution qui s'applique à tous les cas précédents , et qui est fort simple. Au reste , l'habitude seule donne les moyens les plus convenables à employer pour chaque disposition particulière des données du problème.

Trouver Vinterseclion de deux surfaces gauches entre elles.

On construit des génératrices rectilignes de la première surface, et l'on cherche la rencontre de chacune d'elles avec la seconde surface gauche , par les procédés indiqués dans le problème L Cela revient toujours à chercher l'intersection d'un plan et d'une surface gauche, et mieux encore, l'intersection d'une droite avec un plan , problème véritablement fondamental de la géométrie descriptive, comme nous l'avons fait remarquer dans plusieurs circonstances.

Trouver rintersection de trois surfaces quelconques.

On prend Tintersection des deux premières , et Ton cherche les points de rencontre de la ligne obtenue avec la troisième surface.

ScoLiE. Nous n'avons point voulu considérer, dans cet ouvrage, des surfaces qui ne rentraient point dans Tune des grandes divisions généralement adoptées, et qui servent surtout dans les applications, parce que, pour quelques-unes, il est indispensable d'admettre certains résultats de l'analyse algébrique, ce qjai n'est pas nécessaire pour toutes les surfaces que nous avons considérées.

C'est ainsi que nous n'avons pas compris, dans nos problèmes, les plaps tangents à un ellipsoïde à trois axes inégaux, ainsi que le cône tangent à cette surface.

Les modifications apportées au plan de cet ouvrage nous ont fait supprimer un chapitre intitulé : Théorhnes généraux empruntés à l'analyse sur les principales propriétés graphiques des surfaces les plus employées dans les arts. Ainsi on n'a pas traité les sections rectilignes ni les sections circulaires, dans les surfaces du second degré autres que les surfaces de révolution, les mêmes sections dans d'autres surfaces courbes, et enfin les courbes planes résultant des intersections des surfaces quelconques.

Remarquons cependant que l'on peut ramener toutes les constructions à faire sur l'ellipsoïde à trois

ET RAGOQRDXlfBNT DES SURFACES. 215

axes inégaux, sur le paraboloïde et Thyperboloïde quelconque^ à des constructions semblables faites sur rellipsoïde, le paraboloïde et Thyperboloïde de révolution. En effet , il suffira de comprimer ou de dilater Tune des dimensions principales de la surface considérée pour la ramener à être de révolution.

Ainsi Tellipsoïde à trois axes inégaux deviendra un ellipsoïde de révolution et même ultérieurement une sphère, et après qu'on lui aura mené un plan ou un cône tangent, une transformation inverse donnera le plan ou le cône tangent à la surface primitive. C'est une méthode analogue à la méthode de dilatation ou de contraction de Tellipse qui devient uil cercle par dilatation, ou réciproquement, d*un cercle qui devient une ellipse par contraction.

Par un point donné sur un paraboloïde hyperbolique, mener un plan tangent à cette surface gauche.

Nous savons qu'il existe en chaque point d'un paraboloïde hyperbolique deux génératrices rectilignes. Le plan tangent en un point contient ces deux génératrices rectilignes, et par conséquent, le problème peut être considéré comme résolu. C'est, d'ailleurs, le plus simple qu'on puisse se proposer sur les surfaces gauches, puisque cette surface a un plan directeur pour un premier système de génératrices, et un second plan directeur pour le second système de génératrices.

Mener un plan tangent à un hyperboldde à une nappe par un point de sa surface.

On prendra les deux génératrices rectilignes de la surface passant par le point donné, et le plan de ces deux génératrices sera le plan tangent cherché.

On peut substituer, au moyen du principe de raccordement des surfaces gauches , un paraboloïde hyperbolique à Thyperboloïde aune nappe, dans la recherche du plan tangent à cette dernière surface en un de ses points.

En effet, soient A, B, C les trois directrices recti^ lignes de Thyperboloïde à une nappe donné. Soit XYZ la génératrice rectiligne de la surface passant par le point M. Le point X est sur la droite A , Y est sur B , Z est sur C. On prend le plan qui passe par C et par la génératrice XYZ; puis on mène par le point Z un plan parallèle aux deux droites A et B, et Ton eherche la droite d'intersection des deux plans conduits; soit F cette intersection. Il est évident que Thyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique qui a pour directrices les droites A, B et F se raccordent; et, par suite, on voit que pour mener le plan tangent au point M à la surface gauche donnée,, on est con* duit à mener un plan tangent à un paraboloïde hyperbolique.

ScoLiE. On peut substituer à un hyperboloïde à uae nappeim autre hyperboloïde à une nappe se raccordant avec le premier; et même on peut en substituer une

BT lAGGORDBmrr ras soifacis. S17

infinité 6e raccordant 8ur une même génératrice. En effet I en prenant les mêmes données que dans ce problème, nous pouvons considérer comme construits les plans tangents à Thyperboloïde donné en X, en Y et en Z. 11 est évident que si je prends une droite dans chacun des plans tangents passant par le point de contact, et si je considère ces trois nouvelles droites comme les directrices d*une surface gauche, elle se raccordera avec la première; or on peut varier le choix des droites à volonté; donc il y a une infinité de surfaces gauches se raccordant avec la première, suivant la génératrice XYZ.

Mener un plan tangent à un conoïde par un point pris sur sa surface.

On mène par le point donné la génératrice rectili* gne ; puis on considère le parabololde hyperbolique , qui aurait pour plan directeur le plan directeur du conoïde, et qui aurait pour directrices rectilignes la directrice rectiligne du conoïde et la tangente à la courbe directrice menée par le point de cette courbe situé sur la génératrice rectiligne qui passe par le point donné : le problème est donc ramené au problème YIll ci-dessus.

Mener un plan tangent à une surface gauche donnée par trois directrices courbes ^ par un point pris sur cette surface gauche.

Par le point donné, on mène la génératrice rectili-

218 SURFACE OAUCEBS

gne, et Ton prend les points où cette génératrice s'appuie sur les trois courbes. En chacun de ces trois points des directrices, on mène des tangentes à ces courbes : on obtient ainsi trois droites qui peuvent servir à construire un hyperboloïde à une nappe se raccordant avec la surface gauche donnée. Le plan tangent à Phyperboloïde auxiliaire est le plmi tangent cherché. Le problème est donc ramené au problème IX et,. si Ton veut, au problème YIII, puisque Ton peut substituer un paraboloïde hyperbolique à un hyperboloïde à une nappe.

ScoLiE L Dans la pratique, on modifie les construc^ tiens de cette manière : on conduit des génératrices voisines de la génératrice donnée , aux points où cette génératrice s'appuie sur les courbes directrices; et en chacun de ces points on coupe ces génératrices par un plan : on obtient ainsi trois courbes planes que Ton substitue aux directrices données.

ScoLiE IL Si une surface est directrice d'une sur^ face gauche,, on substitue à la tangente à la courbe directrice du problème XI un plan tangent à la surface directrice, au point où s'appuie la génératrice qui passe parle point donné de la surface gauche.

Sans entrer dans des détails sur les surfaces gauches ayant trois surfaces pour directrices, nous rappelons qu'il existe de pareilles surfaces dont la construction offre une certaine complication.

Mener une tangente à une courbe d'intersection d'une surface gauche et d'une autre surface en un point de cette intersection.

La solution a été déjà indiquée dans les généralités relatives aux plans tangents aux surfaces et aux tangentes aux courbes.

On mènera les plans tangents aux deux surfaces par le point donné : Tintersection de ces deux plans sera la tangente cherchée.

PROBLÈME Xill.

Mener en un point d'une surface gauche une normale à cette surface.

On mène le plan tangent à la surface gauche en ce point y et par ce point on élève une perpendiculaire à ce plan tangent.

On a vu trop d'exemples de ces problèmes, sur la ligne droite et le plan, pour avoir besoin de figures sur lesquelles on ait à expliquer les constructions à effectuer pour la solution de ces sortes de questions.

Dans la coupe des pierres et la charpente; on a continuellement à employer ce problème : dans la coupe des pierres, pour les joints des voussoirs de voûtes biaises I d'escaliers, etc.; dans la charpente, pour des assemblages de pièces courbes et gauches.

930 SUIPACIS GAUCHIS, BTC.

PROBLÈME XIY.

Une courte à double courbure ABGD étant donnée par ses projections, mener une tangente à cette courbe en F un de ses points G.

Voici la solution donnée par le géomètre Hachette :

Soient M et P deux droites prises à volonté. On considère une surface gauche ayant pour directrices : V les droites M et P; 2"* la courbe donnée.

Soient, en second lieu, deux nouvelles droites X et T, qui, avec la courbe donnée, définissent une seconde surface gauche.

On mènera au point G un plan tangent à chacune des surfaces gauches, et Ton prendra Tintersection de ces deux plans tangents : cette intersection est la tangente demandée.

Nota. On se contentera de mener, pour les constructions planes, deux tangentes aux projections de la courbe. Ces tangentes seront les projections de la tangente à la courbe à double courbure.