CHAPITRE VI

Dans la théorie des ombres, on considère un point lumineux comme un centre d'où partent une infinité de lignes droites géométriques que Ton nomme rayons lumineux.

Si Ton considère un corps solide et opaque placé d'une manière quelconque par rapport au centre de lumière ou point rayonnant, tous les points de Tespace qui pourraient être joints à ce point par une ligne droite qui ne rencontre pas le corps opaque seront éclairés, tandis que tous les autres points de Tespace qui, dans le trajet rectiligne du centre à ce point , rencontreraient le corps solide, seront privés de lumière et par suite seront dans ce qu'on nomme Vombre par rapport à ce point éclairant.

La limite qui séparera Tombre de la lumière sera donc une surface conique dont chaque génératrice s'appuiera sur le corps opaque.

L'intersection de ce cône avec un plan ou avec une surface quelccmque est la limite de Tombre portée et donne, sur le plan ou la surface, la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

La question physique ainsi définie géométriquement rentre dans le domaine de la géométrie descrip-

22â OMBRES.

tive; il n'y a donc àan» ce problème aucune difficulté nouvelle y mais plusieurs des résultats de ce problème ayant de l'importance dans les arts du dessin , comme dans Tastronomie et même dans les mathématiques pures où le grand Newton n'a pas dédaigné d'examiner la génération 4es courbes par les ombres, nous ferons connaître l'ensemble des procédés graphiques qui se rattachent à ce problème général.

S'il est un cas où la véritable marche des rayons lumineux diffère de la direction rectiligne rigoureuse que tout le monde attribue aux rayons lumineux, c'est évidemment le cas des rayons de lumière émanés (Tun seul et même point et qui viennent raser la surface des corps. Une portion sensible de la lumière s'infléchit toujours dans V ombre quand un rayon est isolé et constitue cette propriété physique de la lumière qu'on appelle la diffraction.

Les théories modernes de l'optique en ont donné lôs lois physiques et l'explication théorique, en même temps qu'elles ont fait reconnaître que c'est pour ainsi dire la plus générale des propriétés des rayons lumineux.

Ainsi l'on trouve, par l'expérience comme par le calcul, que la pointe d*uiiè aiguille porte une ombre bifurquée, que la terminaison rectangulaire d'une équerre produit une ombre émoussêe et accompagnée dé franges courbes; que l'ombre d'un cheveu, indépendamment de son amplification , contient dans son milieu et dans toute sa longueur une ligne blanche et notablement éclairée; que l'ombre d'un petit disque

OMEBK. 2S3

porte à son ceatre un point lumineux comme si le disque était percé; enfin que toutes les extrémités des ombres des corps éclairés par un point lumineux unique sont bordées, dans la partie briltanie qui avoisine Tombre, de lroi$ franges brillantes et colorées, inégales en largeur et qui en suivent exactement les contours.

Dans le problème des ombres, on néglige ces détails physiques trop précis du phénomène , et Ton considère ce qu'on appelle l'ombre géométrique , telle que nous l'avons définie ci^dessus, comme limitée par les lignes droites qui partent du point lumineux rencontrant ou ne rencontrant pas l'obstacle.

L'ombre peut encore être produite par des rayons lumineux parallèles entre eux et à une direction donnée > ce qui revient à placer le point rayonnante l'infini. Alors, au lieu d'un cône rasant les extrémités du corps opaque, c'est un cylindre jouissant de la même propriété. On considère de même, d'une manière tout à fait idéale, l'ombre d'une ligne comme produite par le cône ou le cylindre auquel cette ligne servirait de directrice.

De même l'ombre portée par un point sur une surface sera l'intersection avec la surface du rayon lumineux mené par ce point, lequel n'est autre que la droite qui joint le point obstacle au point lumineux.

La plus importante de toutes les constructions est la détermination de l'ombre portée par un point sur une surface courbe ou plane, d'après les données graphiques qui définissent cette surface dans le cas

2i4 omass.

spécial qui se présente; c'est du reste ce cas général de rintersection d'une droite et d'une surface qui admet souvent d'élégantes simplifications.

L'ombre d'une ligne sera donnée par les ombres d'une quantité suflQsante de ses points que l'on joindra ensuite par un trait continu.

L'ombre d'une ligne droite sur un plan est la ligne droite qui joint les ombres de ses deux points extrêmes. L'ombre d'un polyèdre sur un plan sera limitée par l'ombre de toutes ses arêtes saillantes par rapport à l'espace intérieur que comprennent les rayons qui viennent raser ce polyèdre. Si la surface sur laquelle l'ombre du polyèdre est portée est une surface courbe, les ombres des arêtes ne seront plus généralement des lignes droites; elles résulteront des intersections des plans qui passent par les points lumineux et par chaque arête avec la surface courbe^

Trouver Vombre portée par un corps polyédrique sur un toit en talus donné par sa trace horizontale et sa pente*

Trouver Vombre portée par un gnomon sur un mur vertical ou incliné *, pour une position particul^e du soleiL

* Le gnomon est une plaque métallique peu épaisse percée d*un trou» qui permel le passage aux rayons du soleil. La série des points que ces rayons illuminent dans un ]our sur un plan horizontal est une hyperbole, intersection d'un cône avec un plan , à moins qu'on ne soit par des latitudes où le soleil ne se couche pas; car alors rintersection du c6ne par le plan serait une ellipse.

OMBBSS. 225

PROBLÈME lil.

Trouver l'ombre d'une tige parallèle à l'axe du monde dite en gnomonique style du cadran^ avec un plan vertical ou horizontal quelconque dans une position donnée du soleil.

Trouver V ombre portée sur le plan horizontal de pro^ jection et sur le plan vertical, par un cylindre droit à base circulaire, limitée par un plan parallèle à la base.

PROBLÈME V (planche 27, fig. 71).

Trouver Vombre portée dans la niche cylindrique et sphériquej les rayons lumineux étant parallèles entre eux.

On nomme particulièrement niche un demi-cylindre droit à base circulaire, raccordé par un quart de sphère dont le rayon est égal à celui de la base du cylindre.

11 y a des niches de formes variées, et c'est un problème assez intéressant à étudier que celui de la recherche de l'ombre d'une niche quelconque.

Les principes que nous allons exposer peuvent servir, en ce qu'ils ont de généraux, à tous les cas.

Dans la figure 71 , la base horizontale de la niche est le demi-cercle qui a pour rayon cb, et qui se projette sur le plan horizontal en véritable grandeur; la projection verticale est a'6' parallèle à la ligne de terre.

Le demi-cylindre droit est terminé par le plan horizontal qui a pour trace verticale la parallèle (ff* à la ligne de terrç. Les génératrices limites du cylindre ont

2i6 OMBIES.

pour projections vwticales les droites dâ^ Vf perpendiculaires à la ligne de terre.

Le quart de sphère qui raccorde le demi-cylindre et qui termine la niche à la partie supérieure ^ est repré* sente sur Tépure : 1 * par sa base horizontale , demigrand cercle qui se projette horizontalement sur ce demi-cercle abnim , et verticalement suivant dldf ; 2* par le demi-grand cercle vertical dt^f parallèle à la demi-circonférence verticale qui a pour projection horizontale ah.

Nous avons pris un filet droit entourant le bord de la niche et faisant saillie sur le mur vertical , dont la trace horizontale est XY.

Les rayons de lumière sont parallèles au rayon donné par ses projections rsy f^s/; les rayons qui s'appuient sur Tarète droite a, dâ forment un plan vertical^ et ceux qui s'appuient sur Tarète circulaire ah j d^f forment une surface cylindrique à directrice circulaire.

Ce plan et ce cylindre produisent, sur la surface intérieure de la niche , une* ligne d'intersection qui est la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

C'est cette ligne de séparation d'ombre et de lumière que nous allons déterminer. Le plan vertical , parallèle aux rayons lumineux et passant par a ; dd^ vient rencontrer la surface cylindrique de la niche en t, i^y déterminée par la droite af parallèle à la projection horizontale rs du rayon lumineux, et par d'p' parallèle à i^é. Le point i est sur la circonférence de base amin.

Le cylindre oblique déterminé par les rayons qui

s'appuient sur la demi-circonférence, rencontre dans la niche deux parties distinctes : le cylindre droit de cette niche et la partie sphérique.

Soit A, hl un point de la directrice du cylindre oblique, hky h'fd une génératrice de ce cylindre. Le point k appartient à la circonférence amnb ; H est la projection verticale du point de rencontre du rayon lumineux choisi avec la niche.

Le point k^ //est un point de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la partie cylindrique. On obtiendra de ces points autant qu'on le jugera nécessaire pour que la courbe soit suffisamment indiquée.

La détermination du point de cette courbe, situé sur la demi-circonférence commune au cylindre et à la sphère de la niche , est un problème qui peut s'énoncer ainsi :

Trouver la position d'une ligne droite parallHe à une ligne donnée^ et qui s'appuie sur deux circonférences de grand cercle placées rectangulairement sur une sphère donnée.

Ce problème est réduit à un problème connu. C'est ainsi qu'on trouve le point o , cf. Mais on peut le déterminer encore d'une autre manière, en cherchant l'ombre portée sur lâ partie sphérique de la niche.

D'abord, menons d^ perpendiculaire à r^sf : le point ^ est évidemment le point où le rayon lumineux parallèle à rV est tangent à la circonférence (Pgff^. Pour les autres points de la courbe d'intersection cherchée, ils s'obtiennent au moyen de sections faites sur la sphère par des plans auxiliaires parallèles au

rayon lumiDCUx, c'est-à-dire aux génératrices du cylindre oblique.

Ces plans sécants auxiliaires donnent des cercles de la sphère. En rabattant Tun de ces cercles sur le plan vertical autour d'une parallèle à la trace verticale du plan sécant auxiliaire^ on aura le point de rencontre de la génératrice du cylindre oblique avec la sphère.

Pour ne point embarrasser Tépure, on transporte ces sections parallèlement à elles-mêmes, et d'une manière uniforme y sur un plan de projection auxiliaire dont la ligne de terre est VZ. C'est un véritable changement de plan de projection. C'est ainsi qu'on aura, sur ce nouveau plan de projection, le rayon lumineux en r^,. Le centre de la sphère est placé en c„ et la projection des rayons lumineux s'appuie sur VZ parallèle à r^,. C'est de cette manière qu'on a obtenu le point de la ligne de séparation u', au nu)yen des rayons menés en é et e,.

Au reste, les constructions de la figure s'expliquent d'elles-mêmes.

L'intersection du cylindre oblique avec la sphère est un grand cercle , en sorte que la projection verticale de cette intersection est une ellipse : on peut donc encore obtenir le point d par un procédé plus simple.

En effet , ce point d sera l'intersection de la circonférence du grand cercle horizontal avec la circonférence du grand cercle passant par le point ^ et un point déterminé de cette circonférence, U par exemple.

La figure porte des rabattements qui donnent les positions d'autant de points qu'on le veut de Tombre portée sur la partie sphérique de la niche.

Passons, pour compléter Texplication de Tépure, à la ilétermination de Tombre portée par le filet rectangulaire qui entoure la niche y sur le mur Tertical.

Déterminons aussi Tombre portée par la tablette saillante horizontale sur le mur en saillie qui sert de socle au mur principal.

La première détermination résulte, pour la ligne de séparation d'ombre et de lumière, de l'intersection d'un plan vertical avec un plan vertical; ce qui donne une droite verticale, puis de l'intersection d'un cylindre oblique à base circulaire avec un plan parallèle à cette base : c'est ainsi qu'on a trouvé la partie circu* laire de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le mur principal.

Le reste est déterminé par l'intersection , avec un plan , de trois plans , l'un vertical et deux autres conduits par des droites horizontales parallèlement aux rayons lumineux.

Il y a un quatrième plan à conduire pour obtenir l'ombre de ce socle rectangulaire ; mais on peut s'en passer.

ScoLiE. Une niche peut être placée dans une pièce circulaire ou polygonale éclairée par une ouverture circulaire, elliptique ou polygonale. Il est intéressant de connaître la position de l'ombre dans la niche pour toutes les complications qui se présentent alors.

PROBLÈME VI (planche 27, figure 72).

Trouver l'ombre portée sur le plan horizontal de projection par une sphère éclairée par des rayons parallèles entre euœ.

La sphère est donnée par les projections c, d de son centre, et par les deux grands cercles décrits avec le rayon cd pour la projection horizontale , et le rayon égal dd pour la projection verticale : ces rayons choisis sont parallèles à la ligne de terre.

La direction des rayons lumineux parallèles est donnée par la droite rs , r'sf.

Nous avons expliqué, dans les généralités, comment le problème général conduisait à circonscrire un cylindre à la sphère parallèlement aux rayons lumineux, la courbe de contact étant la ligne de séparatioû d'ombre et de lumière. C'est, d'ailleurs, ce que nous avons expliqué au problème XXIII du troisième chapitre pour le cylindre tangent à une surface de révolution.

L'ombre portée sur le plan horizontal est limitée par l'intersection du cylindre circonscrit avec ce plan horizontal.

Trouvons d'abord la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la sphère. Nous savons à l'avance que c'est une circonférence de grand cercle de la sphère, dont le plan est perpendiculaire aux rayons lumineux.

Cette circonférence est donc connue par son centre, par son plan et par son rayon. Au moyen des rabat* tements, on pourra tracer autant de points qu'on voudra de la projection horizontale et de la projection verticale de cette circonférence. -

Au reste , cette construction est facile par le procédé suivant^ qui est un véritable changement du plan de projection :

Par la droite rs, on mène un plan vertical parallèle aux rayons lumineux, et Ton prend ce plan pour nouveau plan vertical de projection. Dans ce nouveau plan y la circonférence de séparation d*ombre et de lumière sera représentée par un diamètre perpendiculaire aux rayons lumineux; par suite, on aura autant de points qu'on le voudra de la projection horizontale de cette circonférence, et enfin, en revenant au premier plan vertical de projection , on trouvera la projection verticale de la circonférence indiquée.

Ainsi rs est la nouvelle ligne de terre. La nouvelle projection verticale de la sphère est décrite du point c,, pris à une distance de rs égale à la hauteur du centre au-dessus du plan horizontal, c et c, étant sur une droite perpendiculaire à la ligne rs.

H étant la trace horizontale du rayon lumineux n, r's'; un point e, e' de ce rayon étant choisi , le rabattement de ce rayon sera Ri, E^, H; ce sera en même temps la projection verticale nouvelle du rayon lumineux.

Menons c/* parallèle à rs : c'est sur cette ligne que se projettera le petit axe de Tellipse horizontale.

Du point c,, abaissons c^, perpendiculaire à R^H^, et nous aurons la trace verticale nouvelle du plan de la circonférence de séparation d'ombre et de lumière. Le diamètre gjc^, projeté sur cf, donne gk, qui est le

petit axe de Tellipse horizontale ^ projection de la séparation d'ombre et de lumière sur la sphère.

En même temps ^ nous trouvons les extrémités de Tombre portée sur le plan horizontal. Ces points sont donnes par les traces des rayons lumineux menés par les points G et K de Tespace, et en projection par les points g^ et k^ y extrémités du diamètre du cercle projeté sur le plan vertical nouveau. Les points m' et ni servent à déterminer les points M et N , situés sur la droite ef. On n'a pas placé la lettre N pour ne pas charger la figure.

Cette longueur MN est le grand axe de l'ellipse, ombre portée sur le plan horizontal. Le petit axe est égal au diamètre de la sphère.

On n'a pas ombré la partie de l'ellipse placée derrière la ligne de terre. Dans la sphère , on a ombré les parties placées au delà des projections de la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Sgolie. Une construction un peu plus compliquée donnerait pareillement l'ombre de la sphère éclairée par un seul point.

Le lecteur peut prendre les données analogues pour la sphère , et choisir un point éclairant dans une position assez rapprochée pour que l'épure contienne tou* tes les lignes à mener.

On pourra aussi chercher l'ombre portée sur le plan vertical y et même aussi sur un plan incliné quelconque ou sur un cylindre droit à génératrices verticales, ou bien sur un cylindredroitàgénératrices horizontales.

Nous proposons, par exemple , de prendre une sphère tangente à un cylindre horizontal, reposant tous deux sur un plan horizontal, et de chercher les diverses ombres portées , et sur le plan horizontal , et sur le cylindre.

Trouver Vomhre portée par un tore y ayant son aœe vertical, sur un plan horizontal.

On prendra pour données celles de la figure 62 de la planche 25. Déjà on a vu comment on trouvait les cy/tn- (/ra^ tangents au tore parallèlement à une droite donnée. On a les courbes de contact par leurs projections. On pourra donc se servir de ces courbes comme de directrices des cylindres; ces courbes, d'ailleurs, sont les lignes de séparation d'ombre et de lumière.

Les intersections des cylindres avec le plan horizontal donneront Tombre portée demandée.

On arrive toujours à ce problème fondamental de rintersection d'une droite avec un plan ou avec une surface.

ScoLiE L Nous proposons au lecteur ce problème : Un tore, coupé par un plan perpendiculaire à son aœe, et passant par son centre , repose , par sa section, sur un plan incliné quelconque : on demar^de V ombre portée par ce tore sur le plan incliné.

On peut résoudre ce problème en le ramenant à la question précédente au moyen d'un rabattement sur le plan horizontal , du plan incliné sur lequel repose

le tore. Les constructions ayant été efifectuées par ce changement de plan de projection, on reviendra aux premiers plans de projection par la méthode ordinaire de relèvement.

ScoLiE IL Nous proposerons aussi de résoudre une question analogue pour un deini-ellipsoïde de révolution , reposant , par son grand parallèle , sur un plan incliné, et de trouver, en même temps, les projections de Tellipsoïde et les ombres portées, soit sur le plan incliné, soit sur les plans de projection.

Nous proposons encore les problèmes suivants :

Ombre portée par un ellipsoïde de révolution sur une sphère et sur un second ellipsoïde de révolution^ les rayons étant parallUes entre eux.

Trouver r ombre portée^ dans une niche cylindrique, par un icosabdre régulier reposant sur un cylindre droit à base circulaire , le cylindre donné étant placé sur la base de la niche , les rayons lumineux parallèles faisant un angle de 45" avec le plan horizontal , et un angle de 60" avec le plan vertical.

Trouver les ombres portées , par la surface de révolution de la planche 24 , figure 63 , sur le plan horizontal de projection et sur un plan quelconque, les rayons lumi" neux parallèles faisant , avec les plans de projection , des angles de 60".