DA EA DB*"EG

Cela posé» il faut distinguer plusieurs cas:

Supposons d'abord les points D et E situés sur les côtés eux-^ mêmes, c'est-à-dire l'un D entre A et B, et l'autre E entre A et € (Jig* 120); et concevons par le point D une parallèle à BG. Cette parallèle déterminera (169) entre A et G un point dont

les distances à A et G formeront un rapport égal à tt^* Or,

entre A et G (167), il n'existe qu'un seul point dont le rapport

DA

des distances à A et G soit égal à ^9 et ce point est par hypothèse le point E. Donc la parallèle à BG, menée par le point D, passe par £ et coïncide avec DE« Donc enfin DE est parallèle à BC.

Supposons, en second lieu, les points D E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous

DA

de AB {fig. lai), le rapport ^ sera supérieur à i ; H en sera

EA

donc de même de son égal gg- et, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si D était au-dessus de BA {Jig, 1 22), la proportion (i) exigerait que £ fût au-dessus de GA; puis, on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Cette réciproque demande une certaine attention; l'hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l'existence de la proportion (i)> et l'autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la même manière sur les côtés AB et AG. Bien que sous-entendue d'ordinaire pour plus de brièveté, cette seconde partie est indis* pensable; car si l'un des points D était, par exemple, sur le côté lui-même et l'autre £ sur l'un des prolongements, la droite DE ne saurait être parallèle à BG, bien que la proportion (i] fût satisfaite.

loS GÉÛMÉIRiE PLAXE.

TllÉOUÈME.