PRÉFACE

Après les Eléments de Legendre, après tous les lraités qui ont paru dans ces derniers temps, l’ouvrage que j’offre aujourd’hui aux professeurs et aux élèves, sera peut-être regardé comme une superfluité. On pensera qu’un livre de plus , sur un sujet qui en a déjà tant fait écrire , est un livre inutile.

Cette multiplicité de tentatives ne doit pas, je pense, être condamnée aussi sévèrement; car elle indique, chez les auteurs, le désir de combler une lacune encore existante dans l’enseignement de la Géométrie. Tel est, du moins, le sentiment qui m’a guidé et soutenu dans le long et pénible travail dont je publie enfin le résultat. Si ce résultat es * j"g < ‘ mauvais; si, en essayant de faire mieux que mes devanciers, j’ai fait moins bien , mes efforts, ajoutés aux leurs, ne seront cependant pas perdus pour la science; et de tous ces livres, dont les uns ont échoué, dont les autres ont été favorablement accueillis du public, il résultera peut-être enfin un bon Traité élémentaire !

J ai divisé ces Éléments en huit Livres, qui correspondent à ceux de Legendre. Cette classification n est peut-être ni la plus logique ni la plus commode; elle nécessite, dans la Géométrie de l’espace, ou une multitude de propositions qui ne permet pas au lecteur de saisir nettement l’ensemble des théories, ou des lacunes qui nuisent à l’é-

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légance des démonstrations. Cependant, en présence d’un usage généralement adopté, j’ai cru ne pouvoir mieux faire que de sacrifier mon opinion personnelle.

D’après l’exemple donné par M. Lionnet, je n'ai pas défini la ligne droite. Cette proposition : La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre , ne définit rien; en outre, elle suppose la notion de longueur , notion qui suppose elle-même une connaissance approfondie de presque toute la Géométrie. 11 est donc bien plus simple de regarder comme une idée primitive , celle de la ligne droite. Néanmoins , .comme il convient de n'emprunter à l’expérience qu’un très-petit nombre de principes, je propose en note(i) une définition qui me parait exacte, qui se rapproche de celle d’Euclide (a), et de laquelle on déduit immédiatement plusieurs théorèmes préliminaires.

J’ai adopté aussi, d’après le professeur que je viens de citer, cette définition : la Géométrie est la science des figures. On la trouvera peut-être incomplète; mais ce défaut, s’il existe, est racheté par la clarté; et d’ailleurs, la définition exacte d’une science est à peu près inintelligible pour un commençant.

Depuis l’origine de la Géométrie, la théorie des

fl) Définition. — Le plan est une surface indéfinie , qui est partout identique avec clle-méme.

Définition. — La ligne droite est l’intersection de deux plans. (?.) 1 La ligne droite est celle qui est également placée aux points qui sont en elle.» (Euclide, traduction de Peyrard , tome I er , page i ,)

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parallèles a fait le désespoir des personnes qui prétendent tout démontrer, et qui demandent le pourquoi du pourquoi. La manière dont chaque auteur établit cette théorie est intimement liée à l’idée qu’il attache au mot angle. Après avoir hésité longtemps^ je me suis décidé à définir l’angle, la portion de plan comprise entre deux droites indéfinies } issues dun même point. Je crois connaître les objections, très-fondées d’ailleurs, que l’on oppose à cette manière d envisager la question ; mais je crois aussi que 1 embarras est bien plus grand si l’on adopte une autre définition. Quand, on dit qu’un angle est l’ccartement ou Y inclinaison de deux droites, on remplace seulement un mot pqr un autre. Legendre,'’ qui a lutté longtemps contre la difficulté inhérente à la théorie des parallèles, n’est point parvenu à la vaincre; et, pour avoir voulu rejeter toute notion d infini, il est tombé, après de longs elforts, dans une contradiction singulière, qui ressort clairement des deux définitions suivantes :

« Lorsque deux lignes droites se rencontrent , la quantité plus ou moins grande dont elles sont écartées lune de V autre , épiant à leur position, s'appelle angle. ( i V »

“ êtngle solide est l’espace angulaire compris entre plusieurs plans qui se réunissent en un mémo point (a). »

Du reste, si l’on parvenait à faire une théorie des

' Legbmdkb, Éléments de Géométrie , ia« édition, page 2. 1} Lf.gf.ndu, Éléments de Géométrie, page 137.

PICEEA.CE

parallèles qui fût à l’abri de toute objection, la discussion , ainsi qu’on l’a souvent dit , ne ferait que changer d’objet. On demanderait, par exemple, de prouver que , deux droites indéfinies étant situées dans un môme plan, si la première a deux points situés de côté et d'autre de la seconde , elle rencontre celle-ci. Cette proposition est aussi importante que le fameux postulatum d’Euclide; cependant on l’admet sans scrupule, et l’on fait bien, attendu qu’en Géométrie , comme en toute autre branche des connaissances humaines, il existe un petit nombre de propositions dont la vérité ne parait pas contestable, et qui néanmoins ne peuvent être démontrées d’une manière rigoureuse.

La définition ordinaire de la ligne droite entraîne cette conséquence : Dans tout triangle , un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres. D’après la marche que je m’étais imposée, cette proposition devenait , ou un postulatum , ou un théorème : j’aurais pu la considérer sous ce dernier point de vue; mais alors il m’aurait fallu bouleverser l’ordre des matières composant le Livre premier, ordre qui me paraît simple et naturel. J’ai donc mieux aimé présenter cette vérité, comme résultant de l’expérience.

Ap rès ces considérations essentielles, il me resterait beaucoup de choses à dire sur le moyen que j’emploie pour étendre aux lignes courbes et aux surfaces courbes les théorèmes démontrés pour les figures rectilignes. Je me bornerai à faire observer, en premier lieu, que le mode de démonstration

connu sous le nom île réduction à l’absurde , qui vise à la rigueur, n'atteint pas son but , car il admet toujours, implicitement, des vérités tout aussi difficiles à prouver que celle qui fait l’objet du théorème. Par exemple, si l’on veut établir, par la réduction à l’absurde, que les circonférences sont entre elles comme leurs rayons, on suppose qu’il y a des circonférences de toutes les grandeurs : or, ce point étant admis, la longue et pénible démonstration dont il s’agit devient inutile.

Secondement , cette méthode a un vice radical , c’est qu’elle n’indique en aucune manière le chemin que l’on aurait ph prendre pour trouver tel ou tel théorème; par suite, l’élève n’apprend pas à découvrir, à son tour, de nouvelles vérités; il pense que la Géométrie se compose seulement des propositions contenues dans le livre qu'il étudie; et cette belle science, au lieu de lui développer l’intelligence, ne fait que charger péniblement sa mémoire. • *• ■■ >

Guidé par tous ces motifs , j’ai adopté la méthode des limites ; mais, comme ce mode de démonstration n'exclut pas la rigueur, et qu’îl est difficile de raisonner juste si l’on n’a pas défini les expressions dont on fait usage, j’ai expliqué, aussi clairement que j'ai pu , les dénominations de longueur, aire et volume. A l’aide de ces préliminaires, qui ont besoin d'ètre bien étudiés, les propositions relatives au cercle, à la sphère, etc., acquièrent un grand degré de simplicité.

le n ai pas besoin de dire que, désirant faire un