LIVRE V
Proposition XXXIV, — Thécrème,
98. La projection d'une droite sur un plan est une ligne droile,
Soit AB une droite à projeter sur le plan M, Par Ja droite AB, menons un plan AR perpendiculaire au plan M n° 333); si l'on projette sur le plan M An point quelconque E de la droite, la ligne projetante EE’ est tout entière dans le plan AP perpendiculaire au plan M {n° 335); et ainei la projection E' du point E est sur la droite AB’, qui e Donc...
st l'intersection des deux plans.
999, Scolie, Une droite quelconque el sa
brojeclion sur un plan sont dans un méme
plan perpendiculaire qu plan de Projection.
Proposition XXXV, — Théorème,
340, L'ungle que fait une droile avec est moindre que l'angle qu'elle fuit avec loule autre droite menée par son pied dans re plan,
Soit AB une droite quelconque, AB sa projection sur le plan M ,et AC une autre droite menée dans le plan ; il faut prouver que l'angle BAB' es moindre que BAC, Portons la longueur AB" sur AC, et menons la droite BC, BB" est perpendiculaire au plan M; donc BC est une oblique; par suite BB'<£BC, Dès lors les deux triangles BAR et BAC ont deux côtés respectivement égaux, et le troisième BB < BC ; donc l'angle BAD’ est plus petit que BAC (ne 51),
Donc...
S4 projeclion sur un plan
311, Définition, On “ppeile angle d'une
droile et d’un plan l'angle que fait cette droite avec sa projection sur le plan. Un lrouve cet angle en prolongeant la droite jusqu’au plan, ou bien en menant, par un point quelconque de Ja droite, une parallèle à sa projection.
Proposition XXXVI, — Théorème,
342, Entre deux droites
quelconques données dans l'espace peul mener
#Re perpendiculaire commune, el une seule ; pendiculaire est la plus courte distance Soient AB et CD deux droites quelc ar la droite CD monons ]
» ON et celle perdes deux droites.
onques données dans l'espace, € plan M parallèle à l'autre droite AP
—— GÉNÉRALITÉS SUR LES DROITES ET LES PLANS 137
(n° 113), et projetons AB sur ce plan M {n° 999); par le point C, rencontre de la droite CD avec la projection de AB, menons CA perpendiculaire à AB, Nous allons prouver que celle droite CA eat une perpendiculaire commune aux deux droites données,
1° La droite AB étant parallèle au plan M, l'est aussi à sa projection CE (n° 906); dès lors, la droite AC, perpendiculaire à AB, l'est aussi à la parallèle CE (n° 68),
Les deux plans AE et MD sont perpendiculaires l’un à l'autre: donc la droile AC, menée dans le premier perpendiculairement à l'interseclion CE, est perpendiculaire à l’autre plan M {ne 334), et par suite à la seconde droite CD, qui passe par son pied.
2° La droite AC est la seule perpendiculaire commune; car si une autre droite GH était supposée perpendiculaire à AB et à CD, elle serait aussi perpendiculaire à Hl parallèle à AB (ne 308); étant perpendiculaire à HI et à CD, elle le serait au plan M; or GF parallèle à AC, est déjà perpendiculaire au plan M {no 329); il yaurait donc deux perpendiculaires au plan M, partant du même point G, ce qui est impossible,
3 On a AC=GF, et GF “GH (nv 299); la droite AC est donc plus courte que toute autre droite menée de AB à CD. Donc...
Proposition XXXVII. — Théorème,
343, Si une droite assujellie à passer par un point fire se meut dans l'une des faces d'un angle dièdre, l'angle qu'ette forme avec sa Projection sur l'autre face est maximum, lorso elle droite est perpendiculaire à l'intersection des deux plans.
Soit MDEN un angle dièdre, M ja face sur laquelle se trouve la droite mobile, AB et AD deux posilions de cette droite l’une perpendiculaire à l'intersection DE, et l’autre quelconque. Si l'on mène AC perpendiculaire au plan N, puis CB et CD, ces deux dernières droites sont les projections des droites AB et AD. Démontrons que l'angle ABC est plus grand que ADC.
Portons sur CD une longueur CI égale à CB, et menons Al. Les
deux triangles rectangles ACB et ACI sont égaux, comme ayant au point C un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux; ainsi l’anol ABC égale AIG.
Or l'angle AIC, extérieur au triangle ADI, égale la somme des deux
par le point C, renmenons CA perpen- AB, Nous allons celle droite CA est liculaire commune ïites données,
& AB élant parallèle est aussi à sa pro- 1° 306); dès lors, la perpendiculaire à ussi à la parallèle
res l’un à l'autre:
liculairement à l'in- M (n°334), et par d.
nimune; car si une AB et à CD, elle n° JUS); élant per- Or GE parallèle à }; il yaurait donc ne point G, ce qui
roile AC est donc CD. Donc...
ont fire se meul lle forme avec sa elle droite est pererseclion des deux
ngle dièdre, M ja > trouve la droite D deux positions une perpendicun DE, et l'autre n mène AC perin N, puis CB et ières droiles sont que l'angle ABC menons Al, Les comme ayant au
ctivement égaux;
somme des deux
