PAS
sur les arêtes SA et SD des longueurs égales ; et par les points obtenus, À et D, menons un plan quelconque ADBC.
Les triangles BSA et BSD sont égaux comme ayant en $S un angle égal compris entre des côtés respectivement égaux; donc BD= BA, On a d’ailleurs BC < BA + AC ; en retranchant BD au premier membre et BA au second, il vient DC < AC.
Et alors les deux triangles CSD et CSA ont deux côlés respectivement égaux, et le troisième côlé inégal, CD £CA ; donc l'angle CSD est plus petit que CSA; et si l'on ajoute de part et d'autre les angles égaux DSB et ASB, il vient BSC<CSA+ASB, ou a<b+e
Ainsi la plus grande face est moindre que la somme des deux au-
tres. La propriété est évidente pour chacune des avtres faces.
2° L’inégalité précédente revient à celle-ci b+e >
d’où, en retranchant b aux deux membres 6e a—b et si c’est c que l'on retranche, on a b>a—e
Donc chaque face d'un trièdre….
Proposition XXXIX. — Théorème.
390, La somme des faces de tout angle solide convexe est moindre
que À angles droits.
Soit S un angle solide de 5 faces; couponsle par un plan quelconque AD.
En joignant les sommets A, B, C, D, E, à un point intérieur quelconque O, on décompose le pentagone en 5 triangles, dont les angles égalent ensemble 10 dr. — La somme des angles des 5 triangles latéraux ASB, BSC , etc. égale aussi 10 dr. Or dans l'angle trièdre A,la face inférieure EAB est moindre que la somme des faces latérales EAS, SAB; il en est de même aux angles solides B, CG, D, etc. La somme des angles inféricurs EAB, ABC, etc., étant moindre que la somme des angles latéraux EAS, SAB, etc., par compensation la
somme des angles en O, qui vaut 4 droits, sera plus grande que la somme des angles en S. Donc...
Proposition XL. — Théorème.
351. Si deux trièdres sont l’un dans l'autre, de telle sorte que les
arètes de l'un soient perpendiculaires aux faces de l’autre, ces deu» lrièdres sont supplémentaires {n° 348).
Pour abréger, appelons 4, h, +, les faces du premier trièdre,
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par les points ob-
3SD sont égaux ngle égal compris ment égaux; donc ‘emier membre et »s CSD et CSA ont égaux, et le troi- CA ; donc l’angle À ; et si l’on ajoute es égaux DSB el + ASB,
ime des deux aures faces.
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) faces; coupons- D.
» B, G, D, E, à 1e O, on décomles, dont les an- — La somme des . ASB, BSC, ete.
igle trièdre À, la re que la somme AB; il en est de C, D, etc. La AB, ABC, etc., des angles latécompensation la is grande que la
elle sorte que les autre, ces deux
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