LIVRE V, — GÉNÉRALITÉS SUR LES DROITES ET LES PLANS

A, B, C, les dièdres opposés, a’, b', A", B', C', les dièdres opposés, La droite SA’ est d'ailleurs supposée SB' au plan b, et SC’ au plan e.

1° Les droites SA’ et gp étant perpendi- Culaires aux plans & et b, leur angle c’ est le supplément du dièdre SC {no 91), De même la face b' est le Supplément du dièdre SB, et la face a’, du dièdre SA, Ainsi les l'aces du trièdre extérieur sont les supp ‘aents des angles du trièdre intérieur.

2° SA’ est perpendiculaire à la face «, el par suite aux droites SB et $C: situées dans ce plan. De même SC, perpendiculaire à la face «, l'est aussi aux droites SB et SA, Ainsi SB est perpendiculaire sur SA el sur SC, ct par suite sur la face #, Pareillement SC est perpendiculaire à la face Ainsi les positions relatives des arêtes et de sont dans une complète réciprocité, Done...

c’, les faces du second trièdre, et

Peérpendiculaire au plan «,

CL SA à la face «’.

s faces des deux trièdres

Proposition XLI, — Théorème.

352, Dans tout trièdre :

1° La somme des angles dièd, rois à

2° La différence entre le pelil dièdre et la somm esl moindre que 2 droits.

‘es est comprise entre 2 droits et G

e des deux autres (Figure précédente.) 1° Soit SABC un trièdre quelconque, et SA'R'C mentaire,

Appelons À, B, C, les ditdres du premier second, On à (n° 348) :

"le triôdre supplé-

» La’, D, c', les faces du

A+ =9 dy, + D =9 qy, C+ce = 9 4, done (A+B+C)+ (a +b'+c)=6 gr.

d'où A+B+C=6 (a +b +) Or la somme des faces 4, b', c', est comprise entre zéro et 4 dr. n° 950); donc si l’on retranche celte somme de 6 dr., le reste, qui sera la valeur de A+1R +G, sera compris entre 2 droits et 6 droits, 2 Soit C le plus pelit dièdre du trièdre considéré ; c’ sera La plus grande face du trièdre Supplémentaire (no 348),

Oron a ce a+: remplaçant chacune de ces valeurs par les Suppléments, on a 2 dr —CZ12 dr, A }+12 dr, —B) où 2 M CC dr (A +B) Ajoutons A+B+C aux deux membres, et retranchons 2 dr. il vient : AB <E9 dr, LC

D'où A+B=C<2 droits. Donc...

Proposition XLII, — Théorème.