Deux létraèdres sont égaux
1° Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à des angles dièdres respeclivement égaux , et semblablement disposés ;
2 Lorsqu'ils ont un dièdre égal compris entre des faces respeclivement égales, el semblablement disposées ;
3 Lorsqu'ils ont trois faces respectivement égales, et semblablement disposées.
1° Soient les deux tétraèdres T et T', ayant la face BCD égale à B'C'D', le dièdre BD égal au dièdre B'D', le dièdre BC égal à B'C', et ie dièdre CD égal à C'D',
Transportons la première figure sur la deuxième, de manière que la face BCD coïncide avec son égale B'C'D',
L’angle dièdre BD étant égal à B'D', le plan BDA prend la position B'D'A'; de même le dièdre BC étant égal à B'C', le plan BCA prend la position B'C'A'; et la droite BA devant se trouver à la fois sur les plans B'D A’ et B'C'A', coïncide avec leur intersection B'A’,
On prouvcrait de même que l’arête CA prend la direction C'A', et l’arête DA la direction D'A', Ainsi les deux tétraèdres coiïncident, ce qui prouve leur épalité.
2° Soient es deux tétraèdres T el T', avant le dièdre AC égal au
l'UPI 3o dista So EG nons EI et le | comm parall SBC | AB et Don SEG ; esl ser à AH.
deux «
Os € = L
mana
pentagonale, ete., un pentagone, elc.
}. Dans une pyrace quelconque.
> est un polygone olygone.
rales sont égales:
x; la hauteur de t pyramide, apo- )ase,
ramide comprise tes latérales.
C de pyramide à )ases.
ramide régulière > base. Les faces de chacun de ces
iles dièdres resfaces respective-
t semblablement
»s deux tétraèant la face BCD , le dièdre BD B'D', le dièdre :", et ie dièdre la première deuxième, de face BCD coïngale B'C'D’, end la position an BCA prend la fois sur les B'A',
clion C'A', et coincident, ce
e AC égal au
LIVRE VI, — LES POLYÈDRES 155 dièdre A'C', la face ACB égale à A'C'B', et la face ACD égale à A'C'D'.
Transportons la première figure sur la deuxième, de manière que la face ACB coïncide avec son égale A'C'B'; le dièdre AC étant égal à AC’, la face ACD prend la position A'C'D', et comme ces deux faces sont égales, elles Coïncident, Dès lors, tous les sommets Coïncidant, les tétraèdres sont égaux.
3 Soient les deux télraèdres T et T', dans lesquels les trois faces qui forment les angles trièdres A et A’ sont respeclivement égales.
L'égalité de ces trois faces entraîne l'égalité des deux trièdres A et A’ (n° 353, 3). Transportons la figure T sur T', de manière que les angles trièdres À et A’ coïncident ; la face ABC étant égale à A'B'C, le point B tombe sur B', et le point C sur C'; de même la face ABD étant égale à A'B'D”, le point D tombé en D)’, Le triangle BCD a donc ses trois sommets en B', C', D', et les deux solides coïncident, Donc.
384. Scolie, 1° Les cas d'égalité qui viennent d'être étudiés logues aux cas d'égalité des triangles (n° 47) lité des trièdres (no 353),
2° Deux polyèdres égaux sont décomposables en un même nombre de télraècres r'especlivement éjaux et semblablement disposés.
sont ana- , ainsi qu'aux cas d’éga-
Proposition XII, — Théorème.
385, Siune pyramide est coupée par un plan parallèle à lu base,
1° Les arêtes latérales et la hauteur sont divisées dans un même rapport ;
2° La section et la base sont deux polygones semblables ;
3% Ces deux Polygones sont entre euz comme les distances au sommet de la pyramide.
Soit P une Pyramide quelconque, et soit S EG une section parallèle à la base AC; me- Dons, Sur ces deux plans, les lignes droites EI et AH.
1° Les droites FG et BC sont parallèles , comme élant les intersections de deux plans parallèles EG et AC avec un troisième plan SBC (n° 315); et ilen est de même des droites AB etEF, AD et EL, etc. -
Donc le triangle SEF est semblable à SAB, SFG à SBC, etc.: de même le triangle SEI est semblable à SAH, à cause de EI parallèle à AH. Et comme tous ces triangles ont deux à deux des côtés communs, on a :
SF SG SL. SE 81 SB SC SD SA “En:
2 Le rapport de similitude étant le même Pour ous ces triangles, : s. DPF Fo de DE. He .
On à aussi : AB BC CD =D ; Rio les deux polygones EG et
Carrés de leurs
he.
se ja
AC ont leurs côtés dans un même rapport: de plus leurs angles sont respectivement égaux (n° 320); donc Ja section EG est semblable à la base AC...
3 La similitude des triangles qui ont le point S pour sommet com-
4 EF SE af à ; :
mun, donne la relation AB SA =£sg; d'où, en élevant au carré :
ël >.
D'autre part, les deux polygones EG et AC élant semblables, on a: Polygone EG EF*__ SE’ …oÙ:
: Et Donc:
Polygone AC AB° SA° SI
386. Corollaires, 1° Tout plan qui coupe dans un même rapport trois arêles latérales d’une Pyramide est parallèle à la base de cette pyramide,
2° Si les arêtes latérales d’une Pyramide sont coupées par plusieurs Plans parallèles entre ,euæ, les sections obtenues sont des polygones semblables, qui sont entre eux comme les carrés de leurs distances au sommel de la pyramide.
Proposition XIII, — Théorème,
387. Si deux Pyramides ont méme hauteur, les sections faites à égale distance des sommets parallèlement aux bases sont entre elles comme ces mêmes bases.
Soient P et P' deux pyramides ayant même hauteur k, et des bases
“quelconques B et B'; soient C et C' des sections faites parallèlement aux bases, à une même distance 4 du sommet.
La première figure donne (no 385, 3) : 5j: ct la deuxième C'__d2 G CG Le B rer = —: G D =; = 3. Donc...
figure F7; On a don eh d'où CFE (
388. Corollaire, Si deux Pyramides ont même hauteur et des bases
lus leurs angles sont G est semblable à la
S pour sommet com-
n élevant au carré :
t semblables, on a:
même rapport trois base de cette pyra-
wpees par plusieurs
sont des polygones leurs distances au
De
lions faites à égale entre elles comme
ur h, et des bases
tes parallèlement
et la deuxième
leur el des bases
