LIVRE VI, — Leg POLYÈDAES

les triangles SAC et SA'C sont

semblables, et il en e autres faces latérales.

st de même des

2 L’angle solid trièdres A et A’, appartenant à et Asont égan Donc...

e S est commun aux «deux pyramides; dans les les angles des faces sont respeclivement égaux comme des polygones semblables ; ainsi cou angles trièdres A X (n°353, %), et il en est de même des autres trièdres

Scolie. Si l'on suppose les arêles indé rème est vrai quelle que soit 1 est mené au delà du sommet, le inverse,

finiment prolongées, le théoa position du plan sécant; si ce plan S éléments sont disposés dans un ordre

Proposition XX. — Théorème,

AÛ, Deux télraidres sont semblables :

1 Lorsqu'ils ont une face semblable adljavente à des dièdres » peclivement égaux, et semblablement placés ;

2 Lorsqu'ils ont un dièdre égal compris entre dex tement semblables, et semblablement placées ;

3 Lorsqu'ils ont trois faces respectivement semblables

"eS— faces respecli-

, el sembla-

1er Cas. Soient les deux tétraèdres T et T', ayant les faces ABD et D, respectivement égaux nons Ja longueur El égale 4 AB, et me- "ainsi déterminé est 400), et il suffit de prouver l'égalité des deux té

Les triangles ABD et EIL, semblables chacun au triangle EF!T, sont et comme le côté A égale El, ces deux Par hypothèse, les dite. AB, AD et BD, sont r'éespec

livement icdres FH et IL sont é

Baux comme corgale IL, et les deux télraèdres T ale adjacente à des dièdres

NTS DE GÉOMÉTRIE

ml respoctivemer fau 385, 10). Donc le tétraèdre T est sem b blable à T | = cas, Soient les deux tétradres T et T''ayant le dièdre AB égal

1] à EF, la face ABD semblable à EUH, et la face ABC semblable

| pH EFG, Prenons la longueur El égale à AB, et menons le plan IKL k 1 parallèlt FGH. Le tétraèdre T” ainsi déterminé est semblable à T 4 (n° 400), et il suffit de prouver l'éralit deux tétraèdres T et T”,

fi Les triangles ABD et EIL.

semblables chacun au triangle EFH, sont semblables entre eux:

et comme le côté AB égale ET, ces deux triangles sont égaux,

De même les triangles ABC et ETK, semblables chacun au triangle EFG, sont semblables entre eux ; et comme le côté Al égale ET, ces deux triangles sont égaux. Donc les deux tétraèdres Tet T” sont égaux comme ayanl un dièdre égal compris entre des faces respectivement égales {no 383, 2); et le tétraèdre T est semblable à T'.

3 cas. Soient les deux tétraèdres T et T’ ayant les trois faces de l'angle solide A respectivement égales aux trois faces de l'angle solide E. Prenons la longueur EI égale à AB, et menons le plan IKL parallèle à FGH. Le tétraèdre 1” ainsi déterminé est semblable à T” (n° 400 et il suffit de prouver l'égalité des deux tétraèdres T et T”.

Les triangles ABD et EIL, semblables chacun au triangle EFH, sont semblables entre eux, et comme le côté AB égale EI, ces deux triangles sont égaux, el AD=- EL,

On démontrerait de même que le triangle ABC = EIK, et que ADC = ELK. Donc les deux tétraèdres T et T” sont égaux comme ayant trois faces respectivement égales, et le tétraèdre T est semblable à T'. Donc...

402, Scolie. Les cas de similitude qui viennent d'être établis pour les tétraèdres sont analogues aux cas de similitude des triangles (n° 190), et même aux ras d'égalité des triangles (n° 47), des trièdres (n° 353), et des tétraedres (n° 383), Dans chaque cas de similitude des tétraèdres, le cas d'égalité correspondant a été appliqué entre le (6traèdre donné T et le tétraèdre auxiliaire ‘1

Proposition XYI, — Théorème.

403. Deux polyèdres semble SO lécomposables méme nombre de létraèdres respective l lables el semblablement disposes.

Soient P et P’ deux polyèdres semblables, Menons les ns AB

et A'B'C, Les deux tétraèdres SABC et S'A'B'C' sont semblables, comme ayant les faces qui forment les angles S et S' respectivement sem-

td:

mêm

sectio

létraèdre T est sem

ant le dièdre AR égal ace ABC semblable à menons le plan IKL né est semblable à T IX létraèdres T et T”, ngies ABD et EIL,.

* Chacun au triangle semblables entre eux:

le côté AB égale ET, ‘angles sont égaux.

e les triangles ABC 2mblables chacun au G, sont semblables et comme le côté Al s deux triangles sont

LC les deux tétraèdres

| égaux comme ayant

ment égales (n° 383,

nt les trois faces de 3 de l'angle solide E.

e plan IKL parallèle lable à T’ (ne 400 Let T”,

à au triangle EFH, igale ET, ces deux

BC=EIK, et: que sont égaux comme dre Test semblable

d'être établis pour tude des triangles n° 47), des trièdres s de similitude des pliqué entre le t6-

bles méme emblablement dis-

ns les plans AR

mblables, comme pectivement sem-