LIVRE VI
déré comme engendré côlé qui est perpen
LES TROIS corps Ronps 181
par un (rapèze rectan
gle tournant autour du diculaire aux bases,
442, Le lronc de cône de révolution à bases parallè du tronc pyramidal régulier dans lequel le nombre des faces latérales augmente indéfiniment ; et lui-même Peut étre considéré comme Un tronc pyramidal régulier d'une infinité de faces.
Il suit de là que l’on peut appliquer au tronc de c les propriétés du tronc pyramidal régulier,
les est la limite
ône de révolution
Proposition VIII, — Théorème.
443, La surface latérale d'un tronc de cône de révol génératrice Mullipliée par la demi-somme des c bases,
Car la formule S=i(2SA) qui exprime la surface latérale d'un tronc Pyramidal régulier (n° 390, 3e de cône, qui en est la limite.
44%. Scolie, 1° En dévelop-
Pant sur un plan la surface S latérale d'un tronc de cône de :
révolution, on obtient un trapèse circulaire AD' qui a pour heuteur Je côté AD du tronc, et pour bases les développements des circonférences des bases du tronc de cône,
2 La demi-somme des circonférences des bases est égale à la circonférence décrite à égale distance de ces mêmes bases; on peut l'appeler Circonférence moyenne,
de En appelant { le côté du tronc de cône, rayons des bases, et y’ le rayon moyen égal à ner 9N & Pour expression de la surface latérale du tronc de-cône : (+ er) ou rl(R+r) ou bien, rence moyenne : 9r»4,
ution égale la irconférences des
] peut être appliquée au tronc
Retr, les
en fonction de la circonfé
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Proposition IX. — Théorème.
45. Autre formule. La surfuce iatérale d’un tronc de cône de revolulion, égale la hauteur du tronc, mullipliée par la circonférence qui aurait pour rayon la perpendiculaire élevée au milieu du côlé el terminée à l'axe.
Soit ABCD le trapèze générateur, et soit L'H ou °° la perpendiculaire élevée au milieu du côté AB et termin“e à l'axe. Menons AË parallèle à l’axc, et FG perpendiculaire à l’axe.
Les deux triangles AEB et FGH sont semblables comme ayant les côtés respeclivement perpendiculaires ;
AR __FH L r" ADO © e#
De là on tire... »l—=#"h; et en mallipliant par 2x, on a :
2rr'l = 2rr"h.
Mais rl exprime la surface latérale du tronc de cône (no 444, 3); donc cette même surface est aussi exprimée par 92xr"'h. Donc.
on a donc :
46. Scolie. Le cône entier peut être considéré comme un tronc de cône dont la base supérieure est nulle. Done {a surface latérale d’un cône de révolulhion égale la hauteur multipliée par la circonférence qui aurait pour rayon la perpendiculaire élevée au milieu du côté et terminée à l’axe.
Proposition X, — Théorème d'Archimède. k
447. Siune ligne polygonale régulière Lourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par son centre,
La surface engendrée égule la circonférence qui aurail pour rayon l'apothème de la ligne brisée, mullipliée par la projection de cette méme ligne brisée sur l'axe,
{Nous supposons que l'axe ne coupe pas la ligne mobile.) !
Soil ABCD la ligne brisée régulière mobile, O son centre, OI son apothème, et MN l'axe de révolu-- ‘ tion. À
Dans la rotation, le trapèze rec tangle ABEF décrit un tronc de cône, qui a pour surface latérale EF X circ. OI {no 445); de même la surface engendrée par BC égale G X cire, OI ; et la surface engendrée par CD égale... GHx cire. OI.
es
tronc de cône de réleur du tronc, mul- ‘ence qui aurail pour ire élevée au milieu axe.
e générateur, et soit ulaire élevée au mi- ‘mine à l'axe. Meaxc, et FG perpen-
EB et FGH sont semes côtés respective- #
1 2r, on a :
de cône {n° 444, 3); 2mr"h. Donc...
comme un tronc de urface latérale d’un ar la circonférence au milieu du côté et
1imède.
our d’un axe situé
aurait pour rayon projection de cette sée sur l'axe.
sons que l'axe ne ne mobile.)
ligne brisée réguson centre, OI son N l'axe de révo!u--
on, le trapèze reclécril un tronc de ur surface latérale 10 445); de même idrée par BG égale t la surface engenle... GI x cire, OI.
LIVRE 1V, — LEs TRoIs CORPS RONDS 183 Donc la surface Engendrée par la ligne ABCD a Pour expression : cire. OI X (EF + FG+ GH) ou cire, OI x EH, ce qu'il fallait démontrer, Done...
Proposition XE, — Théorème d'Archiméde,
448. Le volume d'un tronc de cône à bases parallèles égale le tiers de la hauteur Mulliplié par la somme des bases auginenlée de leur Moyenne géométrique,
En effet, la formule V — 1/3 h(B + B'+ VBB lume du trone de pyramide à bases parallèles appliquée au tronc de cône, qui en est la limite, 49. Scolie, Soient Retr les layons des bases d'un tronc de révolution, et } Sa hauteur; les bases OnÙ pour expression Ra et =; leur moyenne géométrique est rRr, et le volume est ah (RRe re + 7Rr) ou Uarh(Re+r+R),
) qui exprime le vo- (n° 396), peut être
de cône
Proposition XII. — Théorème,
450, Si un triangle un des sommets,
Le volume engendré égale le tiens de la hauteur COrrespondanie à ce sommet Mulliplié par la Surface côlé opposé,
(Nous SUPposons que l'axe ne coupe pas le triangle tournant,
1° Considérons d’abord le cas où l'axe se confond avec l’un des côtés du triangle tournant ABC. Soient } la hauteur menée du point B, et AD ou » une per-
pendiculaire à l'axe de rolation.
Le volume engendré par Je triangle ABC est la somme des cônes engendrés par les triangles rectangles ADB et ADC ; il aura donc pour expression :
V =- 1/3 TIM + 1/3 TIEN — 1/3 nr (m +. n) = 1/3 rr2a
Cette formule peut s'écrire l/3mrra; mais Je produit ra des deux derniers facteurs exprime le double de la surface du triangle, et peut être remplacé par {k, ce qui donne pour le volume : =1/y;nrlh où 1/3 hnrl Or x} exprime la Surface latérale du c’est-à-dire Ja surface engendré engendré par le triangle sommet B, multiplié par opposé !,
2° Si le triangie tournant ABC n'a qu'un Sommet B commun avec l'axe, le volume sera la différence des volumes engendrés par les l'iangles BAD et BCD.
lourne autour d'un axe mené dans son plan par
qu'engendre le
cône inférieur (no 438),
volume /3 de la hauteur qui part du
Le premier de ces, volumes égale 1/3 h multiplié par la surface que décrit AD, et le second, 1/3 k multiplié par la surface que décrit CD.
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