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20 Quand le point D esten F, la somme des rayons égale FF", el les circonférences décrites des centres F et l‘’sont tangentes en À ou en A.
517. Scolie. 1° Les plus petits rayons qu'on puisse utiliser pour un même point ont pour longueur € + et e—«.
2o La perpendiculaire OY élevée au milieu de FF" étant le lieu des points également éloignés des foyers, ne peut rencontrer la courbe; dans le tracé continu, il faut que la règle et le fil aient pour différence 2a, mais rien ne limite leur longueur; pareillement, dans le tracé par points, les rayons des circonférences sécantes peuvent croître indéfiniment, Donc l’hyperbole est composée de deux parties séparées, el les branches de la courbe s'étendent indéfiniment au-dessus et audessous de OX.
Proposition XVII, — Théorème.
518. Pour tout point intérieur à l'hyperbole, la différence des dislances aux foyers esl plus grande que 2a; pour tout point extérieur, celte même différence est moindre que ?2a.
Un point est intérieur lorsqu'il est dans une dés deux régions du plan où se trouvent les foyers, et extérieur lorsqu'il est entre les deux parlies séparées de la courbe.
4e Joignons le point intérieur CG aux deux foyers, et menons MF. On a
CF<CM+MF donc CF'—CF>CF'—{(CM+MF) ou CF CE ME'—ME c'est-à-dire CF CF > 20...
2% Joignons le point extérieur D aux deux foyers, et menons FN. On a FD <NE'+ ND donc FD—DE<NE'+ND—DF où EF'D—DEF <NE'—NF, c’est-à-dire F'D—DF 24. Donc...
519. Scolie. Selon que la différence des distances d’un point aux deux foyers est supérieure, ou inférieure, ou égale à 24, le point esl
intérieur ou extérieur à l’hyperbole, ou appartient à cette courbe, Proposition XVIII. — Théorème.
520. L'hyperbole a pour axes la droite qui passe par les foyers, el la perpendiculaire élevée au milieu de la droile qui joint ces mêmes foyers, et pour centre le point de rencontre des axes,
Soit M un point quelconque de l'hyperbole. Prolongeons les perpendiculaires MP, MV, et la ligne MO; et prenons PM—PM, VN=VM,ON' —=OM; nous déterminons ainsi les points symétriques de M par rapport à AA’, à BB, et au point O; il suffit de prouver que ces points appartiennent la courbe.
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