Corollaire, 4° Lorsque deux une sécante

Les angles allernes-internes Sont égaur :

Les angles alle égaux ;

Les angles égaux,

droites Parallèles sont coupées par

FneS—erlernes sont

Coirespondants sont

Les angles intérieurs d'un clé sont Supplémentaires.

Les angles ealérieurs d'un Côté sont Supplémentaires.

20 Si un faisceau de droites para l- Un aulre fuisceuu de parallèles, sont égaux, "S sont les Suppléments di

méme

tous les «ngles dinSÈ que tous les angles S angles aiqus,

Proposition XXI, — Théorème,

72. Réciproquement : Deux droites coupées par une sécante sont pa- Des angles allernes-internes égaux ,

Ou des angles allernes-externes égaux, Où des angles Correspondants égaux, Ou des angles intérieurs d'un même cité, Supplémentaires

Ou des angles extérieurs d'un même cûlé, supplémentaires.

Soient les deux droites AR M et CD faisant, avec Ja sécante £ MN, des angles alternes-internes

Égaux, m et n,

Menons la droite FG parallèle à AB; en vertu du théorème direct, l'angle EFG égale m, lequel est donné égal à EFD, Donc Ja droite ED se confond avec FG, qui est parallèle à AB,

Les quatre autres cas menlionnés dans l'énoncé peuvent démontré {mn =); par exemple, Supplémentaires, on a aussi n et Supplémen-

Famencr à celui qui vient d'être si l’on donne « et F

gale et un angle

> opposés par le Sommet.

4, # Sont évaux, K, car ces angles

{aire opp(

con alle) ou b colé

lun droi

le de n pour

m e terne les €

ere

disla ACe

droit et di

*=C l'on «€

gale et un angle l'autre, =

S par le sommet.

4, » Sont égaux, K, car ces angles

ont coupées par

S—-erlernes sont Spondants sont

PS d'un méme tires, os d'un méme tires, » droites paral- OuS les angles tous les angles tyus,

cante sont pa-

iires .

aires.

droites AB © la sécante rnes-internes

FG parallèle lu théorème G égale m, gal à EFD.

se confond parallèle à

s Cas men- C0 peuvent a exemple,

supplémen-

LIVRE 1. — LA DROITE ET LES ANGLES 19 taires; donc an ; d'ailleurs les angles « et m sont opposés par le sommet; ainsi m—n..

Donc, deux droites coupées par une sécante

igaux comme

73. Corollaires. 1° Deux droites situées dans un même plan se rencontrent lorsqu'elles font, avec une sécante quelconque, des angles allernes-internes, ou altemnes-externes, ou correspondant ou bien des angles intérieurs d'un méme côté, ou extérieur colé, non supplémentaires * ;

20 Deux droites situées dans un même plan se rencontrent lorsque l'une d'elles esl perpendiculaire, et l'autre oblique, sur une troisième droile.

Remarque. La théorie des parallèles une fois établie, il est d'usage de n’employer les mots correspondants, allernes-internes, ete., que pour les angles formés par deux parallèles et une sécante.

S, iMéqaur ; s d’un même

Proposition XXII. — Théorème.

71. Les parties de droites parallèles comprises entre deux autres parallèles sont égales.

Soient AB et CD, deux parallèles comprises entre deux autres parallèles AC À C et BD.

Si l’on mène la droite BC, les angles m et n sont égaux comme alternes-internes, ainsi que les angles o et»; donc R D les deux triangles ABC et BCD sont égaux (n° 47, 1), et AB égale CD, — De même AC = BD. Donc les parties de droiles parallèles

75. Gorollaires, 1° Deux droites parallèles sont partout également

A C Pt

B D distantes; car les droites AB et CD perpendiculaires aux parallèles AC et BD, sont elles-mêmes parallèles et égales entre elles (ns 64 et 74); 2 Le lieu géométrique des points siluës à une distance d d'une

LE à

Domi te

droite AB, est l’ensemble des deux droites CD et EF menées de part autre parallèlement à la droite donnée, et à tu distance donnée,

* C'est cet énoncé, appliqué au cas des angles intérieurs d'un même côté, que l'on désigne ordinairement sous le nom de postulatum d'Euclide,

, premi 76. Scolie, Élant données deux droites AB et CD qui se coupent, À on Lt il existe quatre points, E, F,G, H, silués à une distance donnée 4 de ces deux droiles; ces points sont les interseclions des lieux géomélriques tracés Pour ces mêmes droites. Do € 2 placés Proposition XXIII, — Théorème, E, ces: de 77. Deux angles qui ont les côtés parallèles où perpendiculaires chacun à chacun sont égaux, où suppléj AE mentaires, FR 1° Soient a et e deux angles qui ont les | a CÔLÉS parallèles chacun à chacun. Si l’on L 2e (D prolonge jusqu’à leur rencontre deux côtés 0, WA non parallèles, les angles a et n sont égaux doi Ÿ LL MAC comme allernes-internes, ainsi que ec et fée AE n; donc EAN les nt A+ Si l’on considère les deux angles a et ONE URI m, les angles m el c étant Supplémentaires , m et a le sont aussi. ee . 44 2 Soient « et ec deux angles qui ont nn A+: les côtés perpendiculaires chacun à de let à chacun.

tt Menons OD’ et OE' respectivement 80.

Ta perpendiculaires sur OD et sur OE. On EURE! qe a a+n=1lrel a'+n— ur, d'où aa, être c De plus, les droites OD' et AF sont pa- ligne rallèles, comme perpendiculaires à Ja Un même droite OD:; il en est de même des plus | re —+* droites OE' et AG ; ainsi les angles a’ angle: —g ‘tesont égaux comme ayant leurs côtés 81. parallèles ; donc aussi ae. il est Les angles m et c étant supplémen- On laires, m et a le sont aussi. égaux liemarque, Le théorème pourrait s'énoncer ainsi : Deur angles de Un même espèce (aigus ou oblus) qui ont les cotés respectivement paral- 82. lêles où perpendiculaires Sont égaux; si ces angles sont d'espèce dif- sent férente, ils sont supplémentaires. =.

78, Scolie, 1° Les perpendiculaires abaissées d’un point quelconque M un Cù

extérieur à un angle sur les deux côtés, forment un angle égal au

marmrnmmn —

qui se coupent,

ance donnée 4 s lieux géomé-

rpendiculaires 2, Ou supplé-

es qui ont les iacun. Si l’on tre deux côtés Ln sont égaux insi que c el

angles a et sont aussi, ngles qui on

s chacun à

spectivement sur OE, On , d'où a=a", AF sont paulaires à la de même des es angles a’ t leurs côtés

supplémen- 2 angles de nent paral-

‘espèce dif-

lelconque M cle égal au