LIVRE III. — LES COURBES USUELLES

6. En désignant par «° ct b! deux demi-diamètres conjugués, et par V l'angle qu’ils forment, on a la relation : 4ab', sinus V —40b.

7. La somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués sur un axe quelconque égale le carré de cet axe :

OP°+OP'°—=4, et Pn°+ Pm°=p 8. La somme des carrés de deux diamètres conjugués égale la somme des carrés des axes : q'?—+ bp? — a° + v°, 9, Calculer les longueurs « et b des demi-axes, connaissant deux diamètres conjugués et leur angle.

10. L’ellipse a deux diamètres conjugués égaux : ils correspondent aux diagonales du rectangle construit sur les axes,

11. Pour une tangente quelconque à l’ellipse, le produit de l’abscisse du point de contact par l’abscisse du point où cette tangente coupe le grand axe ‘gale le carré du demi-grand axe,

12. Les axes d'une ellipse interceptent sur une tangente quelconqu. 4 : segments dont le produit égale le carré du demi-diamètre conjugué au diamètre qu point de contact.

13. Pour déterminer les axes d’une ellipse connaissant deux demi-diamètres conjugués OM et ON et leur angle MON, il faut mener par M une parallèle à NO,

élever la perpendiculaire MC=NO , faire passer une circonférence par CO et qui ait son centre sur DE, Les points D et E font connaître la direction des axes (exercice 12) ; puis on décrit une demi - Circonférence sur le diamètre OE ; la perpendiculaire MPA” donne OA'"=—& (exercice 11 ),

14. Sans recourir au procédé général, déterminer les axes lorsqu'on connaît les deux diamètres conjugués égaux, et leur angle,

15. En considérant l'ellipse comme la projection du cercle principal, et sans construire la courbe , mener une tangente : 1° par un point donné sur la courbe; 2 par un point donné hors de la courbe; 3° parallèlement à une ligne donnée : ct mener une normale : 1o par un point donné sur la courbe; 20 parallèlement à une ligne donnée,

16, La droite qui joint le point de concours de deux tangentes au milieu de la corde des contacts passe au centre,

17, On peut construire une ellipse par points lorsqu'on connaît deux diamètres Conjugués et leur angle.

18. La projection d'une ellipse sur un plan quelconque est une ellipse,

19. Le produit des distances des foyers à nne tangente quelconque est constant,.

20, Construire une ellipse avec les données suivantes : 1° Le centre, la longueur du grand axe et deux tangentes; 2° Le grand axe (position et longueur) et une tangente ;

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80 Un des foyers, une tangente, la direction du grand axe et la longueur 2 ; 40 Les deux foyers et le rapport des axes 2 ;

5o Un foyer, une tangente, le point de contact, et la longueur 24 ou la lon. gueur 2c;

60 Un foyer et trois tangentes;

7° Un foyer, deux tangentes, et l’un des points de contact :

80 Deux tangentes, les points de contact, et la droite sur laquelle doit se trouver le grand axe,

Sur l'hyperbole,

21. Deux hyperboles sont dites conjuguées lorsqu'elles ont les mêmes asymptotes et les mêmes axes; mais l’axe transverse de l’une d'elles est l'axe non trans. verse de l’autre, et réciproquement,

22. Dans l'hyperbole équilatère, tous les diamètres conjugués sont égaux; les parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués ont leurs sommets sur les asymptotes.

23. Le produit des distances des foyers à une tangente quelconque est constant,

24. Construire une hyperbolc avec les données des sept premiers Cas de l’exercice 20 sur l’ellipse.

Sur la parabole.

25, Les tangentes menées à la parabole par un point extérieur font des angles égaux avec la ligne qui joint ce point au foyer, et avec la parallèle à l'axe menée par ce même point extérieur; et la droite qui joint ce point au foyer est bissectrice de l’angle des rayons vecteurs des points de contact.

26. Les tangentes menées d’un même point de la directrice sont perpendiculaires l’une à l’autre, la corde des contacts passe au foyer, et la droite qui joint le foyer au point de concours des tangentes est perpendiculaire à la corde des contacts,

27. Pour tracer le balancier des machines à vapeur, connaissant la demi. longueur AP et la demi-largeur PM=—PN, on divise MP et AP en un même nombre de parties égales; on joint N à chaque point de division. Prouver qu'on obtient un arc de parabole,

On emploie aussi le tracé suivant : le sommet A est joint aux points 1,2 ,ete…. les points où ces lignes coupent les parallèles de même cote appartiennent à une parabole (n° 550).