II. — MÉTHODES DIVERSES POUR ÉVALUER LES SURFACES ET LES VOLUMES

Proposition V, — Théorème.

979, Le volume d'un COFPS Coupé par des vers laquelle tend la scmme des prisme construits sur les diverses sections.

Soit un corps quelconque ABC, divisé sons des prismes ou Cylinares ayant pour bases inférieures les diverses sections A, D,E, F, Le volume total des cylindres est plus grand que celui du corps CAB, -— Construisons des cylindres ayant pour bases supérieures les diverses sections, La somme des cylindres intérieurs est moindre que le volume cherché,

Mais le cylindre qui à pour hauteur A'D' égale le Cylindre DE; cylindre DÉ—EF, et cylindre E'F'— FG ; et la différence des deux sommes égale le Cylindre AD, Or cette grandeur peut devenir moind:° que toute quantité donnée, il suffit pour cela que l'axe soit divisé en un nombre de plus en plus grand de parties égales; les deux sommes tendent donc vers la même limite; aussi se

borne-t-on à considérer une seule série de cylindres, soit les intérieurs, soit les crtérieurs,

Plans équidistants est la limite S OU cylindres droite à base quelconque

par des plans équidistants ; construi-

80. Scolie. On prouve d'une manière analogue peut être regardée comme la limite vers laquelle tend la somme des rectangles extérieurs tels que ABCD, aussi bien que la somme des rectangles intérieurs, tels que DCHG. La différence des deux sommes égale VNMP, quantité qui tend vers zéro quand on divise AP en un nombre indéfiniment croissant de parties égales,

Lorsque la surface AFMP tourne autour de l'axe AP, elle engendre un corps de révolution ; chaque rectangle, ABCD par exemple, engendre ayant AD pour hauteur et AB pour le corps de révolution est la limite ve la somme des cylindres formés somme des cylindres engendré

que la surface plane AMP

un cylindre rayon de base :

rs laquelle tend par les rectangles extérieurs, aussi bien que la S par les rectangles intérieurs,

581. Les considérations précédentes sont confirmées par les résultats algébriques suivants (voir l'algèbre par F, P, B,) :

Quand à croît indéfiniment , HI,

FR—1)+ 7 n° 1H2H3.,+(n—1) n°?

+ Sn Î / la fraction OÙ — à pour limite 12»

et à aussi pour limite 1/9,

sens de $ segments déterminés par des plans per-

1+4+9.,.+(n—1)+ nn: Sn* ——— + où 55 & pour limite l'3

et n° "1 1 a aussi pour limite 1/3,

La fraction

Sn est la somme des n premiers nombres consécutifs, et Sy? la somme des carrés des x premiers nombres, Ainsi, la somme des carrés des (n-—1) premiers nombres, étant divisée par n', a même limite, 1/3, que la somme des carrés des n premiers nombres, divisée par n°,

Généralement, la considération des cylindres ou des rectangles intérieurs (nos 579 et 580) donne un terme de moins à la sommation que la somme des cylindres ou des rectangles extérieurs; mais la limite ne change point,

Voici des exemples de la méthode de sommation appliquée à des surfaces ou à des corps connus.

582, Aire du triangle ACD.

Divisons la hauteur en » parties égales; par les points de division, menons des parallèles à la base ; et formons les rectangles extérieurs,

; h Chacun &'eux a pour hauteur —:;lelera pour base n

EF AE IJ AI OF: — = — le û ——=—, Mai:

EF; or CD 10 AG de même b Ac Mais AE est la nieme partie de A, AI égale 2 fois la nieme AE 1 I 2 partie de X,etc.; ainsi = 4 À = —, etc. Donc h R Oh n

IJ 2 e 2b =, d'où EF=?; de même — : d'où 1J — ri et généralement, la

n—1)0 5 nb base MN de rang (n — 1) égale ( 7 ; enfin CD peut s'écrire =

Le 1er rectangle = EF X AE =

2 h Le 2e =UXH=T. =

bh .n°

—1)0 L'avant-dernier = MN X Le = Cu 22 "= () (17 iè nm

Et le dernier =D OM =", # nn ni n°

La somme de ces rectangles égale, en mettant b en facteur commun

nu VI BAPE een Teth,i ou 3 (ne58t) n° 2

583, Volume du cône.

Divisons } en # parties égales, et cherchons la limite de la somme des cylindres formés sur les diverses sec-

2R tions. Le 1er rayon AB = ë, le 2e CD = ii et ainsi de

suite.

Le 1e cylindre a pour volume TAB*>X SA R? À ou R— -.—— non

Yabolo:

de mên

Soie ties êge Cylindr les dive

ÀB a

ler cylin

pour limite 1/3

lg la somme des carrés S (n—1) premiers omme des carrés des

ectangles intérieurs à que la somme des ange point,

e à des surfaces où

ties égales; par les arallèles à la base, l'8,

'; le 1er a pour base E

10 Pi. Mais gale 2 fois la nieme

43 ; ete. Donc ho n

: généralement, la

rire —

ir commun :

(no 581)

herchons la limite les diverses sec-

— ue et ainsi de n