DIVERSES LES VOLUMES

JES

ORMENT

engendrée par la rotaqu'elle rencontre en un

gente à une génératrice, le plan est perpendicudeux sphères tangentes

- Théorème,

par un plan qui rend'une même nappe est

ungentes au cône et au rs prendre perpendicuoient AA l'intersection plan sécant, AMA' la es demi - circonférences

ne M de la courbe aux menons la génératrice MF sont égales comme oint à la même sphère:

F + Ml = CC =D, tion est une ellipse.

arullèle à une généru-

vec le plan sécant pa-

Inscrivons une shpère tangente au plan sécant et au cône, Le plan du cercle de contact BEB’ est perpendiculaire à l'axe, et rencontre le plan sécant AM suivant une droite DN perpendiculaire au plan du méridien principal,

Par un point quelconque M de la courbe, menons un plan MCC’ berpendiculaire à l'axe, et la droite MN parallèle à DP,

Les droites MF et ME sont égales comme tangentes menées d'un même point à une sphère; or ME = CR = DP, sa parallèle; mais DP égale MN; par suite MF = MN; donc {& courbe est une para-

bole, car ses points sont également éloignés de la droite DN et du point l si. tués dans son plan.

Proposition XII. — Théorème.

572. La section d'un cône de révolution par wi plan qui Coupe les deux nappes est une hypervole.

Faisons des Constructions analogues à celles qui ont été faites pour l'ellipse (no 570), Les lignes MC’ et MF sont égales comme tangentes menées d’un même point à une sphère; de même MC=—MrF; or MC'— MC—CSC' = DSD', quantité constante, Donc 1a section est une hyperbote.

573. Scolie. La démonstration ci- dessus s'applique à tous les Cas où le plan rencontre les deux nappes,

Considérons spécialement le cas où le plan sé- Cant est parallèle à l'axe du cône.

Les deux sphères sont égales, le triangle ASA' est isocèle, et la perpendiculaire SO, abaissée du sommet du cône sur le plan, divise AA'ctFF' en deux parties égales; done AO — a, FO= 6,

Joignons le centre V au point de contact D SDV sont égaux, car l'angle aigu A — S, et SO = py — DV; donc AS=—$y — OF'; ainsi AS égale la demi-distance focale, égale e * €t puisqu'on à OS = AS° — 40° — — &*, la perpendiculaire OS =D}; donc {a distance de l'ave du cône au Plan sécant est la valeur du demi-axe NON l'ansverse de l’'hyperbote déterminée par ce plan sécant.

; les triangles rectangles AOS et,

Proposition IV, — Théorème,

574, L'hyperbole a pour équation LY° — Dr? — — a°b?

Prenons pour axe des # l'axe tr pour axe des y une perpendiculaire menée à AA au point O, dans le Plan sécant, Par 1 menons le plan NSN’ Parallèle au plan sécant ; Par un point M auelconque de la courbe, menons, bérpendiculairement à l'axe, le plan HMH, qui coupe le ant un cercle HMIX,

‘axe du cône

cône de révolution sui-

On a VN—=VM=VH,etc.; PM est l’ordonnée, et PO l'abscisse du point M; et la distance PV=OS— (no 578),

Dans le cercle, MP ou y et NV sont perpendiculaires au diamètre ; et le triangle MPV, rectangle en P, donne la relation

MP°—=MV*— PV? ou = HV" — b:

Les triangles semblables HSV et ASO donnent les rapports égaux ; HV: SV * ou x° —

ee = - d'où HV*=— OS" ou D AO° ou a* a?

donc - OÙ Gyÿ — d'a = — °°

a? y° En divisant tous les termes par -— &°b?, on écrit aussi : mes,

2 112 575. L’hyperbole équilatère a pour équation RS ni OÙ 2° -—- y =,

L'hyperbole équilatère est aux hyperboles qui ont même axe transverse, ce que le cercle principal est aux ellipses qui ont le diamètre pour grand axe.

Définitions.

576, On appelle ellipsoïde le volume engendré par la révolution complète d'une demi-ellipse autour de l'axe qui la limite,

Une cllipse donnée peut engendrer deux corps différents : l'ellipsoïde allongé et l'ellipsoïde aplati,

L’ellipsoïde allongé est formé par la rotation d'une demi-ellipse autour du grand axe.

L'ellipsoïde aplati est formé par la rotation d’une demi-ellipse autour du petit axe,

577, On appelle Ayperboloïde le corps engendré par la révolntion complète d'une demi-hyperbole autour de l'un de ses axes,

L'hyperboloïde à une nappe est formé par la rotation d’une branche MAM! autour de l'axe non transverse,

L'hyperboloïde à deux nappes est engendré par la rotation des demi-branches AM et A'M' autour de l'axe transverse ; il est composé de deux parties séparées,

Le cône asymptote est le solide formé par la révolution complète d’une asymptote autour de l’axe de l'hyperboloïde.

L’hyperboloïide à une nappe enveloppe son cône asymptote, tandis que le cône enveloppe l'hyperbototäe à deux nappes.

578. Le paraboloide de révolution est le corps engendré par la révolution complète d’une demi-parabole autour de l'axe de la courbe,

0 l'abscisse du point M; ires au diamètre; et le

— pports égaux

1 ou & -— y = 4:

ême axe transverse, ce re pour grand axe.

‘volution complète d'une

nts : l’ellipsoïde allongé

emi-ellipse autour du

-ellipse autour du petit

a révolntion complète 1 d’une branche MAM tion des demi-branches deux parties séparées,

complète d’une asym-

ote, tandis que le cône

dré par la révolution Je,

Les hyperboloïdes et le Paraboloïde s'étendent indéfiniment dans le l'axe de rotation ; nous considèrerons le pendiculaires à l'axe.