LIVRE Il, — LA CIRCONFÉRENCE

1° Soient AMB et CND deux arcs égaux; menons les rayons OA, OB, OC, OD.

Les deux ares AMB et CND étant égaux, les angles au centre AOB et COD le sont aussi (n° 106); donc les triangles AOB et COD sont égaux comme ayart un angle égal en O, compris entre des côtés égaux: ainsi AB égale CD,

29 Soit l'arc AMB plus grand que CND; menons les rayons OA, OB, OC, OD.

Puisque l'arc AMB est plus grand que CND, l'angle au centre AOB cest aussi plus grand que COD (n° 106); ainsi les deux triangles AOB et COD ont deux côtés respectivement égaux, et l'angle compris AOB plus grand que COD ; donc le troisième côté AB est plus grand que CD (no 50).

Donc, dans un même cercle ou dans.

108. Réciproquement : Dans un méme cercle où dans des cercles égaux :

1° Deux cordes égales sous-tendent des ares égaux; car si ces arcs élaient inégaux, les cordes seraient aussi inégales (n° 107, 2),

2 Une plus grande corde sous-tend un plus grand arc; car si les arcs élaient égaux, les cordes seraient aussi égales ; et si le premier arc était plus petit que le second, la première corde serait plus petite que la seconde, ce qui est contraire à l'hypothèse...

109. Scolie, Dans toutes ces relations, il ne faut considérer que des arcs moindres que la demi-circonférence : si un arc dépasse la demicirconférence, à mesure qu'il augmente, sa corde diminue.

Proposition VII. — Théorème.

110, Tout rayon perpendiculuire à une corde divise celte corde et l'arc sous-tendu en deux parties égales.

Soit le rayon OD perpendiculaire à la corde AB; menons les rayons OA et OB, et les cordes DA et DB.

1° Par rapport à la droite AB, les rayons OA et OB sont des obliques égales ; donc leurs pieds A et B sont équidistants du pied © de la perpendiculaire (ne 38), et l'on a CA —CB.

2 Les cordes DA et DB sont deux obliques égales, comme ayant leurs pieds équidistants du pied de la perpendiculaire {n° 37, 2); ces cordes étant égales, les arcs sous-tendus DA et DB sont écaux (n° 108). =

Donc tout rayon perpendiculaire...

111, Scolie, La droite OD remplit quatre conditions, dont deux suf-

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fisent pour la déterminer; et cette remarque fournit six propositions, que l'on peut établir séparément, mais qui se trouvent toutes démon- {ées par l’une quelconque d’entre elles :

4 Tout rayon perpendiculaire à une corde divise celle corde et l'arc sous-lendu en deux parties égales ;

2 Toute perpendiculaire menée par le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de l’ure sous-lendu ;

3 Toute perpendiculaire abaissée du milieu d'un are sur la corde, passe au milieu de cette corde el au centre du cercle;

4 Tout rayon mené par le milieu d'une corde, passe aussi par le milieu de l'arc sous-lendu, et est perpendiculaire à la corde ;

Bo Toul rayon mené par le milieu d'un arc est perpendiculaire au milieu de la corde qui sous-lend cel arc;

Ge Toule droite menée par les milieux d’une corde et de l'arc soustendu, passe aussi par le centre el est perpendiculaire à la corde.

Ces propriétés sont vraies pour les deux ares que sous-tend une même corde.

C 112. Corollaires. 1° Pour diviser un arc | donné en deux parties égales, il suffit d'élever une perpendiculaire au milieu de la corde qui sous-tend cet arc;

20 La perpendiculaire indéfinie CD menée par le milieu d’une droite AB, est le lieu des centres des circonférences qui passent par les extrémités À el B de celle droite.

Proposition VIII. — Théorème.

113. Par trois points donnés non en ligne droile, on peul faire passer une circonférence, el on ne peut en faire passer qu'une.

Soient À, B, G, trois points donnés non en ligne droite. Il s’agit de prouver qu’il existe un point équidistant de ces trois points, et qu'il n’y en a qu’un seul, Menons DE perpendiculaire au milieu de AB, FG perpendiculaire au milieu de BC, puis la droite DF.

L'angle m est aigu, comme étant moindre que l'angle droit EDB; il en est de même de l'angle n.

La somme des deux angles intérieurs m et n est donc moindre que deux angles droits, et les droites DE et FG se rencontrent (n° 73).

4° Le point commun O appartenant à la première droite DE, est équidistant de A et de B (n° 39); ce même point O appartenant à la seconde droite FG, est équidistant de B et de C. Ainsi les trois distances OA, OB, OC, sont égales; et la circonférence décrite du point O comme centre, avec OA pour rayon, passera par les trois points À, B, C (n° 9), æ),

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