LIVRE 11, — LA CIRCONFÉRENCE

point O à la droite AB. Ainsi cette ligne OC est perpendiculaire à AB,

el réciproquement la langente AB est perpendiculaire au rayon OC. Donc loute droite tangente à une circonférence,..

121. Corollaires. 1° Pour mener une langente en un point donné d'une circonférence, on élève une perpendiculaire à l'extrémité du rayon qui aboulil à ce point;

2 Par lout point donné sur une circonférence, on peul mener une tangente, el une seule ;

d La perpendiculaire abaïissée du centre Sur une langente aboutit au point de contact ;

4 Le lieu des centres des circonférences décrites avic un rayon donné a langentiellement à une droite donnée AB, se compose de deux droites parallèles à AB, et situées de part et d'autre à une distance égale au rayon donné.

Définitions.

122. Une droite est normale en un point d'une courbe, lorsqu'elle est perpendiculaire à la langente menée par ce même point.

Une droite est oblique on un point d'une courbe, lorsqu'elle est oblique à la langente menée par ce même point,

En chaque point d'une circonférence, on peut mener une normale, el on n'en peut mener qu'une; el celle normale passe par le centre.

La distance d’un point quelconque à une rirconférence est repr'é— sentée par une droile normale à cette circonférence (n° 103 et 104).

Proposition XI. — Théorème.

123. Deux droites parallèles interceplent sur la circonférence des arcs C{AuUr,

1 Soient les parallèles AB et CD. E I F Menons le rayon OI perpendiculaire à AB, et par suite à CD {n° 68). Le point l sera le milieu de l'arc AIB, et en même lemps le milieu de lare CID (no 110), on a donc : IA —1B

d'où en retranchant membre à membre AC= BD.

2 Soit la corde CD parallèle à la tangente EF, Le rayon OI men“ au point de contact est perpendiculaire à la tangente EF (ne 120), et par suile à CD; il divise donc l'arc sous-tendu CID en deux parties égales ; % Soil enfin le cas de deux tangentes parallèles EF et GH. Me-

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nons une corde quelconque AB parallèle à EF, et par suite aussi à

GH. En vertu de ce qui vient d'être démontré, on a : IA —1B MA—MB d'où, en addilionnant membre à membre [AM —1JBM.

Donc deux droites parallèles interceptent…

124. Scolie. Si deux tangentes EF et GH sont parallèles, les rayons OT et OM menés aux points de contact sont en ligne droite, Car le rayon OT, perpendiculaire à EF, est aussi perpendiculaire à GH, et se confond par conséquent avec OM (ne 56).

125. Définitions. Deux circonférences sont fangentes lorsqu'elles se touchent en un seul point. Quand elles se coupent, elles sont sécantes.

Proposition XII. — Théorème.

126. Si deux circonférences ont un point commun en dehors de la ligne des centres, elles ont aussi un autre point commun symétrique du premier *,

Soient O et C les centres de deux circonférences, et soit A un point commun, en dehors de la ligne des centres. Menons AA’ perpendiculaire à OC, et faisons DA'= DA. Il s'agit de prouver que le point A', symétrique de À par rapport à OC, est commun aux deux circonférences.

Menons OA, OA', CA, CA’. Par suite des constructions, la droite OC est perpendiculaire au milieu de AA'; donc (n° 39) OA’ égale OA, rayon de la première circonférence; de même CA’ égale CA, rayon de la deuxième circonférence, Ainsi le point A appartient aux deux circonférences (n° 99, 3)

Donc si deux circonférences ont un point

127. Corollaires. 1° Si deux circonférences se coupent, la distance des centres est plus petite que la somme des rayons, el plus grande que leur différence. Car, dans ce cas, on peut construire un triangle AOC avec les deux rayons et la ligne des centres (ne 30);

2 Si deux circonférences sont tangentes, le point de contact est sur lt ligne des centres. Car s’il était en dehors de cette ligne, il y aurait un autre point commun symétrique du premier, et les deux circonférences seraient sécantes ;

3° Si deux circonférences sont langentes, la perpendiculaire élevée sur la ligne des centres par le point de contact es! une tangente commune auz deux circonférences.

128. Scolie. Deux circonférences peuvent occuper, l’une par rapport à l’autre, cinq positions différentes :

* Deux points sont symétriques par ‘apport à une droite lorsque cette droite est perpendiculaire au milieu de la ligne qui joint les deux points.

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circo démt dista la d' circo èlre res , | extér donc ment centr déeril a, ta donn

Jar suite aussi à IA—1B MA—MB

IAM —JBM.

lèles, les rayons e droite, Car le ulaire à GH, et

s lorsqu'elles se es sont sécanles.

en dehors de la nun symélrique

{soit À un point de la lisne des perpendiculaire = DA, Il s'aoit oint A’, syméport à OC, est rconférences, CA, CA’, Par is, la droite OC umilieu de AA': rconférence; de e, Ainsi le point

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