LIVRE I

Tangentes, — 8, Deux droites sécantes ou tange

Interceptent sur une même circonférence de 9, La tangente mence

sous-tend cet arc,

10, Los tangentes extérieures Communes à de sur la direction dos centres; etilene S intérieures,

11, SI l'on mène les trois tangentoes Communes à deux cercles tangents l'un à l'autre, la tangente interne rencontre chacune des doux autres à égale distance des points de Contact,

12, Les rencontres des bissectrices extérieures d'un

centres à des cercles tängents aux trois côté 13, Les bissectricos de

ntes, qui, sans se Couper,

EAUX, sont parallèles, urc est parallèle à la

s arcs Par 10 milieu d'un corde qui

UX Circonférences se

rencontrent st de inôme dos tangente

triangle servent de s (on les nomme cercles ex-inscrils), S angles extéricurs Ton triangle forment entre elles Un nouveau triangle dont les hauteurs Contcudent avec les bissectricos intérieures qu premier triangle,

14, Les trois hauteurs d'un tri pour sommets les pieds de

15, Dans tout quadri] égale à la somme tére est tel que 1 autres côté

angle ss'vent de bis Ces Môêmes ha 1te:

aätore Circonscrit, la somme des deux autres côtés, Î ä somme de deux cô S, Ce quadrilatère « 16, La circonférence inscrite à un triangle décompose le segments égaux deux à deux; et chaque segment ége minué du côté non-adjacent.

17, Dans un triangle rectangle, somme des diamétres des

‘rices au triangle qui a

deux côtés opposés est ‘“quement, si un quadrila-

tés oppo s soit égale à la somme des deux st Circonscriptible,

Périmètre en 6 ile le demi-périmètre d1.

la somme des côtés de 1

‘angle droit égale la deux circonférence

S inscrite et circonscrite,

Mesure des angles, — 18, Si deux circonférence des points d'intersectton on mène un diamètre qui joint les extrémités de ces diamètres passe des deux Circonférences, et cette droite est

19. Toute sécante menée par langentes détermine des semblables },

20, Si deux séc:

tangentes

8 se Conpent, et si par l'un de part et d'autre, la droite par le second point d'intersection double de ja distance des centres, le point de Contact de denx circonférences arcs opposés d'un Même nombre de degrés (ares

intes se croisent » leS cordes qui joig 21, Si deux circonfére tion,

au point de contac NENT icürs extrémités so nces se coupent » CE Si, par l'un des points d'intersecon mène une sécante Mobile, la somme des arcs situés d'un même côté de cette sécanto est Constante, quant au nombre de degrés,

22. Une sécante mobile étant menée par deux Circonférences, les droites qui joignent l'autre point d’interseetic deux extrémités de Ja sécante forment entre elles un angle Constant.

23. Si deux sécantes se Coupent en l’un des points d'intersection de de Conférences , les cordes

S qui joignent leurs extrémités forment , gements,

t de deux Circonférences it parallèles,

l'un des points d'intersection de

nn aux

uXx cirpar Icurs prolonun angle Constant, 24, Dans un même cercle, bales d'un trapèze isocèle, 25, Dans un môê côtés non-paratié

deux cordes égales qui se coupent sont les diagome cercle, deux Cordes égales qui ne se coupent pa les d'un trapèze isocèle, 26, Les Circonférences décrites des tr les points de contact qu cercle inscrit 27, Tout pParallélogramme inscrit à un cercle est un rectangle, 28, Tout trapèze isocéle st insCriptible.

29, Si du Milieu de l'arc SOUS-tendu par une Corde on mène & si l’on joint leurs extrémités, et un Quadrilatère inscriptible,

S sont les

ois sommets d'un triangle et passant par sont tangentes deux à deux,

deux autres cordes on forme deux triangles

LA CIRCONFÉRENCE bg

80. Un angle quelconque étant: formé par deux tangentes à une même circonférence, si l’on mène une troisième tangente mobile du côté du sommet, le triangle ainsi formé a un périmètre constant, — Et l'angle au centre sous lequel sera vue cette troisième tangente sera constant, —- Examiner le cas où l'on ménerait la tangente à l'opposé du sommet,

31, Si l'on prolonge un côté quelconque d'un triangle de ce qui lui manque pour égaler le demi-périmètre, l'extrémité du prolongement est le point de contact de l'un des cercles ex-inscrits,

32, Si l'on mène une sécante commune par le point de contact de deux circonférences tangentes, les tangentes menées par les extrémités de cette sécante sont parallèles,

33, Si l'on mêne une sécante mobile par l'un des points d'intersection de deux circonférences sécantes, les tangentes menées par les extrémités de la sécante mobile font entre elles un angle constant,

34. Étant donné un quadrilatère, si l'on mène des circonférences tangentcs aux côtés pris trois à trois, les quatre centres ainsi obtenus sont les sommets d’un quadrilatère inscriptible,

35, Si un cercle se meut tangentiellement à l’intérieur d'une circonférence dc rayon double, un point quelconque de la circonférence mobile décrit un diamètre de grand cercle,

36, Théorème de Bobilier et Chaste, Si une figure plane se déplace d'une manière quelconque dans son plan, elle peut être amenée d'une position à l’autre par une rotation autour d'un centre convenablement choisi sur ce plan.

Lieux géométriques à trouver.

1. Lieu des centres des circonférences tangentes en un point donné d’une droite ou d’une circonférence,

2, Lieu des centres des circonférences tangentes à deux droites qui se coupent,

3, Une corde d’une longueur donnée se meut dans un cercle; quel est le lieu décrit par son milieu ?

4, Lieu des points d'où une droite donnée est vue sous un angle donné,

5. Une droite d'une longueur donnée se meut parallèlement à elle-même, en conservant l’une de ses extrémités sur une circonférence donnée, où sur un polygone donné; quel est le lieu décrit par l’autre extrémité ?

6. Lieu des milieux des cordes qui concourent en un même point,

7. Lieu des points d’où les tangentes menées à une circonférence donnée sont d'une longueur donnée,

S. Lieu des points d'où un cercle est vu sous un angle donné,

9, Lieu décrit par le milieu d’une droite finie, qui se meut dans un angle droit, de manière que ses extrémités glissent sur les côtés de l'angie.

10, Un triangle a pour base une corde fixe d'un cercle, et le troisième sonimet se meut sur l'arc sous-tendu; quel est le lieu décrit par le point de concours des bissectrices du triangle mobile? — Quel est le lieu du point de concours des hauteurs de ce r'ême triangie ?

11, Lieu des centres des circonférences décrites avec un rayon donné, et qui interceptent sur une droite donnée des cordes d'une longueur donnée,

12, Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d'eux aux trois côtés d’un triangle équilatéral soit égale à une longueur donnée,

Probièmes,

1, Par un point donné, mener une droite qui passe à égale distange de doux pu üts donnés.

Shialssice

la :

tan non

donr long deux tant 20, cées ( le mt murs laire 22; tombe côté e ctle c

sonim(

tes à une même ciran côté du sommet, le au centre sous lequel uminer le Cas où l'on

de ce qui lui manque nent est 1e point de

contact de deux cirnités de cette sécante

l'intersection de deux rémités de la sécante

conférences tangentes nus sont les sommets

l'une circonférence de mobile décrit un dia-

se déplace d'une maine position à l’autre Jisi sur ce plan,

1 point donné d'unc \ deux droites qui se rele; quel est le lieu

an angle donné,

1ent à elle-même, en 2 donnée, ou sur un ité ?

ième point.

onférence donnée sont

e donné, è meut dans un angle ; de l'angie, 3 , ét le troisième som- Ë r le point de concours du point de concours

rayon donné, et qui ieur donnée, de chacun d'eux aux eur donnée,

gale distange de deux