FIGURES SEMBLABLES
triangles ARC ot DEF, tels que l'on ‘ el menons GH parallèle - triangle DGH est semblable à DEF, é des deux triangles ABC et DO,
La similitude de
et il suffit de prouver
S triangles DGH et DEF donne 21 = DU = “u£ Or, comme DG= AB, le premier ‘st le même que le premier dos lois rapports don apports sont égaux de part e urs sont respecti- Vement égaux dans lue deux suiles, les Nümnérateurs le sont aussi : AC= DH, BC GH, Donc les deux triangles ABC el DüH sont égaux comme ayant les trois côtés respectivement égaux.
191. Scolie, Les {rois vas de similitude qui viennent d'être élablis entre les trian les, présentent une analogie remarquable avec les trois eus d'égalité {no 17). Daus la démonstration de chaque cas de similitude, le cas d'égalité correspondant a été appliqué entre le triangle donné ABC et le triangle auxiliaire DGH,
de ces trois rapports « ints; donc les autres r L d'autre ; et Puisque les dénominate
Proposition XI, — Théorème,
192. Deux ! angles qui ont 8 cûlés respeclivement para l- (les ou respectivement perpen- «laires il semblables.
Duiont ABC et A'B'C' deux triangles: qui ont les c. 8 respeeli\ ent parallèles ou res-
pecti ment pe suilit de pr équiangles en
Deux angles qui parallèles ou
ndiculaires, Il qu'ils sont IX (no 190),
on les côtés Perpendiculaires chacun à chacun sont égaux, ou supplémentaires F0977:); On a donc A — A'
ou bin A
B=B" où bi h
—9 droits,
= C’ ou bien C+C'—9
= 2 droits.
is hypothèses suivantes :
=2 droits, (
Et si l’on ne peut faire que l’une des tro 10 A + A' lroits, B + B'
+ C=9 droits:
20 A —=A B+B = 2 droits, C+C'=—2 droits:
B = B, d'où résulte C = ( 1e donnerait 6 droits pour la son ; la seconde donnera ible,
» deux triangles qui ont le
ime de it plus de 4 droits; la
s côlés, .
Scolie, Dans ces triangles, Les côtés moiogues sont parallèles où
ÉLÉMENTS DE GlOMÉTRIE
ji Proposition XII, — Théorème,
; 193. Deux polygones réguliers d'un méme nombre de côtés sont sem-
blables,
“is
ee
1: Soient P et P' deux polygones réguliers de n côtés, N s'agit de LEE | ‘ prouver que les angles sont DE respectivement égaux, et que | Pin | les côlés homologues sont KO dans un même rapport, | ak 19 Dans chacun de ces po- { RE à lygones, la somme des angles e a dépend du nombre n des côtés I Li {| (n° 86), et celle somme égale GE (n—2)2 droits; et comme I VE tous les angles de chaque polygone sont égaux, chacun de ces angles à égale (N—2) 2 droits, L F 20 Les côtés a, b, e,.… du premier polygone élant égaux entre F À eux, aussi bien que les cûlés 4, b', c'.. du second, on a identique- tr (22 b C œt ment: -=;= 7, a b 0 Donc, deux polygones réguliers...
194. Corollaire, Deux cercles quelconques sont deux fiqures sem da blables, Car ces cercles sont les limites vers lesquelles tendent deux 80 polygones réguliers semblables, | dans lesquels le nombre des F" côtés augmente indéfiniment. — Ne : Et les cercles eux-mêmes peu- vel ‘n vent êlre considérés comme des | 1 15m polygones réguliers d'un nomn- ! B - M à bre indéfini de cütés. ÿ r' je" Pour justifier cette considé | el ralion, concevons un polygone Î 2 à. régulier de 860 côtés dans un cercle de 1 000 mètres de rayon ; le côté Re «| du polygone aura pour longueur 17" 459 07, et l'arc sous-tendu fé les JIEN aura 17% 453 29; ainsi ces deux longueurs ne diffèrent que de 22 cen- [M Ka] lièmes de millimètre les | s Dans deux cercles quelconques, on appelle ares semblables, ser y 4 teurs semblables, segments semblables, des arcs, secteurs ou segments, À el, . id qui correspondent à des angles au centre égaux. :
ù Proposition XIII. — Théorème. ains EX 195. Deux polygones semblables peuvent élre décomposés en un mêém 3 même nombre de triangles semblables chacun à chacun, et sembla- À Do “ blement disposés. 19° Soient P ct P' deux polygones semblables. De deux sommets ho- pelle
é: mologues A et A’, menons les diagonales AC, AD, A'C', A'D'. II faut
re de côtés sont sem-
côlés, IE s'agit de ue les angles sont ment égaux, et que
homologues sont ième rapport, chacun de ces poa somme des angles nombre n des côlés L celle somme égale droils; et comme hacun de ces angles
élant égaux entre id, on a identique-
deux fiqures sem uclles tendent deux œuliers semblables, ls le nombre des nte indéfiniment, — s eux-mêmes pertisidérés comme des iquliers d'un nonde côtés.
fier cette considé evons un polygone s de ravon ; le côte l'arc sous - tendu ent que de 22 cen-
s semblables, secleurs ou segments,
lécomposés en un acun, et semblu-
[eux sommets ho- A'C', A'D". II faut
Pr Ha rt
prouver que les triangles F F", G', H' Les deux polvgones étant
E’ semblables, leurs angles sont b respectivement égaux, el
leurs côtés homologues sont A .
dans un même rapport (n° 188); donc les deux triangles F et F' sont sem- b v B’ blables comme ayant un angle égal (B=B") compris entre des côtés et il en est de même des triangles H et H', militude des triangles G et (x.
Les triangles F et pr étant semblables, l'angle #2 l'angle total C — ‘, il en résulte s=s', Ces même
blables F et F’ donnent la proportion AB AC
AP AT; ct les polygones
> at D’ 5 AB CD AC __ CD P et P' donnent AB = CD; d'où AC = ED:
triangles G et G' sont semblables comm compris entre des côtés Proportionnels, Donc deux polygones semblables peuvent...
196. Réciproquement : Deux de triangles semblables chacu sont semblables.
Soient P et P' deux polygones composés des triangles F, G, H, F", G', H', semblables chacun à chacun, et semblablement disposés, Nous allons prouver que ces deux polygones ont les angles respectivement égaux, et les cotés homologues dans un même rapport,
1 De la similitude respective des triangles, il résulte que l'angle =D, n,8= 6: d'où »+s ou C égale (i ivalité des angles Det D', A et A’.
donnent SE. BC AC,
: 7: es Us eu
AO CD 245 À CODE #TD ; , AD __ DE \E les triangles H e Tr = = Le es triangles H et II AD DE =ŸE $ rapports communs, on a
