LXXV
El
Les deux relations
El
(ç -\- m -h- ni z\ STi — i — 'â; = 5:
((^ H- m H- /it)
= (,)« |4^=(-0'»Ei(f:U)
El
OÙ m, /t sont deux entiers quelconques, se déduisent sans peine des formules (XXXIV). En supposant m pair et en remplaçant i', m, T par 2V, 2 m, 2t, on obtient les relations
1(5) E\{v -i- m -4- /iT, t) = El(p, t),
dont la première met bien en évidence la double périodicité de la fonction El.
En remplaçant sn(a, k) par sa valeur
on peut mettre la relation
j dStïU /r T r-; =- r ;
cnudnu= —-z — = y{i — sn* m ) ( i — A:* sn» u )
du sous la forme
""'*"" = 7ii^-à^ = \/-P^K^'0-^^K'''ï)
LB8 QUOTIENTS DBS FONCTIONS 0* ET DES FONCTIONS 3r. I91
OÙ Ton a posé ( ^ ) avec Jacobi (LXXV7) P = ^-*-i'
la formule d^ addition de la fonction elliptique EW(^,-j s'en déduit facilement : si x^y^ z désignent les trois fonctions
a? = El^(;,^V ^ = El^iv,^), 4f = El^PH-iv,^V on a
(LXXVg) z =
315. En terminant ce paragraphe, indiquons, relativement aux fonctions 3^, d'autres notations qui ont un grand intérêt historique, qui sont souvent commodes, et dont nous aurons à faire usage.
En conservant auK quantités K et K' la signification donnée par les formules (LXXIs 4), posons
