LXXXIX

S^T. Les formules concemaDt la multiplication, par un nombre entier impair, de l'argument des fonctions elliptiques sn, en, dn, peuvent être déduites de diverses manières des formules précédentes concernant la transformation de A' en / et celle de k en X. En tenant compte des formules (LXXIe.s) et (LIV), on obtient, par de simples divisions, les relations

(I) (-1)» sn(/iw) = (-i)"'* (/^)"*~'U8n(aH-a^v), (XC) / (2) cn(/iM) = ( -7=; ) JX ^'*(" -*- «H^'v),

(3) dn(/ia) = (-iy) -p-^||dn(tt-t-a,j^v),

où les indices r, [x, v parcourent les valeurs

r= /'i, r,, ..., Tn-i.

JX = o, ri, rj, . . ., Tn-i, V = o, ri, Tj, ..., r^-t.

On peut mettre ces relations sous une forme où ne figure pas le

facteur ( — \Y^ . Il suffit pour cela de prendre, par exemple, pour le système de nombres o, Ti, r2, . . ., rn^\ le système de nombres

o, ±: I , dz 2, . . . , zh • Mais on parvient aussi à ce résultat

en prenant, pour le système de nombres o, Ti, i\y ..., r„x^ le système de nombres o, 2, 4? •••, ^('^ — 0» ^^ ^^^^ aisément que Ton a alors

(-1)» sn(/tii)= Ukf"-' J|8n(w-r2at,,v),

cïi{nu)= (-j^,\ JJcn(M-{-'2ajjt,v),

dii(7iM)= i-j^A JJdn(a-4-2a,4,v),

LES QUOTIENTS DBS FONCTIONS ^ ET DBS FONCTIONS ^. 227

OÙ les indices [x, v parcourent les valeurs [x = o, i, 2, ..., n — i;v=o, 1,2, ...,/i — I. Les seconds membres de ces dernières formules ne changent pas quand on y remplace [x par [x-j-zi ou V par V H- ^; ces égalités restent donc vraies quand les indices |x et V parcourent les valeurs a = Tq, ri , r2, . . . , r«i ; v = rj,, r\ , r^, . . . , r^,, les n valeurs que prend jx étant incongrues (mod. n), de même que les n valeurs que prend v.

Le lecteur ne manquera pas de remarquer que Ton aurait pu

se débarrasser de la même façon du facteur ( — i)^'*' dans plusieurs des formules précédentes.

348. Pour obtenir les expressions desn(/iw), cn(nw), dn(/ia)en fonctions rationnelles de sn^e^, il suffit de prendre, dans les formules (XC|3), pour les nombres o,ri,r2, ...,r;,i, les nombres o, zhri, db /"t, .-M =t /•;,, et d'appliquer les formules (LXXIV).

On obtient ainsi, pour la fonction sn, la relation

sn'tt

"^ sn(a) ^-^ ' XX '^' AA I — A-* sn*aa,vSiHa

où l'indice [x prend les valeurs o, ri, r^^ . . . , r„, et où, à la va-

leur |x = o, correspondent les valeurs v = r, , /'a, . . ,, /\,, tandis

qu'aux valeurs [x = /|,/-2, . . . , r„, correspondent les valeurs v=o, dzr,, ih/„ . .., dzr„i.

Pour II = o, on en déduit l'égalité

on a donc

sn*a

(XC4) sn(/iw) = /isn£^jrT-- — -iji.^^-

AA I — A:* sn*a« vsn*M

(ll.V)

228 CALCUL DIPFÉRBNTIEL.

On a de même, par un calcul tout semblable ( ' ),