CHAPITRE PREMIER

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCHY SUR LES INTÉGRALES D'UNE FONCTION D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE.

351 . La plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Traité, résultats que nous avons groupés sous le nom de Calcul différentiel, ont été déduits de la définition de la fonction (3* m, au moyen d'identités analytiques qui, cette définition une fois donnée, s'offrent en quelque sorte naturellement. Nous ne nous sommes guère écartés de cette voie que pour établir (n° 94), en nous appuyant sur le théorème de Liouvillc, l'égalité

— — — = x)a — pu

T. et M. - III. I

et qufte^ucs points de la théorie de la transformation, ou pour intfD^ire, en nous appuyant sur le théorème de Laurent, les fcto'cubns * de M. Hermite (n**' 27i-277) et en établir la pro- '•.priété fondamentale, et encore, tout en rattachant à cette pro- .'.. priété les théorèmes d'addition des fonctions 2r, avons-nous pris .•';.' soin d'établir directement (n*** 28o, 286) une identité dont ces théorèmes se déduisent sans difficulté. C'est maintenant une voie tout autre que nous allons suivre : quelques propositions de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire vont nous conduire rapidement à des théorèmes capitaux concernant les fonctions doublement périodiques.

Liouville, dans un cours professé au Collège de France (*) en 1847, a fondé la théorie des fonctions elliptiques sur le théorème que nous avons fait connaître au n° 84 et qu'il a communiqué à l'Académie des Sciences en i844«

Antérieurement à Liouville et concurremment avec lui (2), Cauchy a montré tout le parti que l'on pouvait tirer de son calcul des résidus pour obtenir les développements en série relatifs aux fonctions elliptiques. D'ailleurs, la proposition du n*^ 35, dont le théorème de Liouville est une conséquence immédiate, lui appartient. En appliquant, comme nous allons le faire, à la théorie qui nous occupe, les propositions fondamentales de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, nous allons retrouver, avec d'autres, les théorèmes généraux établis par Liouville.

Dans cet ordre d'idées, M. Hermite a obtenu une proposition que l'on trouvera au n** 358 et qui domine en quelque sorte la théorie des fonctions doublement périodiques.

Le lecteur ne manquera pas d'observer que les propositions que nous allons établir auraient pu être prises comme point de départ : c'est ce qu'ont fait Briot et Bouquet dans les deux éditions de leur Traité des fonctions elliptiques (').

(«) Ce cours a été reproduit par Borchardt dans le Tome LXXXVIII du Journal de Crelle.

(*) Voir les Comptes rendus de i8'|3 et i84i.

(•) Paris, Mallct-Bachclier et Gauthier-Villars (i~ édition, 18J9; 2* édition, 1875).

Il convient aussi de signaler les importants Mémoires que ces deux Géomètres ont publiés dans le Journal de l'École Polytechnique (i856).

352. Voici le théorème de Cauchy sur lequel nous nous appuierons principalement :

U intégrale, prise le long d^un contour simple parcouru dans le sens direct, d^une fonction uni{>oque d'une variable imaginaire, régulière en tous les points du contour et de Vaire qu!il renferme, sauf en des points isolés, en nombre fini, non situés sur le contour, est égale au produit par 2 i7z de la somme des résidus relatifs aux points singuliers. Cette somme est nulle si la fonction est holomorphe sur le contour et à V intérieur du contour.

Ce théorème va être appliqué à une fonction univoque F (w), régulière en tout point du plan, sauf en des points singuliers que nous supposerons être des pôles, en nombre fini dans toute portion finie du plan. Nous prendrons pour contour le parallélogramme dont les sommets sont Wo> Wo-H 2a)|, Wo-l- 2a)| -f- 20)3, I/o -H 2(08; u^ est un point quelconque, choisi toutefois de manière que les pôles de F(^^) ne soient pas surles côtés du parallélogramme ;

les quantités (Oi, (O3 sont telles que la partie réelle du rapport — .

soit positive; nous continuerons (n** 86) d'appeler ce parallélogramme : parallélogramme des périodes.

Pour parcourir le contour de ce parallélogramme dans le sens direct, nous supposerons que la variable réelle t croisse de o à i , d'abord dans l'expression Mo4-2a)|/, puis dans l'expression iiç-l- 2(0| -H 2(1)3^, puis qu'elle décroisse de i à o dans les expressions Wo+ ^^3"+" ^^« ^î Wo+ 2(1)3/; nous rencontrerons ainsi les sommets du parallélogramme dans l'ordre spécifié plus haut, et, à

cause de l'hjpo thèse faite sur le rapport —^.1 nous aurons parcouru son contour dans le sens direct.

D'après cela, le théorème de Cauchy nous donnera l'égalité fondamentale

20)1 / [F(Mo-i-2a)i/) — F(Mo-i-2ti)j-t- 2 0)1^)] rf/

— aw3 r [F(Mo-^2a)3/) — F(Mo-4-2a)i-t-2a),<)]rf/ = 2tit2^,

où S^ désigne la somme des résidus relatifs aux pôles de la fonction F(w) à l'intérieur du parallélogramme des périodes.

353. Avant d'aborder notre objet principal, nous ferons une application de ce théorème, qui en montrera la portée.

La fonction univoque ^{u) n'admet dans le parallélogramme des périodes qu'un pôle, congru à o, modulis 2(0|, 2(03, et le résidu relatif à ce pôle est i , comme il résulte de la formule (Ha)» D'ailleurs, il résulte de la formule (VI3) que l'on a

Ç(Mo-4-2t»)3^)— Ç(Mo-h2(Oi-t- 2U>3^) = — aiïi;

l'égalité fondamentale nous donne ainsi, et de la façon la plus aisée, la relation du n*' 108,

354. Arrivons maintenant à la théorie des fonctions doublement périodiques et rappelons d'abord que nous entendons toujours par là des fonctions univoques, n'admettant pas d'autre singularité que des pôles. Les périodes seront toujours désignées par 2 (0| , 2(03, à moins qu'on ne prévienne du contraire; elles seront regardées comme données, et la partie réelle du rapport — -. sera supposée positive.

Si /(m) est une fonction doublement périodique, le premier membre de l'égalité fondamentale (n**352), où l'on remplace F(m) par/(w) est évidemment nul. Donc :

La somme des résidus d^ une fonction doublement périodique, à V intérieur du parallélogramme des périodes, est nulle.

Il n'existe pas de fonction doublement périodique n'admettant qu'un pôle simple dans le parallélogramme des périodes. En effet, le résidu de ce pôle devrait être nul; le pôle n'existerait pas; la fonction serait entière ; elle se réduirait à une constante (n** 84).

355. La dérivée logarithmique d'une fonction doublement périodiquey(M) est elle-même une fonction doublement périodique.

Mais la somme des résidus de la fonction i^, — l est la différence

entre le nombre des zéros (*) et le nombre des pôles de la fonc-

(*) Un zéro (ou une racine) d'une fonction f{u) est une valeur de u pour laquelle celte fonction est nulle.

lion /{u), chaque zéro ou chaque pôle étant compté autant de fois qu^il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Donc :

A V intérieur du parallélogramme des périodes, une fonction doublement périodique a autant de zéros que de pôles, les zéros et les pôles étant comptés comme on vient de l'expliquer.

356. Appliquons encore l'égalité fondamentale du n** 352 à la fonction

en désignant toujours par f{u) une fonction doublement périodique. ÂTintérieurdu parallélogramme des périodes, la somme ^A des résidus de cette fonction sera la différence entre la somme des zéros et la somme des pôles de la fonction /"( a); chaque zéro ou chaque pôle doit figurer dans la somme autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. On a immédiatement

F(a 4- awj; — F(m) = 20)3 ^— y ; en sorte que le premier membre de Tégalilé fondamentale devient

— 20)1 / 2 0), =^2v -—dt-Jr1i^% / 2t»)i ~^-îi T" «^

OU encore

— ^^i I 4/—^ -^c?M4-20)t / V . :^ du.

Les deux intégrales qui figurent dans cette expression sont reclilignes; elles sont respectivement égales à quelqu'une des déterminations des quantités

puisque la fonction f{u) admet les périodes aw,, 2(03, chacun des logarithmes est égal à un multiple entier de 2.Tzi, Donc :

A l'intérieur du parallélogramme des périodes, la somme

des zéros d^ une fonction doublement périodique, diminuée de la somme des pôles, est congrue à zéro, modulis 2(o,, 20)3.

Ce ihéorème est dû à Liouville.

357. Comme les pôles de la fonction doublement périodique y(w) — C, où C désigne une conslante, coïncident avec les pôles de la fonction doublement périodique /(w), on voit que le nombre des racines de l'équation /(a) = C, contenues à l'intérieur du parallélogramme des périodes, est égal au nombre des pôles de f{u)^ et que la somme de ces racines est congrue à la somme des pôles de y( m). Cette somme des racines, si l'on ne tient pas compte des multiples entiers des périodes, est donc, comme leur nombre, indépendante de C ( * ).

en éléments simples.

3o8. On doit à M. Hermite (2) une formule capitale qui donne l'expression de toutes les fonctions doublement périodiques. En raison de son analogie avec la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, il convient de donner à

(*) On observera que l'équalion /(u) = z déHnit u comme fonction implicite de z. En se reportant à la théorie des fondions implicites, ou, ce qui revient au même, à la théorie du retour des suites, on apercevra immédiatement la vérité de la proposition suivante. Supposons marqués, dans le plan qui sert à figurer la variable z, les points dont les afûxes sont les valeurs de /(</) pour les racines de l'équation /'(i<) = o, et considérons une aire (A) limitée par un contour simple et ne contenant aucun de ces points : si z^ appartient à l'aire (A) et si u^ est une racine de l'équation /(u) = z^, il existe une fonction (et une seule) u = ^{z)y se réduisant à u^ pour z = Zo, holomorphe dans (A), et qui est telle enfin que Ton ait identiquement, dans cette aire.

Il y aura, dans Taire ( A ), autant de fonctions holomorphes, distinctes entre elles, jouissant de cette dernière propriété, que la fonction f{u) a de pôles. Elles se réduiront, pour z ^= z^, aux valeurs des racines de Téquation f{u) = z^. A l'une quelconque d'entre elles on peut ajouter d'ailleurs 2mb>,-^ q/ico, où m ci n sont des entiers quelconques, sans que la dernière relation cesse d'avoir lieu.

(') Note sur la Théorie des /onctions elliptiques ajoutée à la sixième édition du Traité de Calcul différentiel et intégral de Lacroix.

celle formule le nom de décomposition d'une fonction périodique en éléments simples. C'esl la fonclion Çw qui va)' jouer le

rôle d'élémenl simple, le même rôle que joue la fonction - dans

la théorie des fonctions rationnelles.

Considérons la fonction

où /(//) est une fonction doublement périodique, et où x désigne pour le moment une constante quelconque; on aura

si donc on applique à la fonction ^{u) Tégalité fondamentale, on voit que la somme de ses résidus à Tintérieurdu parallélogramme des périodes, multipliée par 2/7:, est égale à

et que, par conséquent, elle est indépendante de x.

Si, maintenant, l'on désigne par a l'un quelconque des pôles de la fonction y(//) et par a l'ordre de multiplicité de ce pôle, on aura, aux environs du point a, un développement de la forme

/(a -h A) = A ^ -h A,D i 4- A,D(»> ^ -f-. . .-h Aa iD(a-t)^ -^ <£(h),

OÙ 9 (h) désigne une série entière en A, où A, A|,. . ., Aa i sont des constantes, où enfin D, D^^)^ . ^ D(a-i) sont des symboles de dérivation par rapport à h. On a d'ailleurs, aux environs du même point a,

en désignant par XJ[x — «), !^"(x — a), ... les dérivées successives de X^u par rapport à w, dans lesquelles on a remplacé u par X — a. Le résidu de la fonclion F(w)=/(w)s(^ — ")> relatif

au pôle a, c'est-à-dire le coefficient de t dans le développement

de /{a -\- h)^{x — a — h), ordonné suivant les puissances croissantes de A, est donc

A!;(ar - a) -4- Aiî'(jr ~ a) -+-. . .^ X^^^l^i^-V^x — a).

Les résidus de la fonction F (m), relatifs aux. divers pôles de /(w), s'obtiendront de la même façon; mais cette fonction F{u) admet encore comme pôles les pôles de ^(x — ii). Dans le parallélogramme des périodes, ces pôles se réduisent à un seul, à savoir le point congruent à j;; ce pôle, pour la fonction ^{x — a), est simple et son résidu est — i ; le résidu correspondant de la fonction/(a) s(a: — u) sera donc — /(^)-

Ainsi, la somme des résidus de la fonction F(u), à l'intérieur du parallélogramme des périodes, est égale à

2[A<''Ç(x- a,) + Al" y-ix-at)+,.. + K%^ Ç(a.-')(x - a,)] -/(x).

OÙ les pôles distincts, à l'intérieur du parallélogramme des périodes, sont désignés par a<, «2, . . ., a/, . . . , Oy, où a/ désigne l'ordre de multiplicité du pôle ai, où enfin A^'^ Ai'\ . . ., A^^Lt désignent des constantes qui dépendent, comme on l'a expliqué, du développement de la fonction /(«/ H- A), suivant les puissances ascendantes de h.

Celte somme ne dépend pas de x; en la désignant par C, et en remettant enfin u à la place de x^ on voit que toute fonction doublement périodique/(w) peut être mise sous la forme

C'est la formule annoncée. Réciproquement, une expression telle que le second membre, lorsqu'on y remplace u par w -h 2a)|, ou par M 4- 2 0)3, se reproduit augmentée du produit de 27)^, ou de 27^3, parla somme des résidus A^* ^4- A^^^ -+-...4- A^^^ relatifs aux pôles du parallélogramme. Elle sera donc une fonction doublement périodique si la somme des résidus est nulle. Nous savions déjà que cette condition est nécessaire.