I ., sn'w
sn(fi-T-/K')-r -r , sn'(w-+-iK') = —
Soient :;, ;;' des valeurs concordantes données de snf^, sn'w, et dont la première esl, en valeur absolue, supérieure ou égale à i .
Puisque la valeur absolue de A' j- = ^ est, au plus, égale à i , on
pourra, en appliquant la règle précédente, trouver une valeur de // -h i¥J qui satisfasse aux équations
sn{U'{- iK!) = -Tzi sn'(a-!-eK') = — 7-j>
et en déduire la valeur de u qui satisfait aux équations
sna = -5, sn'a = z\
a savoir
"=-'•»''-- --^-'••'nr.-V"
(GXXVII,) < "=-
La valeur de 4 i— t^t^ est déterminée par l'égalité
dans laquelle on suppose positive la partie réelle de i/ i j
La seconde question est résolue.
581. Pour ce qui est de la première, regardons z comme un point variable de la région (y); la dérivée du second membre de l'équation (CXXVII2) est
kz*
V'-kh-V'-ii
où Ton suppose que 4,'''^ i est la fonction de z, holomorphe
dans (y), dont la partie réelle est positive. Quant à r/ i — 7T~i* sa détermination est la même que dans l'équation (CXXVII2). Si donc on considère une courbe ne pénétrant pas en dehors de (y) ; si l'on désigne par ^1 (z) une des déterminations du second membre de l'équation (CXXVII2) qui soit continue le long de celte courbe et qui soit régulière en tous ses points, on aura
en supposant que l'intégration ait lieu le long de la courbe considérée : or, le second membre n'est autre chose que (' )
si l'on suppose que l'on ait le long de la courbe
-Ar.y'
On sait donc effecluer les intégrales de la forme
dz
le long d'une courbe déterminée entre ^0 et 5, pourvu que cette courbe ne sorte pas, soit de la région F, soit de la région v; si h\ courbe a des points dans les deux régions, on la séparera en parties dont chacune soit située tout entière dans l'une des régions, et l'on fera la somme de ces intégrales partielles.
(') Il est à peine utile de faire observer qu'il n'y a pas lieu de tenir compte ici de la restriction imposée à la définition de \'i — k^z^ au début du paragraphe.
582. Les séries que nous avons obtenues ne convergent que si l'on a I A^ j << I , et elles ne convergent rapidement que si la quantité I k\ est très petite; nous allons en déduire, au moyen d'une double transformation de Landen, d'autres séries qui, d'une part, sont très bien appropriées au calcul numérique et qui, d'autre pari, conduisent facilement à la détermination d'une solution des équations pu = P, p' u=^ P', 011 P et P' sont des nombres donnés concordants, c'est-à-dire liés par la relation P'^ = 4P^ — ^2P — gz-
Nous commencerons, en supposant |/:|<Ci, |A-z|;^i, par transformer les résultats du n° 580, en y changeant u en K — «/,
• i / cnw d cnu j^ . ^ ^ ,
ce qui change snw, sn m en -5 — » — -7- -j — ■' iin tenant compte de * o 7 dn u du an u *
ce que X (A*^) est égal à -^- et de ce que l'on a, en négligeant les
multiples de air/.
\o^(iz H- v^i — -3*) = ïog(5 -h i^i — -5*),
la formule fondamentale (CXXVIIi) devient
u ^ ^D log(z -r- iVi'^P) -f- /l'^^TiT^] a„A««g„(3),
n=:to
n=zi
et la valeur de u que l'on vient d'écrire satisfait, quelles que
soient les déterminations du logarithme et du radical y/ 1 — 5-, aux deux équations
en M d cnu / r / ,. ,
dnw du dnw
où la partie réelle de y/ 1 — k^z^ est positive.
Dans les égalités qui précèdent, regardons pour un moment A* comme une fonction de t, et cnw, dnw comme des fonctions de u
et de t; changeons partout t en 4'j P^îs w en - (1 -f-y/A'j^; en
observant que, en vertu des équations (XLi^a)? (LXXIy^g) et de la relation (a) du n"531, on a
T. et M. — III. 17
aB2 CALCUL mTÉGRAL.
OÙ b est mîs à la place de \j k{é^'z)=^ ^> nous arrivons auic
conclusions suivantes.
Supposons toujours | 6 | <! i et posons, pour abréger,
- __ I <//i p — \/k' •^ ^ ^^ dns^-r-y/k''
/? Z= fl©
pourvu que l'on ait | 6^^ | ^i, on satisfera aux équations
o\xf'{v) désigne la dérivée dey*(i') par rapport à i^ et où la partie
réelle de y^i — b'' z^ est positive, en prenant v =iY [z). Il est bien
entendu que, dans l'expression de F (5), y/i — z'^ a la même signification que dans la seconde des équations à vérifier.
583. Pourvu que l'on ait toujours | è^5 | ^1, il est clair que la même conclusion subsisterait si, dans les égalités précédentes, l'était remplacé par v — ii¥J\ d'ailleurs le changement de i^ en
\y — ii¥J change dnç'en — ànv et bf(^v) en y-^- — ; donc, pourvu que Ton ait | b^z | ^ 1 , on satisfera aux équations
en prenant v — ii¥J =^ -^(3); il est bien entendu que, dans l'expression de F(5), y/i — z'^ a le même sens que dans la seconde équation à vérifier que nous venons d'écrire. Or, si l'on se donne
dnr, l'une des quantités bf^v)^ -7-^ — est inférieure ou égale à i,
en valeur absolue; si donc on se donne pour dnt^' et an' v deux valeurs concordantes, on pourra toujours calculer i^ au moyen d'un développement ¥{z) dans lequel on a \bz\''\\, donc \b^z\<ii. Dans la pratique, où c'est x qui est donné, si l'on
prend 1= — > è devient la quantité que nous avons désignée
dans le Chapitre précédent par p, quantité dont la valeur absolue
est toujours plus petite que i et peut même être rendue plus petite que yî; la série F(;;) est alors rapidement convergente.
584. Le théorème final du n° 582 peut être énoncé sous une forme légèrement différente qui va nous être commode.
Si Ton se donne un nombre Çq lel que Ton ait \b''^/(ço)\^i^
et que Ton remplace dans F{z), z par /{vq) et y/i — z^ ou
v/«-/'(M par — -^t^'^f;^-- . où v'T -"^^7^-7) a sa
partie réelle positive, F(c) prendra une valeur v qui, d'après l'énoncé de ce théorème, satisfera aux équations
dans la seconde desquelles il est bien entendu que y/'i — /"(<^'o) a 'c même sens que dans F(5); mais le second membre de cette même
équation, en vertu de la détermination attribuée à y- 1 — /'^{^'o)i n'est autre chose que '^,, ^ ; donc on satisfera aux équations
en prenant r zr~. F(:;), où z doit être remplacé par/(i'o) ety i — z'^
par
(,A:')/r-6V«(Po)
585. Nous transformerons ce dernier énoncé en passant des fonctions sn, en, dn à la fonction p par les formules (LX VII). On
trouve tout d'abord, en posant ç z^ u y^^i — ea,
^>(dnp^/)t")» " ^b{pu-et){pu-ei)
Si maintenant on pose Tq ^^ WoV^i --^3-. on arrive au résultat suivant :
Si l'on se donne le nombre Uq, on satisfait aux équations
pu = pUo, p' U = p' Uqj
en posant u= —=^ — ^F(^)? où z et y i — z- sont déterminés
yei — Ci
par les formules
.f y/, ^fc^j (p Wo — e,) (p Wo — Ca)
à condition que Ton ait | b^z l 'i i •
586. Supposons maintenant que Ton se donne non pas Uq,, mais bien les valeurs numériques concordantes? et P' de pu^el p'wo-Le nombre Uq n'est déterminé par les valeurs P et P' qu'à un multiple
près de acoi et de 20)3; nous pouvons le supposer tel que y/ A'' 532(^0) ail sa partie réelle positive, puisque, si cette condition n'est pas vérifiée pour Uq^ elle le sera certainement pour u^-^-iiù^ [puisque ^32(^0 H 2 CO3) = — i82(wo)]- Pour cette valeur de Wo,
$32(^0) sera donné par la détermination de ^^-^^r^ qui, multipliée y^ — et
par \/k\ a sa partie réelle positive. Dans ces conditions, on aura \bz\"S^ {^l a fortiori \b^z\<ii)^ puisque le point ^k' ■ __^=^
est plus voisin du point 1 que du point — 1. Nous pouvons donc énoncer la proposition finale que voici :
Si Von se donne deux nombres concorda ntsV et P', on satisfera
aux équations pw = P, p'u = P', en posant u = — Yi^z^^
)/ei —es
c^ est-à-dire
(CXXVII,) u = . /-— ^ - ^-;^r-— ^ + ; . y a«6*'.Ç„(z),
où z et \/\ — z'^ sont déterminés par les formules
Rappelons encore une fois que les parties réelles de y/'i — b'* z^ et de ^/Â"' ^^:^.^ sont positives.
S87. Dans la pratique, c'est la valeur de Ar^ = x que l'on donne et Ton peut supposer que x appartienne au plan (S) ; il est alors naturel de prendre, en conservant les notations du Chapitre pré-
cèdent, t= — ; on a vu que l'on a alors
