PRÉFACE

Nous désirons, avant tout, expliquer pourquoi nous avons osé écrire un livre sur les fonctions elliptiques, si peu de temps après la publication du Traité que l'on doit à Halphen, Il va sans dire que nous n'avons point la prétention de remplacer ou d'égaler l'œuvre de ce Maître ; celle-ci est inachevée ; mais la partie qui reste incomplète, qui était attendue avec impatience par ceux qui aiment la Science pour elle-même et pour sa beauté propre, n'aurait pu avoir qu'un nombre restreint de lecteurs, que peuvent contenter, dans une certaine mesure, les beaux fragments publiés par M. Stieltjes : il ne nous appartient pas de compléter l'œnvre d'Halphen.

C'est un livre beaucoup plus élémentaire que nous avons tenté d'écrire; ce sont les étudiants de nos Facultés que nous avions en vue : nous avons essayé de faire un livre qui se raccordât avec l'enseignement qui leur est donné; s'ils peuvent, après nous avoir lus, traiter des applications faciles et les pousser jusqu'au bout ; si quelques-uns d'entre eux complètent leurs connaissances dans le livre d'Halphen, s'ils étudient en particulier les belles applications qui remplissent le second volume, s'ils se retrouvent sans peine dans les Formeln und LehrsâHe zttm Gebrauche der eiliptiscken Functionen que M. Scbwarz publie d'après les leçons et les notations de M, "Weierstrass, s'ils lisent les Mémoires fondamentaux d'Abel et de Jacobi, s'ils pénètrent enfin dans la riche et admirable littérature des fonctions elliptiques et prennent en particulier connaissance des recherches de Kronecker et de M. Hermile, nous aurons entièrement atteint notre but.

Il nous reslc à faire connaître l'ordre que nous avons suivi. Nous avons réuni dans une Introduction les éléments de la théorie des séries et des produits infinis qui nous ont para indispensables. Les propositions fondamentales de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire qui se déduisent de la considération des intégralesprises entre des limites imaginaires, propositions dont nous ferons largement usage, ont été, dans cette Introduction, systématiquement laissées de côté : elles sont, depuis longtemps, inscrites dans le programme de la licence es Sciences mathématiques; elles sont partout très bien enseignées et sont développées dans d'excellents livres, qui sont bien connus. On insiste souvent moins sur le rôle que jouent, dans la théorie des fonctions, les séries ordonnées suivant les puissances entières de la variable, bien que Cauchj ait rais pleinement ce rôle en lumière ('). Il nous importait surtoutd'exposer avec détail quelques ans des résultats essentiels obtenus par M. Weierstrass . Cette Introduction, nous espérons que beaucoup de nos lecteurs pourront se dispenser de la lire en entier; mais si, dans la suite, ils ont quelque inquiétude sur la rigueur de certaines démonstrations et transformations, ils pourront j recourir.

Nous introduisons immédiatement la fonction du sous forme de produit infini. Cette voie directe, qui est celle de M. Weierstrass, nous a paru naturelle et facile dans l'étal actuel de l'enseignement. Les propriétés essentielles de cette fonction et de celles qui en dérivent sont développées dans le présent volume. Le volume suivant contiendra la théorie des fonctions S et les théorèmes généraux sur les fonctions doublement périodiques, déduits pour la plupart de la proposition célèbre de M. Hermile sur la décomposition en éléments simples. Il terminera ce qui se rapporte au Calcul différentiel . Nous exposerons dans IcTome III le problème de l'inversion, les théories et les procédés qui concernent l'intégration. Enfin, dans le dernier Volume, nous déve-

à longtemps que M. Méray l'a exposé d'une façon systématique s d'Analyse infinitésimale et dans nne suite de beaux Mémoires

lopperons quelqui;» applicalions, d'une naUire élctnentaire, se rapportant à des branches diverses de la Science.

Un des ennuis de la théorie des fonctions elliptiques est dans la richesse même des formules qu'elle comporte et que la mémoire semble incapable de fixer. Il faut pouvoir renvoyer à ces formules cl les retrouver facilement; nous avons adopté, pour les plus importantes, un système de numérotage auquel nous prions le lecteur de vouloir bien s'accoutumer. Il les retrouvera toutes, avec leurs numéros, dans un Tableau dont la première partie paraîtra à ta fin du Calcul différentiel : ce Tableau constituera comme un résumé de la Théorie et facilitera beaucoup, nous l'espérons, la lecture et l'usage de notre livre.

Les notations que nous avons adoptées au début sont, sauf quelques légères modifications sur lesquelles nous nous expliquerons tout à l'heure, celles de M. Weierstrass; mais nous n'avons pas cru devoir nous borner aux fonctions qu'il a introduites. Ces fonctions sont, d'une part, très propres à traiter de la façon la plus simple beaucoup d'applications, beaucoup de celles, en particulier, qui se rapportent à la Géométrie et à la Mécanique, D'autre part, elles se prêtent très bien, en raison même de la façon symétrique dont les périodes y figurent, à l'exposition d'un très grand nombre de propriétés, qui peuvent être regardées comme véritablement élémentaires. Il nous a donc paru qu'elles constituaient un excellent point de départ. Mais, d'un autre côté, bien des propriétés, et des plus importantes, tant en Algèbre qir'en Arithmétique, n'apparaissent que lorsqu'on sépare les périodes : elles restent cachées là où les périodes sont engagées d'une façon symétrique. Là où importe cette séparation des périodes, d'autres notations reprennent l'avantage. Nous avons donc cru devoir laisser une place considérable à ces fonctions de Jacobi, dont on a dit qu'elles ne joueraient plus qu'un rAle bisloriqiie : à la vérité, ce rôle serait encore assez beau. Il ne faudrait pas s'étonner si la mulliplicité des notations se trouvait être dans la nature des choses et s'il convenait d'en changer suivant les Cjuestions que l'on aborde. Il semble d'abord que cette multipli-

cilc soit une gène el un ennui, il se peiiL qu'elle soit une richesse. Quoi qu'il en soit, nous avons mis tous nos soins à bien expliquer comment les diverses nolatioos se raccordent les unes aux autres et à faciliter la lecture des principaiix Mémoires et Traités.

C'est le désir d'une parfaite symétrie qui noiis a conduits à écrire D,, (Ou, (1)3 là où M. Weierstrass écrit w, — to", w'. Cette modification n'altère pas les fonctions rf«, rf, u, rfî «, d^ u : elle permet de condenser singulièrement les formules et d'en écrire une seule lorsque, autrement, il faut en écrire trois. Ce changement présente quelque inconvénienl {') : le plus grand, à nos jeux, est d'obliger à quelque attention le lecteur qui voudra se reporter aux Formeln und Lehrsâtze {^) de M. Schwarz. C'est au lecteur à juger si les raisons de symétrie, qui nous ont décidés et qui sont évidentes, étaient assez fortes pour que nous nous permissions de nous mettre un peu en désaccord avec cette belle publication, qui présente, à tant d'égards, un caractère définitif : c'est après bien des hésitations que nous nous sommes résolus à ce léger changement.

Le lecteur, qui voulant se borner à un aperçu de la théorie et acquérir seulement les notions indispensables aux applications élémentaires des fonctions elliptiques à ta Mécanique, pourra, dans la partie du Calcul différentiel contenue dans ee Volume, se dispenser délire les n°' 96, 116, 117,119 et s'arrêter à la fin du n^lââ.

(') Voir la note de la page aoî.

C) Voici le titre de l'édition trançaise de ce Recueil : Formules lions pour l'emploi des /onctions elliptiques, d'après des leçons manuscrites de M. K. Weierstrass.