I. — Séries et produits infinis à simple entrée

1. Si a désigne nn nombre réel ou imaginaire, nous emploierons l'expression valeur absolue de a, que l'on réserve d'ordinaire au cas où a est réel, avec le sens que l'on donne habituel] em en l, dans la théorie des nombres imaginaires, au mot module, qui a, ailleurs, des significalions diverses ; cette valeur absolue sera désignée par le sjmbole \a].

Nous supposons connues les propositions élémentaires relatives aux séries à termes réels ou imaginaires, la notion de convergence absolue, la possibilité de changer l'ordre des termes dans une série absolument convergente et de grouper comme l'on veut les termes d'une pareille série, chaque groupe ne comprenant qu'un nombre fini de termes, enfin les règles relatives à l'addition et à la multiplication des séries.

Nous désignerons par le sjmboîe

ne d'une série convergente

Nous aurons souvent à considérer des suites de termes dans lesquels l'indice, qui sert à distinguer les termes, peut prendre des valeurs entières positives, nulles ou négatives : une telle suite est donnée quand on se donne la loi qui détermine chaque terme en fonction de l'indice.

Supposons essentiellement que les deux séries

soient absolument convergentes; nous représenterons alors par l'un ou l'autre des symboles

le nombre obtenu en ajoutant les sommes de ces deux séries; c'est encore, si l'on veut, la somme de la série

dont le (n + i)''""' terme est «„ + «„. On pourrait d'ailleurs grouper les termes d'une infinité de manières.

On a besoin quelquefois d'exclure de la sommation un ou plusieurs termes de la suite, le terme a,, par exemple : on emploie alors des signes particuliers que nous indiquerons plus tard.

Il peut être utile de faire observer que la façon dont nous avons précisé la signification des précédents symboles rend incorrectes quelques expressions dont l'usage est couvant et dont nous nous s nous-mêmes à l'occasion quand elles ne pourront causer

SÉRIES BT PRODUITS INEIHIS A TBnMES CONSTANTS. 3

aucimc ambiguïté ; dire que la série

est convergente oii aLsolumenl convergente semble inutile, puisque, autrement, l'emploi du symbole serait illégitime ; dire que cette série est divergente est encore plus incorrect. Dans ces façons de parler, ce n'est pas à la somme de la série qu'il faut penser, mais uniquemenl à la loi de succession des termes de la série. Pour que le langage fût irréprocliable, il faudrait employer des mots différents.

%. Nous allons donner maintenant les propositions élcmcntaires relatives aux produits infinis {' ).

Considérons la suite infinie

et posons

Oo aura évidemment

(le sorte que, ii grandissant indéfmiment, P,, tendra ou non vers une limite suivant que la série

r + a, + «jP, -h. . . + «„P„-, + «„^, P„ -I- . . ,

sera convergente ou non, et celte limite, si elle existe, sera lii somme de la série.

Si cette série est convergente, Xe produit infini

a donc un sens et l'on peut lui donner pour valeur la somme de

(') On peut consulter sur ce sujet le Traité d'Analyse de Cauchj et le Mémoire de M. Weieratrass : Ueber die Théorie der aiialytischen Functionen {Crelle, t. 51); noua empruntons l'emploi de la série que non valence à M. Mittag-Letfler {Acta mathematica, t. I, p. 3o).

la série : cette série est dite équivalente au produit inrmî; «,, «2i ■■■> «<ii ■■■ sont les termes du produit infliii; ! + «,, i + flï, ..., i + n„, ... en sont les yhcieftrj. Toutefois, afin de conserver aux produits inGuis les propriétés essentielles d'un nombre limité de facteurs, nous ne laisserons pas à la notion de produit infini la généralité qui précède.

3, Avant de préciser les restrictions qui vont être apportées à cette notion, considérons le cas où chacun des termes a,i est réel, positif ou nul. Les nombres P), Pj, ., ., P„, ... sont alors positifs et au moins égaus à un ; la série à termes positifs, équivalente iiH produit Infini

ne peut être convergente que sî la série

est elle-mfime convergente. Réciproquement, si cette dernière série est convergente, P„ tend vers une limite quand ii augmente indéfiniment.

En effet, lorsque n augmente, P„ ne peut qu'augmenter; afin de prouver que P„ a une limite pour n infini, il suffit donc de prouver que P„ reste toujours inférieur à un nombre fisc. Or imaginons qu'on développe le produit

{i + ay){i + a.,)...{y + a,;) et qu'on l'écrive

et en désignant par A la somme de la série convergente

on voit de suite que l'on a

yGoosle