V = TUT

On tire de là

Par suite, toute puissance positive ou négative de V s'exprimera en composant les substitutions T, U et leurs puissances.

Avant (le démontrer la proposition énoncée, observons tout

34^ CALCUL DIFFÉBENTIEL.

d'abord que l'on a

pais

On tire aisément de ces dernières égalités

et, en particulier,

Ces diverses relations sont d'ailleurs vraies, que n soit positif ou négatif.

149. Ceci posé, nous établirons la proposition que nous avons en vue dans un cas particulier auquel nous ramènerons tous les autres, celui où l'un des nombres a, ^ est nul. Puisque aS — (îy est égal à un, on doit avoir, si a est nul, soit

soit

et si 8 est nul, on doit avoir, soit

On a donc à considérer les quatre substitutions où Y et s désignent des entiers positifs ou négatifs quelconques.

du ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT.

La deuxième et la quatrième se ramènent à la première et à la troisième, puisque l'on a

D'ailleurs, on a et, d'un autre côlc,

par conséquent

Par suite, le théorème est démontré, dans le cas oi'i l'un des nombres a, ^ est nul.